2017年天津高考数学试题全解析：揭秘高考数学难题解法与备考技巧

一、试题概述

2017年天津高考数学试题整体难度适中，但部分题目对考生的逻辑思维、计算能力和解题技巧提出了较高要求。本文将针对部分典型难题进行详细解析，并提供相应的备考技巧。

二、典型难题解析

1. 难题一：函数与导数

题目描述： 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。

解析： 首先，我们需要求出函数$f(x)$在$x=1$处的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有： $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$$ 代入$f(x)$的表达式，得到： $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^3 - 3(x+\Delta x)^2 + 4(x+\Delta x) - (x^3 - 3x^2 + 4x)}{\Delta x}$$ 化简后，求导得： $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$$ 代入$x=1$，得到$f’(1)=1$。因此，切线斜率为$1$。

接下来，我们需要求出切线方程。由于切线过点$(1, f(1))$，代入$f(1)=2$，得到切线方程为： $$y - 2 = 1(x - 1)$$ 即： $$y = x + 1$$

2. 难题二：数列与不等式

题目描述： 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2^n - 1$，求证：$a_n > a_{n-1}$。

解析： 要证明$a_n > a_{n-1}$，即证明$2^n - 1 > 2^{n-1} - 1$。两边同时加$1$，得到： $$2^n > 2^{n-1}$$ 两边同时除以$2^{n-1}$，得到： $$2 > 1$$ 显然，上式成立。因此，$an > a{n-1}$得证。

3. 难题三：立体几何与空间向量

题目描述： 已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的边长为$2$，点$E$、$F$分别为$A_1B_1$、$A_1D_1$的中点，求证：$\angle AEF = 90^\circ$。

解析： 首先，我们可以通过连接$AD_1$、$AE$、$AF$来构造一个平面$\triangle AEF$。由于$ABCD-A_1B_1C_1D_1$是正方体，因此$AD_1$垂直于$A_1B_1$和$A_1D_1$。又因为$E$、$F$分别为$A_1B_1$、$A_1D_1$的中点，所以$AE$垂直于$A_1B_1$和$A_1D_1$。因此，$AD_1$垂直于平面$\triangle AEF$。

由于$AE$和$AF$都在平面$\triangle AEF$内，所以$\angle AEF$是平面$\triangle AEF$内的角。根据线面垂直的性质，我们知道$\angle AEF = 90^\circ$。

三、备考技巧

夯实基础：掌握基本概念、公式和定理，为解题打下坚实基础。
注重训练：多做真题、模拟题，熟悉考试题型和难度。
提高计算能力：加强计算练习，提高计算速度和准确性。
培养解题技巧：学会运用多种解题方法，提高解题效率。
调整心态：保持良好心态，从容应对考试。