引言

广州中考数学作为选拔优秀学生的关键科目之一，每年都会涌现出一些具有挑战性的题目。本文将针对2021年广州中考数学中的几道难题进行详细解析，旨在帮助读者理解这些难题背后的数学原理和解题思路。

难题一：几何问题

问题描述： 在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在边AC上，AD=BD，且∠BAC=60°。求证：BD⊥AC。

解题思路：

  1. 由于AB=AC，故三角形ABC为等腰三角形。
  2. 根据题意，AD=BD，故三角形ABD为等腰三角形。
  3. 利用等腰三角形的性质，得到∠BAD=∠BDA。
  4. 由于∠BAC=60°，故∠BAD=60°。
  5. 在三角形ABD中，∠BAD=60°，∠BDA=60°，故三角形ABD为等边三角形。
  6. 由于AB=AC，AD=BD，故AC=BD。
  7. 在三角形ACD中，AC=BD，故三角形ACD为等腰三角形。
  8. 由于∠BAC=60°，故∠ACD=60°。
  9. 在直角三角形ADC中，∠ACD=60°，故∠ADC=90°。
  10. 由此证明BD⊥AC。

难题二：函数问题

问题描述： 已知函数f(x)=x^3-3x，求证：对于任意实数x，都有f(x)+f(-x)=0。

解题思路：

  1. 根据函数的定义，f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x。
  2. 将f(x)和f(-x)相加，得到f(x)+f(-x)=x^3-3x+(-x^3+3x)。
  3. 化简得到f(x)+f(-x)=0。

难题三：概率问题

问题描述： 从0到9这10个数字中随机取出一个数字，然后取一个大于该数字的数字，求取出的两个数字之和为奇数的概率。

解题思路：

  1. 从0到9这10个数字中取出一个数字，有10种可能。
  2. 从大于该数字的数字中取出一个，有9种可能（不包括0到9中的最大数字）。
  3. 两个数字之和为奇数的情况有以下几种：
    • 第一个数字为奇数，第二个数字为偶数；
    • 第一个数字为偶数，第二个数字为奇数。
  4. 从0到9中，奇数有5个，偶数有5个。
  5. 当第一个数字为奇数时，有5种可能，第二个数字为偶数时，有4种可能； 当第一个数字为偶数时，有5种可能，第二个数字为奇数时，有4种可能。
  6. 因此，取出的两个数字之和为奇数的概率为：(5×4+5×4)÷(10×9)。

总结

通过以上解析，我们可以看到，广州中考数学中的难题往往涉及多个知识点，需要考生具备扎实的数学基础和解题技巧。对于这类难题，考生需要学会灵活运用各种数学原理，并具备一定的逻辑思维能力。希望本文的解析能够帮助读者更好地理解这些难题背后的数学奥秘。