一、 试卷整体分析与命题特点

2017年贵阳市初中毕业生学业（中考）数学考试已经落下帷幕，这份试卷在考查基础知识的同时，更加注重对学生数学思维能力和应用意识的考查。试卷结构稳定，题型分布合理，涵盖了数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个模块。

命题特点总结：

  1. 立足基础，回归教材：大部分题目源于教材的基本概念、公式和定理，如相反数、科学记数法、平行线的性质等。
  2. 注重应用，联系生活：第10题（增长率）、第21题（销售利润）、第22题（旅游费用）等题目均以实际生活为背景，考查学生建立数学模型的能力。
  3. 突出能力，考查思维：第25题（二次函数综合）和第26题（几何综合）对学生的分类讨论思想、数形结合思想以及逻辑推理能力提出了较高要求。

二、 重点题型详细解析

为了帮助同学们更好地理解，我们选取试卷中具有代表性的题目进行深度解析。

1. 选择题典型例题分析

例题：（2017贵阳中考第6题） 如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度，已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，看旗杆顶部E的仰角为37°，小红的眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，看旗杆顶部E的仰角为25°，两人相距20m且位于旗杆两侧（点A、B、D、C在同一直线上）。求旗杆的高度。（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）

【解析】 这是一道解直角三角形的应用题，关键在于构造直角三角形。

  • 步骤1：作辅助线 过点E作EF⊥AC于点F，交BD于点G。则EG⊥BD，EG即为旗杆高度。 设EF = x m，则GF = (x - 1.7) m（因为AB=1.7），GF = (x - 1.5) m（因为CD=1.5）。 注意：这里需要根据图形判断，通常仰角对应的直角边在下方。

  • 步骤2：在Rt△AEF中 利用正切定义：tan∠AEF = AF / EF 即 tan37° = AF / x 所以 AF = x * tan37° ≈ 0.75x

  • 步骤3：在Rt△CEF中 利用正切定义：tan∠CEF = CF / EF 即 tan25° = CF / x 所以 CF = x * tan25° ≈ 0.47x

  • 步骤4：利用线段关系列方程 因为 AF + CF = AC = 20m 所以 0.75x + 0.47x = 20 1.22x = 20 x ≈ 16.39

  • 答案：旗杆的高度约为16.4米。

【易错点总结】

  • 单位不统一：题目中给出的身高单位是米，计算过程中要注意保持单位一致。
  • 仰角识别错误：仰角是视线与水平线的夹角，不是视线与垂直线的夹角。
  • 模型构建错误：本题是“双直角三角形”模型，中间的旗杆将两个三角形分开，容易在AF和CF的关系上搞混。

2. 填空题典型例题分析

例题：（2017贵阳中考第15题） 如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且∠EAF=45°，若AB=3，BE=1，则DF的长为______。

【解析】 这是一道经典的“半角模型”题目（45°角问题）。

  • 思路1：旋转法（推荐） 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG。 此时，点G落在CB的延长线上，且AG=AF，DG=CD+CF（这里旋转后对应关系是：D转到B，F转到G）。 因为∠EAF=45°，且∠BAD=90°，所以∠BAE + ∠DAF = 45°。 旋转后，∠GAF = ∠BAE + ∠BAG = ∠BAE + ∠DAF = 45° = ∠EAF。 所以，△AEF ≌ △AEG (SAS)。 所以 EF = EG。 设DF = x，则 CF = 3 - x。 在Rt△ABE中，AE = √(AB² + BE²) = √(3² + 1²) = √10。 在Rt△ADF中，AF = √(AD² + DF²) = √(9 + x²)。 因为 △AEF ≌ △AEG，所以 EG = EF。 在Rt△EBG中，BG = DF = x，BE = 1，所以 EG² = BG² + BE² = x² + 1。 在Rt△EFC中，EF² = EC² + CF² = (3-1)² + (3-x)² = 4 + (3-x)²。 由 EG = EF，得 x² + 1 = 4 + (3-x)² x² + 1 = 4 + 9 - 6x + x² 1 = 13 - 6x 6x = 12 x = 2

  • 答案：2

【易错点总结】

  • 辅助线作法不熟练：遇到正方形中45°角，必须立刻想到旋转辅助线。
  • 勾股定理列错：在计算Rt△EFC的边长时，EC = BC - BE = 3 - 1 = 2，CF = CD - DF = 3 - x，容易算错。

3. 解答题典型例题分析（压轴题）

例题：（2017贵阳中考第25题） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 \(y = ax^2 + bx + 3\) 与x轴交于A(-1, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C。 (1) 求该抛物线的表达式； (2) 点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，求线段PE的最大值； (3) 点M是抛物线对称轴上的一个动点，点N是坐标平面内一点，是否存在以B、C、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】

(1) 求解析式 将A(-1, 0)，B(3, 0)代入 \(y = ax^2 + bx + 3\)： \(\begin{cases} a - b + 3 = 0 \\ 9a + 3b + 3 = 0 \end{cases}\) 解得 \(\begin{cases} a = -1 \\ b = 2 \end{cases}\) 所以抛物线解析式为：\(y = -x^2 + 2x + 3\)。

(2) 求PE最大值

  • 先求直线BC的解析式。 由(1)知C(0, 3)，B(3, 0)。 设直线BC：\(y = kx + 3\)，代入B(3, 0)得 \(3k + 3 = 0 \Rightarrow k = -1\)。 所以 \(y_{BC} = -x + 3\)。
  • 设P点坐标为 \((t, -t^2 + 2t + 3)\)，其中 \(0 < t < 3\)。 则E点坐标为 \((t, -t + 3)\)。
  • 线段PE的长度即为P、E两点纵坐标之差： \(PE = y_P - y_E = (-t^2 + 2t + 3) - (-t + 3) = -t^2 + 3t\)。
  • 配方求最值： \(PE = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}\)。 当 \(t = \frac{3}{2}\) 时，PE取得最大值，最大值为 \(\frac{9}{4}\)。

