高考数学作为衡量学生数学能力的重要手段，一直备受关注。2019年山东大学数学高考题目，以其难度和深度，成为了众多考生和家长关注的焦点。本文将深入解析这些难题背后的奥秘，帮助读者更好地理解高考数学的精髓。
一、高考数学难题的特点
1. 知识点的综合运用
高考数学难题往往涉及多个知识点的综合运用，要求考生不仅掌握单个知识点，还要能够灵活运用多个知识点解决问题。
2. 思维的深度与广度
解决高考数学难题需要考生具备较高的思维深度和广度，能够从不同角度分析问题，寻找解题思路。
3. 问题的创新性
高考数学难题在问题的设计上往往具有创新性，能够考察考生的创新思维和解决问题的能力。
二、2019年山东大学数学高考难题解析
1. 难题一：函数与导数
题目描述：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)，求函数的极值点和拐点。
解题思路：
- 求函数的一阶导数\(f'(x)\)，令\(f'(x)=0\)，解得极值点。
- 求函数的二阶导数\(f''(x)\)，令\(f''(x)=0\)，解得拐点。
- 分析一阶导数和二阶导数的符号变化，确定极值点和拐点的性质。
代码示例：
from sympy import symbols, diff
# 定义变量
x = symbols('x')
f = x**3 - 3*x**2 + 4*x + 6
# 求一阶导数
f_prime = diff(f, x)
# 求二阶导数
f_double_prime = diff(f_prime, x)
# 解方程f_prime=0，得到极值点
extreme_points = f_prime.simplify()
print("极值点：", extreme_points)
# 解方程f_double_prime=0，得到拐点
inflection_points = f_double_prime.simplify()
print("拐点：", inflection_points)
2. 难题二：数列与不等式
题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}\)，求证：对于任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，有\(a_n\geq2\)。
解题思路：
- 利用数学归纳法证明。
- 证明基础步骤：当\(n=1\)时，\(a_1=1\geq2\)。
- 归纳步骤：假设当\(n=k\)时，\(a_k\geq2\)成立，证明当\(n=k+1\)时，\(a_{k+1}\geq2\)。
证明过程：
- 基础步骤：当\(n=1\)时，\(a_1=1\geq2\)，不满足条件，因此假设不成立。
- 归纳步骤：假设当\(n=k\)时，\(a_k\geq2\)成立，即\(a_k\geq2\)。 $\(a_{k+1}=a_k+\frac{1}{a_k}\geq2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}>2\)\( 因此，当\)n=k+1\(时，\)a_{k+1}\geq2\(。 由数学归纳法可知，对于任意\)n\in\mathbb{N}^*\(，有\)a_n\geq2$。
三、总结
2019年山东大学数学高考难题考察了考生对数学知识的综合运用、思维深度与广度以及创新思维。通过以上解析，我们可以看到高考数学难题背后的奥秘，从而更好地理解高考数学的精髓。