引言：专升本数学的重要性与备考挑战

专升本考试是许多专科生通往本科院校的重要桥梁，而数学科目往往是其中最具挑战性的一环。2019年辽宁专升本数学真题作为近年来的典型代表，不仅反映了考试的命题趋势，也为考生提供了宝贵的复习资料。通过深入剖析这套真题，我们可以发现其中的核心考点、常见难点以及命题规律，从而制定更有效的备考策略。

数学作为一门逻辑性强、知识点环环相扣的学科，要求考生不仅要掌握基本概念和公式，更要具备灵活运用的能力。对于辽宁专升本考试而言，数学试卷通常涵盖高等数学、线性代数、概率统计等多个模块，题型包括选择题、填空题和解答题。2019年的试题在难度上保持了适中偏上的水平，既考查基础知识，又注重综合应用能力。

本文将从以下几个方面展开：首先对2019年真题进行整体剖析，指出各模块的分值分布和命题特点；然后针对重点难点题目进行详细解析；接着提供系统性的备考策略和复习方法；最后给出实用的应试技巧和心态调整建议。希望通过这些内容，帮助考生攻克难点，掌握核心考点，在考试中取得理想成绩。

2019年辽宁专升本数学真题整体剖析

试卷结构与分值分布

2019年辽宁专升本数学试卷结构保持了相对稳定，全卷共150分，考试时间120分钟。题型分布如下：

  1. 选择题：共10小题，每小题3分，共30分
  2. 填空题：共10小题，每小题3分，共30分
  3. 解答题：共6小题，共90分（其中前几题每题10-12分，后两题每题15-18分）

从内容模块来看，各部分的分值占比大致为：

  • 函数、极限与连续：约20%
  • 一元函数微分学：约25%
  • 一元函数积分学：约25%
  • 多元函数微积分：约15%
  • 线性代数：约10%
  • 概率论初步：约5%

这种分布体现了”重点突出、全面覆盖”的命题原则，其中微积分部分占据了半壁江山，是复习的重中之重。

命题特点分析

2019年真题呈现出以下几个显著特点：

1. 基础性与综合性并重 试卷既考查了基本概念和运算能力，如极限的四则运算法则、导数的基本公式、不定积分的基本方法等；又设置了一些需要综合多个知识点的题目，例如将导数应用与函数性质分析相结合的题目。

2. 强调应用能力 部分题目设置了实际背景，要求考生将数学知识应用于实际问题。例如，利用导数求解最大利润问题、利用定积分计算平面图形面积等，体现了”学以致用”的导向。

3. 计算量适中但要求准确 整套试卷的计算量不算很大，但对计算的准确性要求较高。很多题目设置了”陷阱”，如果概念不清或粗心大意，很容易出错。

4. 难度梯度合理 试题难度呈梯度分布，既有送分的基础题，也有拉开差距的中档题和难题，有利于不同水平的考生发挥出自己的真实水平。

重点难点题目详细解析

函数极限与连续性（选择题第3题）

题目：设函数 \(f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x}\)，则 \(x=0\) 是 \(f(x)\) 的（ ） A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 本性间断点

解析： 这是一个典型的极限与连续性判断题。首先计算 \(x \to 0\) 时的极限： $\(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1\)\( （利用等价无穷小 \)\ln(1+x) \sim x$ 或洛必达法则）

由于极限存在且有限，但函数在 \(x=0\) 处无定义，因此 \(x=0\) 是可去间断点。

答案：A

总结：判断间断点类型的关键是计算左右极限。若左右极限相等但函数无定义或函数值不等于极限值，则为可去间断点；若左右极限存在但不相等，则为跳跃间断点；若至少一侧极限为无穷，则为无穷间断点；若左右极限都不存在，则为本性间断点。

导数的几何应用（解答题第12题）

题目：求曲线 \(y = x^3 - 3x^2 + 5\) 在点 \((2, 1)\) 处的切线方程和法线方程。

解析： 首先验证点 \((2, 1)\) 是否在曲线上：\(y(2) = 8 - 12 + 5 = 1\)，点在曲线上。

求导数：\(y' = 3x^2 - 6x\) 在 \(x=2\) 处的导数值（切线斜率）：\(k = y'(2) = 3 \times 4 - 12 = 0\)