(3) 存在性问题

  • 已知B(3, 0)，C(0, 3)。 对称轴为 \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{-2} = 1\)。 设M(1, m)。
  • 要使四边形BCM N为矩形，首先BC必须是矩形的一条边（或对角线）。由于B、C已知，通常讨论BC为矩形的边或对角线的情况。
  • 情况一：BC为矩形的边，且BM ⊥ BC（或CM ⊥ BC）。
    • 若BM ⊥ BC： \(k_{BC} = -1\)，则 \(k_{BM} = 1\)。 \(k_{BM} = \frac{m - 0}{1 - 3} = \frac{m}{-2} = 1 \Rightarrow m = -2\)。 此时M(1, -2)。
    • 若CM ⊥ BC： \(k_{CM} = 1\)。 \(k_{CM} = \frac{m - 3}{1 - 0} = m - 3 = 1 \Rightarrow m = 4\)。 此时M(1, 4)。
  • 情况二：BC为矩形的对角线。 此时M、N关于BC的中点对称。 BC中点坐标为 \((\frac{3}{2}, \frac{3}{2})\)。 设M(1, m)，则N点坐标为 \((3 - 1, 3 - m) = (2, 3 - m)\)。 要构成矩形，需满足 \(BM \perp CM\) (即∠BMC=90°) 或者利用向量垂直。 \(k_{BM} = \frac{m}{-2}\)， \(k_{CM} = m - 3\)。 \(k_{BM} \cdot k_{CM} = -1 \Rightarrow \frac{m}{-2} \cdot (m - 3) = -1\) \(m(m - 3) = 2 \Rightarrow m^2 - 3m - 2 = 0\) \(m = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)。 此时M点有两个坐标。

综上所述，M点的坐标为(1, -2)、(1, 4)、(1, \(\frac{3+\sqrt{17}}{2}\))、(1, \(\frac{3-\sqrt{17}}{2}\))。

【易错点总结】

  • 分类讨论不全：第(3)问最容易漏解。很多同学只考虑了BC为边的情况，忽略了BC为对角线的情况。
  • 斜率不存在的情况：虽然本题对称轴是x=1，斜率都存在，但在其他类似题目中，如果M的横坐标与B或C相同，斜率不存在，需要单独讨论。
  • 矩形判定条件混淆：矩形判定需要三个角是直角，或者对角线相等且互相平分。在动点问题中，利用垂直（斜率之积为-1）是常用方法。

三、 2017年贵阳中考数学易错点深度总结

根据2017年真题及历年考生反馈，总结出以下高频易错点，考生需重点复习：

1. 数与代数领域

  • 科学记数法：易错点在于小数点的移动方向和位数。例如将较大的数写成 \(a \times 10^n\) 时，\(n\) 的值容易数错。
  • 去括号法则：特别是括号前是负号时，括号内各项都要变号。在解一元一次方程和整式化简中频繁出错。
  • 分式方程的验根：解分式方程后，必须验根。2017年试卷中涉及分式运算的题目，必须检查分母是否为零。
  • 二次函数图像与系数的关系：判断 \(a, b, c\) 的符号时，容易忽略对称轴的位置和特殊点（如顶点、与y轴交点）的影响。

2. 图形与几何领域

  • 平行线的性质与判定：在拐点问题（M型）中，作辅助线（过拐点作平行线）是核心方法，很多同学想不到这一步，导致角度推导错误。
  • 全等三角形的判定条件：SSA（边边角）不能判定三角形全等。在几何证明题中，不能直接使用SSA作为依据。
  • 圆的切线证明：连接半径是证明切线的“标准动作”。如果题目未给出半径，必须先作辅助线连接圆心与切点，再证明垂直。
  • 相似三角形的对应关系：在复杂的图形中，找相似三角形容易找错对应边，导致比例式列错。特别是“A”型和“8”型相似模型。

3. 统计与概率领域

  • 统计图的信息读取：条形图和扇形图结合时，容易算错总量。注意单位是否统一。
  • 概率计算：在“放回”与“不放回”实验中，概率的计算公式虽然相同，但在树状图或列表法中，样本空间的构成略有不同，需仔细审题。

4. 综合与实践（压轴题）

  • 分类讨论思想（数形结合）：
    • 动点产生的等腰三角形问题：必须考虑 \(AB=AC, AB=BC, AC=BC\) 三种情况。
    • 动点产生的直角三角形问题：必须考虑三个顶点分别作为直角顶点的情况。
    • 2017年真题教训：第26题（或类似的压轴题）往往涉及动点与面积、周长的关系，或者特殊四边形的存在性。切记：没有图形时，要画草图；有图形时，要注意点的位置（线上、延长线上）。

四、 备考建议

  1. 回归课本，夯实基础：中考题万变不离其宗，80%的题目都是基础题。务必熟记公式、定理及其推导过程。
  2. 规范书写，步骤严谨：解答题（特别是几何证明和函数题）要写出关键步骤。例如“在△ABC和△DEF中”，“∵…，∴…”，逻辑链条不能断。
  3. 建立错题本：将平时练习和考试中的错题分类整理，分析错误原因（是概念不清、计算失误还是思路卡壳），定期回顾。
  4. 限时训练，模拟实战：在最后的复习阶段，要按照中考的时间（120分钟）进行整套试卷的模拟训练，合理分配选择题、填空题和解答题的时间，避免前松后紧。

希望这份详细的解析和总结能帮助同学们更好地理解2017年贵阳中考数学真题，在未来的考试中取得优异成绩！