98年数学竞赛：揭秘经典题型，挑战你的智慧极限

引言

数学竞赛作为检验和提升学生数学素养的重要方式，每年都吸引着无数热爱数学的学子参与。1998年的数学竞赛在众多竞赛中脱颖而出，其题型新颖、难度高，至今仍被许多数学爱好者津津乐道。本文将带您回顾98年数学竞赛的经典题型，并分析其解题思路，挑战您的智慧极限。

1998年全国中学生数学竞赛由中国数学会主办，旨在激发学生对数学的兴趣，提高学生的数学素养。此次竞赛吸引了全国各地数万名学生参加，竞争激烈。

题目：设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 2\)。

解题思路：

首先，我们对函数\(f(x)\)求导，得到\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。接下来，我们分析函数\(f(x)\)在\(x_1\)和\(x_2\)之间的增减性。

当\(x\in(-\infty,x_1)\)时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(x\in(x_1,x_2)\)时，\(f'(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减；当\(x\in(x_2,+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增。

因此，\(f(x)\)在\(x_1=1\)处取得局部最小值，即\(f(1)=2\)。又因为\(f(0)=6\)，\(f(2)=10\)，所以\(f(x)\geq 2\)对于任意实数\(x\)都成立。

题目：已知数列\(\{a_n\}\)，其中\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，且对于任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，都有\(a_{n+1}=a_n+a_n^2\)。求证：对于任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，都有\(a_n>2^n\)。

解题思路：

首先，我们证明\(a_3>2^3\)。由题意得\(a_3=a_2+a_2^2=2+4=6>8=2^3\)。

接下来，我们假设对于某个\(k\in\mathbb{N}^*\)，有\(a_k>2^k\)成立。则\(a_{k+1}=a_k+a_k^2>2^k+2^k=2\cdot2^k=2^{k+1}\)。

因此，对于任意\(n\in\mathbb{N}^*\)，都有\(a_n>2^n\)。

题目：从1到100中随机选取10个不同的整数，求恰好选取到10个连续整数的概率。

解题思路：

首先，从1到100中选取10个连续整数，共有100-10+1=91种可能。

接下来，我们计算从1到100中选取10个不同整数的总方法数。这是一个组合问题，可以用组合公式计算：\(C_{100}^{10}=\frac{100!}{10!(100-10)!}\)。

因此，所求概率为\(\frac{91}{C_{100}^{10}}\)。

1998年数学竞赛的经典题型展示了数学的深度与广度。通过分析这些题型，我们可以了解到数学的魅力和挑战。希望本文能帮助您在数学学习的道路上越走越远。