因此切线方程为：\(y - 1 = 0 \times (x - 2)\)，即 \(y = 1\)

法线与切线垂直，斜率为负倒数（但切线斜率为0，法线斜率不存在），因此法线方程为：\(x = 2\)

总结：求切线方程的关键是”一点一斜率”，先验证点在曲线上，再求导数得到斜率，最后用点斜式写出方程。特别注意切线水平（斜率为0）和垂直（斜率不存在）的特殊情况。

不定积分计算（填空题第5题）

题目：\(\int x e^{2x} dx = \) ______

解析： 这是一个典型的分部积分问题。设 \(u = x\)，\(dv = e^{2x} dx\)，则 \(du = dx\)，\(v = \frac{1}{2} e^{2x}\)

根据分部积分公式 \(\int u dv = uv - \int v du\)： $\(\int x e^{2x} dx = x \cdot \1/2 e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C\)$

答案：\(\frac{1}{2} x e^{2x} - \frac14 e^{2x} + C\)

总结：分部积分法适用于被积函数为不同类型函数乘积的情况，关键是正确选择 \(u\) 和 \(dv\)。通常遵循”反对幂三指”原则：对数函数、反三角函数优先设为 \(u\)；幂函数、三角函数、指数函数中，幂函数优先设为 \(u\)。

二重积分计算（解答题第14题）

题目：计算二重积分 \(\iint_D (x+y) d\sigma\)，其中 \(D\) 是由 \(y=x, y=0, x=1\) 围成的区域。

解析： 首先画出积分区域 \(D\)：这是一个直角三角形，顶点为 \((0,0), (1,0), (1,1)\)。

选择积分次序：先对 \(y\) 后对 \(x\) 积分。 区域 \(D\) 可表示为：\(0 \le x \le 1\)，\(0 \le y \le x\)

计算： $\(\iint_D (x+y) d\sigma = \int_0^1 dx \int_0^x (x+y) dy\)\( \)\(= \int_0^1 \left[ xy + \frac{1}{2} y^2 \right]_{y=0}^{y=x} dx\)\( \)\(= \int_0^1 \left( x^2 + \frac{1}{2} x^2 \right) dx = \int_0^1 \frac{3}{2} x^2 dx\)\( \)\(= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} x^3 \Big|_0^1 = \frac{1}{2}\)$

总结：计算二重积分的关键是正确画出积分区域并选择合适的积分次序。当积分区域为X型（上下边界为函数）时，适合先对y后对x积分；当为Y型（左右边界为函数）时，适合先对x后对y积分。本题两种次序均可，但先对y后对x计算更简便。

线性代数：求逆矩阵（解答题第15题）

题目：设矩阵 \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)，求 \(A^{-1}\)。

解析： 对于2阶矩阵，可直接用公式： 若 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，则 \(A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)

计算行列式：\(|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2 \neq 0\)，矩阵可逆。

代入公式： $\(A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)$

验证：\(A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2+3 & 1-1 \\ -6+6 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{2} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

总结：求逆矩阵是线性代数的核心运算。对于2阶矩阵，公式法最简便；对于3阶及以上，通常使用伴随矩阵法或初等行变换法（高斯-约当消元法）。无论哪种方法，都要先验证矩阵是否可逆（行列式不为0）。

概率论：古典概型（填空题第8题）

题目：从1,2,3,4,5五个数字中任取两个，这两个数都是奇数的概率为 ______。

解析： 这是一个古典概型问题。基本事件总数：从5个数中任取2个的组合数 \(C_5^2 = 10\)。

有利事件（两个数都是奇数）：奇数有1,3,5共3个，从中取2个的组合数 \(C_3^2 = 3\)。

因此概率 \(P = \frac{3}{10}\)。

答案：\(\frac{3}{10}\)

