一、代数部分
1.1 一元一次方程
公式：\( ax + b = 0 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 是常数，\( x \) 是未知数。
解析：一元一次方程是求解未知数 \( x \) 的等式。解方程的基本步骤是移项和合并同类项。
例题：解方程 \( 3x - 5 = 14 \)。
代码：
# 定义方程系数
a = 3
b = -5
c = 14
# 移项
x = (c - b) / a
# 输出解
print(f"方程 {a}x + {b} = {c} 的解为 x = {x}")
1.2 一元二次方程
公式：\( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 是常数，\( x \) 是未知数。
解析：一元二次方程是求解未知数 \( x \) 的二次方程。解一元二次方程通常使用配方法、公式法或因式分解法。
例题：解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
代码：
import math
# 定义方程系数
a = 1
b = -5
c = 6
# 计算判别式
delta = b**2 - 4*a*c
# 判断解的情况
if delta > 0:
x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2*a)
x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2*a)
print(f"方程 {a}x^2 + {b}x + {c} = 0 的解为 x1 = {x1}, x2 = {x2}")
elif delta == 0:
x = -b / (2*a)
print(f"方程 {a}x^2 + {b}x + {c} = 0 的解为 x = {x}")
else:
print("方程无实数解")
二、几何部分
2.1 三角函数
公式：正弦函数 \( \sin \theta = \frac{y}{r} \)，余弦函数 \( \cos \theta = \frac{x}{r} \)，正切函数 \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)，其中 \( \theta \) 是角度，\( x \)、\( y \) 和 \( r \) 是直角三角形的边长。
解析：三角函数用于描述直角三角形中角度与边长之间的关系。
例题：已知直角三角形的一边长为 3，另一边长为 4，求斜边的长度。
代码：
import math
# 定义直角三角形的边长
x = 3
y = 4
# 计算斜边长度
r = math.sqrt(x**2 + y**2)
# 输出斜边长度
print(f"直角三角形的斜边长度为 r = {r}")
2.2 圆的面积和周长
公式：圆的面积 \( S = \pi r^2 \)，圆的周长 \( C = 2\pi r \)，其中 \( r \) 是圆的半径。
解析：圆的面积和周长是描述圆的基本几何量。
例题：已知圆的半径为 5，求圆的面积和周长。
代码：
import math
# 定义圆的半径
r = 5
# 计算圆的面积和周长
S = math.pi * r**2
C = 2 * math.pi * r
# 输出圆的面积和周长
print(f"圆的面积为 S = {S}, 周长为 C = {C}")
三、概率与统计部分
3.1 概率公式
公式：\( P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \)，其中 \( P(A) \) 是事件 \( A \) 发生的概率，\( n(A) \) 是事件 \( A \) 发生的次数，\( n(S) \) 是样本空间中所有可能事件的总次数。
解析：概率公式用于描述事件发生的可能性。
例题：抛掷一枚硬币 10 次，求正面向上的概率。
代码：
import random
# 抛掷硬币 10 次
results = [random.choice(['正面', '反面']) for _ in range(10)]
# 计算正面向上的次数
n_A = results.count('正面')
# 计算总次数
n_S = len(results)
# 计算概率
P_A = n_A / n_S
# 输出概率
print(f"正面向上的概率为 P(正面) = {P_A}")
3.2 平均数和方差
公式：平均数 \( \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \)，方差 \( \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} \)，其中 \( x_i \) 是一组数据中的第 \( i \) 个数，\( n \) 是数据个数。
解析：平均数和方差是描述一组数据集中趋势和离散程度的统计量。
例题：已知一组数据为 2、4、6、8、10，求平均数和方差。
代码：
# 定义一组数据
data = [2, 4, 6, 8, 10]
# 计算平均数
average = sum(data) / len(data)
# 计算方差
variance = sum((x - average)**2 for x in data) / len(data)
# 输出平均数和方差
print(f"平均数为 \bar{x} = {average}, 方差为 \sigma^2 = {variance}")