2019年深圳中考数学卷：揭秘解题技巧与备考策略

了解深圳中考数学卷特点

深圳中考数学试卷以考察学生的基础知识和应用能力为核心，题型多样，包括选择题、填空题、解答题等。试卷内容贴近生活，注重考查学生的逻辑思维和创新能力。2019年的试卷也不例外，以下是一些解题技巧和备考策略。

已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，若$f(x)$的最大值为3，则$x$的取值范围是______。

解题步骤：

若$a^2 + b^2 = 25$，$ac + bd = 10$，$ad - bc = 6$，则$ab$的值为______。

解题步骤：

根据题目条件，可以列出方程组： $$ \begin{cases} a^2 + b^2 = 25 \\ ac + bd = 10 \\ ad - bc = 6 \end{cases} $$
将第一个方程变形为$c^2 + d^2 = 25 - a^2 - b^2$。
将第二个方程两边同时乘以$c$，第三个方程两边同时乘以$d$，得到： $$ \begin{cases} ac^2 + bd^2 = 10c \\ ad^2 - bc^2 = 6d \end{cases} $$
将上面两个方程相加，得到： $$ ac^2 + bd^2 + ad^2 - bc^2 = 10c + 6d $$
化简得： $$ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 10c + 6d $$
代入第一个方程，得到： $$ 25(c^2 + d^2) = 10c + 6d $$
化简得： $$ 5(c^2 + d^2) = 2c + 3d $$
由于$c^2 + d^2 = 25 - a^2 - b^2$，代入上式得： $$ 5(25 - a^2 - b^2) = 2c + 3d $$
整理得： $$ 125 - 5a^2 - 5b^2 = 2c + 3d $$
由$a^2 + b^2 = 25$，代入上式得： $$ 125 - 5 \times 25 = 2c + 3d $$
解得： $$ 2c + 3d = -50 $$
由韦达定理，得到： $$ ab = \frac{c^2 + d^2}{2} = \frac{25 - a^2 - b^2}{2} = \frac{25 - 25}{2} = 0 $$

已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$的零点。

解题步骤：

求函数$f(x)$的导数：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
当$x < \frac{2}{3}$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；当$\frac{2}{3} < x < 1$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增。
因此，$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$和$x = 1$处取得极值。
计算$f(\frac{2}{3})$和$f(1)$的值： $$ f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) + 1 = \frac{5}{27} $$ f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3 $$
由于$f(x)$在$x = \frac{2}{3}$和$x = 1$处取得极值，且$f(\frac{2}{3})$和$f(1)$异号，根据零点存在定理，$f(x)$在$(\frac{2}{3}, 1)$内存在一个零点。
同理，$f(x)$在$(1, +\infty)$内也存在一个零点。
因此，$f(x)$的零点为$x = \frac{2}{3}$和$x = 1$。