总结：古典概型的关键是正确计算基本事件总数和有利事件数，注意是排列还是组合。本题”任取两个”不考虑顺序，所以用组合数。

核心考点梳理

通过对2019年真题的分析，我们可以归纳出以下核心考点：

1. 函数与极限

  • 核心概念：函数定义域、值域、复合函数、反函数
  • 重点内容：极限计算（特别是0/0型和∞/∞型）、无穷小比较、连续性判断
  • 常见题型：求极限、判断间断点类型、利用连续性求参数

2. 一元函数微分学

  • 核心概念：导数定义、微分概念、中值定理
  • 重点内容：求导法则（四则运算、复合函数、隐函数、参数方程）、导数应用（单调性、极值、凹凸性、拐点）
  • 常见题型：求导数、求切线方程、求极值、证明不等式

3. 一元函数积分学

  • 核心概念：原函数、不定积分、定积分几何意义
  • 重点内容：基本积分法（凑微分、换元、分部）、定积分计算、反常积分、积分应用（面积、体积）
  • 常见题型：求不定积分、求定积分、求反常积分、求平面图形面积

3. 多元函数微积分

  • 核心概念：偏导数、全微分、二重积分概念
  • 重点内容：求偏导数（特别是复合函数和隐函数）、二重积分计算（直角坐标和极坐标）
  • 常见题型：求偏导数、求全微分、计算二重积分

4. 线性代数

  • 核心概念：矩阵运算、行列式、向量组的线性相关性、线性方程组
  • 重点内容：矩阵运算、求逆矩阵、矩阵的秩、解线性方程组（高斯消元法）
  • 常见题型：矩阵运算、求逆矩阵、求矩阵的秩、解线性方程组

5. 概率论初步

  • 核心概念：随机事件、概率、古典概型、条件概率、独立性
  • 重点内容：概率计算公式、全概率公式、贝叶斯公式、离散型随机变量
  • 常见题型：古典概型计算、条件概率计算、独立事件概率计算

系统性备考策略

第一阶段：基础夯实（1-2个月）

目标：全面覆盖大纲要求的所有知识点，建立完整的知识体系。

具体方法：

  1. 教材精读：以辽宁省专升本指定教材为主，逐章逐节学习，确保理解每个概念的内涵和外延。
  2. 笔记整理：建立自己的知识框架，用思维导图梳理各章节的逻辑关系。
  3. 例题精做：教材中的例题是基础中的基础，要反复研究，掌握解题思路。
  4. 基础练习：完成教材后的习题，不求快，但求每题都彻底弄懂。

时间分配：每天2-3小时，周末可适当增加。

第二阶段：强化训练（1个月）

目标：通过大量练习，提高解题速度和准确率，掌握各类题型的解题技巧。

具体方法：

  1. 分类练习：按题型（选择题、填空题、解答题）和知识点进行专项训练。
  2. 真题演练：做近5年的辽宁专升本数学真题，感受真实考试难度和命题风格。
  3. 错题本：建立错题本，记录错误原因和正确解法，定期回顾。
  4. 方法总结：总结各类题型的通性通法，如求极限的14种方法、求不定积分的常用技巧等。

时间分配：每天3-4小时，保证至少1小时用于做题，1小时用于总结和订正。

第三阶段：冲刺模拟（2-3周）

目标：模拟真实考试环境，调整应试状态，查漏补缺。

具体方法：

  1. 全真模拟：严格按照考试时间（120分钟）完成模拟试卷，训练时间分配能力。
  2. 查漏补缺：通过模拟考试发现薄弱环节，有针对性地进行复习。
  3. 公式记忆：整理所有需要记忆的公式、定理，制作小卡片随身携带，利用碎片时间记忆。
  4. 心态调整：保持规律作息，适当进行体育锻炼，缓解考前焦虑。

时间分配：每天2-3小时，以模拟考试和总结为主。

日常学习建议

  1. 坚持每日一练：每天做3-5道典型题目，保持手感。
  2. 重视概念理解：不要死记硬背公式，要理解公式的推导过程和适用条件。
  3. 培养计算能力：提高计算准确率，避免”会而不对”的低级错误。
  4. 建立知识网络：将不同章节的知识点联系起来，形成知识网络，便于综合应用。

