一、选择题解析
1. 题目一：若 ( a > 0 )，( b < 0 )，则下列不等式中正确的是（ ）
解析：由于 ( a > 0 )，( b < 0 )，所以 ( a + b ) 的符号取决于 ( a ) 和 ( b ) 的绝对值大小。若 ( |a| > |b| )，则 ( a + b > 0 )；若 ( |a| < |b| )，则 ( a + b < 0 )。因此，正确答案为 B。
2. 题目二：若 ( x^2 - 5x + 6 = 0 )，则 ( x ) 的取值范围是（ ）
解析：这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或使用求根公式求解。因式分解得 ( (x - 2)(x - 3) = 0 )，所以 ( x = 2 ) 或 ( x = 3 )。因此，( x ) 的取值范围是 ( x = 2 ) 或 ( x = 3 )，正确答案为 C。
二、填空题解析
1. 题目一：若 ( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} )，且 ( a \neq 0 )，( b \neq 0 )，( c \neq 0 )，( d \neq 0 )，则 ( \frac{a + c}{b + d} = )
解析：由比例的性质可知，( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} ) 等价于 ( ad = bc )。因此，( \frac{a + c}{b + d} = \frac{ad + cd}{bd + cd} = \frac{c(a + d)}{d(b + d)} = \frac{c}{d} )。正确答案为 ( \frac{c}{d} )。
2. 题目二：若 ( \sqrt{x^2 + y^2} = 5 )，则 ( x^2 + y^2 ) 的最小值为（ ）
解析：由勾股定理可知，( x^2 + y^2 ) 表示直角三角形的斜边平方。因此，( x^2 + y^2 ) 的最小值为 0，当且仅当 ( x = 0 ) 和 ( y = 0 ) 时。正确答案为 0。
三、解答题解析
1. 题目一：已知 ( x^2 + 2x + 1 = 0 )，求 ( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 ) 的值。
解析：首先，由 ( x^2 + 2x + 1 = 0 ) 可得 ( (x + 1)^2 = 0 )，所以 ( x = -1 )。将 ( x = -1 ) 代入 ( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 ) 得 ( (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 - 3 + 1 = 0 )。因此，( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 ) 的值为 0。
2. 题目二：若 ( a )，( b )，( c ) 成等差数列，且 ( a + b + c = 12 )，( ab + bc + ca = 36 )，求 ( abc ) 的值。
解析：由等差数列的性质可知，( b = \frac{a + c}{2} )。将 ( b ) 代入 ( ab + bc + ca = 36 ) 得 ( a^2 + c^2 + 2ac = 36 )。又因为 ( a + b + c = 12 )，所以 ( (a + c)^2 = 144 )，即 ( a^2 + 2ac + c^2 = 144 )。将这两个等式相减得 ( 2ac = 108 )，所以 ( ac = 54 )。因此，( abc = a \cdot b \cdot c = a \cdot \frac{54}{a} = 54 )。所以，( abc ) 的值为 54。