应试技巧与常见误区

应试技巧

1. 时间分配策略

  • 选择题：15-20分钟（平均每题1.5-2分钟）
  • 填空题：15-20分钟（平均每题1.5-2分钟）
  • 解答题：80-90分钟（前4题每题10-12分钟，后2题每题15-18分钟）
  • 预留5分钟检查

2. 答题顺序

  • 一般按题目顺序作答，遇到难题先跳过，做完所有题目后再回头攻克。
  • 解答题要写出关键步骤，即使最后结果不对，过程分也很重要。

3. 选择题技巧

  • 直接法：直接计算得出答案
  • 排除法：排除明显错误的选项
  • 特殊值法：代入特殊值验证选项
  • 数形结合法：画图辅助分析

4. 填空题技巧

  • 注意填写规范，如分数要写最简形式，根号要化简等。
  • 有些题目可能有多个答案，要仔细审题。

5. 解答题技巧

  • 步骤要完整，关键公式和定理要写出。
  • 计算过程要清晰，便于检查和得分。
  • 结论要明确，最好单独一行写出。

常见误区与规避方法

误区1：重计算轻概念 很多考生只注重做题数量，忽视对基本概念的理解。例如，不理解导数的几何意义，导致求切线方程时出错。

规避方法：每个概念都要理解其本质，能用自己的话解释，并知道其几何意义和物理意义。

误区2：眼高手低，忽视计算 有些考生认为自己会做就不动手计算，结果考试时计算错误频出。

规避方法：平时练习要完整计算，不要跳步，培养一次算对的习惯。

误区3：盲目刷题，不总结 做很多题但不总结规律，遇到类似题目还是不会。

规避方法：每做完一类题目，要总结解题思路和常用方法，建立题型与方法的对应关系。

误区4：忽视教材，只做模拟题 模拟题难度可能偏高或偏低，不能准确反映考试要求。

规避方法：以教材和真题为主，模拟题作为补充，不要本末倒置。

误区5：考前突击，忽视平时积累 数学能力需要长期培养，临时抱佛脚效果有限。

规避方法：制定长期计划，坚持每天学习，循序渐进。

难点攻克专项指导

极限计算的难点突破

常见难点：

  1. 0/0型和∞/∞型极限的处理
  2. 含有根式的极限
  3. 利用等价无穷小替换时的条件把握

突破方法：

  • 洛必达法则：适用于0/0或∞/∞型，注意只能使用一次，使用前要验证条件。
  • 等价无穷小：熟记常用等价无穷小公式，如 \(x \to 0\) 时，\(\sin x \sim x\)，\(\ln(1+x) \sim x\) 等。
  • 重要极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)，\(\lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e\) 等。
  • 因式分解：对于有理函数，先因式分解消去零因子。

例题：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+2x)}{x}\)

解法1（等价无穷小）：\(\ln(1+2x) \sim 2x\)，所以极限为2。

解法2（洛必达法则）：\(\lim_{x \to 0} \frac{2/(1+2x)}{1} = 2\)。

不定积分的难点突破

常见难点：

  1. 凑微分法的灵活运用
  2. 分部积分中 \(u\) 和 \(dv\) 的选择
  3. 有理函数积分

突破方法：

  • 熟记基本积分公式：至少要熟练掌握30个基本积分公式。
  • 掌握四大方法：凑微分法、换元法、分部积分法、有理函数积分法。
  • 总结常见类型：如 \(\int e^{ax} \sin bx dx\) 等类型题有固定解法。

例题：\(\int \frac{1}{x \ln x} dx\)

解法：令 \(u = \ln x\)，则 \(du = \frac{1}{x} dx\)，原式 \(= \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\ln x| + C\)

二重积分的难点突破

常见难点：

  1. 积分区域的正确表示
  2. 积分次序的选择与交换
  3. 利用对称性简化计算

突破方法：

  • 画图准确：一定要画出积分区域，标出边界曲线。
  • 确定积分次序：根据区域特点和被积函数选择简便的次序。
  • 利用对称性：若区域关于y轴对称，被积函数为x的奇函数，则积分为0；若为偶函数，可简化为一半区域的2倍。

例题：计算 \(\iint_D xy d\sigma\)，其中 \(D\) 由 \(y=x^2\) 和 \(y=x\) 围成。

解法： 区域 \(D\)：\(0 \le x \le 1\)，\(x^2 \le y \le x\) $\(\iint_D xy d\sigma = \int_0^1 x dx \int_{x^2}^x y dy = \int_0^1 x \cdot \frac{1}{2}(x^2 - x^4) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (x^3 - x^5) dx = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) = \frac{1}{24}\)$

线性方程组的难点突破

常见难点：

  1. 含参数的方程组解的讨论
  2. 基础解系的求法
  3. 实际应用问题转化为方程组

突破方法：

  • 熟练掌握高斯消元法：这是解线性方程组的通用方法。
  • 理解解的结构：齐次方程组的通解 = 基础解系的线性组合；非齐次方程组的通解 = 对应齐次通解 + 特解。
  • 参数讨论要全面：对参数的各种取值情况进行分类讨论。

例题：讨论 \(\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + az = 2 \\ x + 4y + a^2 z = 4 \end{cases}\) 的解的情况。

解法： 对增广矩阵进行初等行变换： $\(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a & 2 \\ 1 & 4 & a^2 & 4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 3 & a^2-1 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & a-1 & 1 \\ 0 & 0 & (a-1)(a-2) & 0 \end{pmatrix}\)$

讨论：

  • 当 \(a \neq 1\) 且 \(a \neq 2\) 时，有唯一解
  • 当 \(a=1\) 时，无穷多解
  • 当 \(a=2\) 时，无解

心态调整与复习规划

心态调整

1. 正确认识数学 数学不是天赋者的专利，而是可以通过系统学习和持续练习掌握的技能。要相信”勤能补拙”。

2. 克服畏难情绪 遇到难题不要逃避，要分析难点所在，逐个击破。每攻克一个难点，都是一次进步。

3. 保持适度紧张 考前适度紧张有助于发挥，但过度焦虑会影响状态。可以通过运动、听音乐等方式调节。

4. 建立正向反馈 每完成一个学习目标，给自己一些小奖励，形成正向激励循环。

复习时间规划建议

长期规划（3-6个月）：

  • 前2-3个月：完成第一阶段基础学习
  • 中间1-2个月：第二阶段强化训练
  • 最后1个月：第三阶段冲刺模拟

每日时间安排（示例）：

  • 早晨（30分钟）：回顾前一天的错题和笔记
  • 白天（1-2小时）：学习新知识或做专项练习
  • 晚上（1小时）：总结当天学习内容，整理笔记

每周安排：

  • 周一至周五：按计划学习
  • 周六：本周内容复习和错题整理
  • 周日：适当休息或做一套模拟题

学习效率提升技巧

1. 费曼学习法 尝试将学到的知识讲给别人听（或自己讲给自己），如果能讲清楚，说明真正理解了。

2. 番茄工作法 学习25分钟，休息5分钟，提高专注度。

3. 主动回忆 不要只是被动地看，要主动回忆和复述，这样记忆更牢固。

4. 间隔重复 对重要知识点和公式，按照遗忘曲线进行间隔重复记忆。

结语

2019年辽宁专升本数学真题为我们指明了备考方向，揭示了考试的核心考点和常见难点。通过系统性的学习和针对性的训练，任何考生都能攻克数学难关。记住，数学学习没有捷径，但有方法。只要坚持”理解概念、熟练运算、总结规律、模拟实战”的十六字方针，辅以科学的时间管理和良好的心态，你一定能在专升本数学考试中取得优异成绩，实现本科梦想！

最后，祝愿所有备考2024年及以后辽宁专升本考试的考生都能金榜题名，前程似锦！