引言

高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，它不仅为后续的专业课程打下坚实的基础，而且对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。北京理工大学（简称北理工）的经典教材《高等数学》因其严谨的体系、丰富的例题和习题而受到广大师生的喜爱。本文将围绕这部教材，提供学习指南与难题解析，帮助读者更好地掌握高等数学的知识。

第一章：极限与连续

1.1 极限的概念

极限是高等数学中的基础概念，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。以下是极限的基本定义：

设函数f(x)在点x=c的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-c|<δ时，有|f(x)-A|<ε，则称常数A为函数f(x)当x趋向于c时的极限，记作：
lim(x→c) f(x) = A

1.2 连续的概念

连续是函数在某一区间内变化平稳的体现。以下是连续的基本定义：

设函数f(x)在点x=c的某个邻域内有定义，如果f(c)存在且等于：
lim(x→c) f(x)
则称函数f(x)在点x=c处连续。

1.3 难题解析

例题：证明函数f(x) = x^2在x=0处连续。

解析：

根据连续的定义，我们需要证明f(0)存在且等于： lim(x→0) f(x)

由于f(x) = x^2，所以f(0) = 0。

接下来，我们计算极限： lim(x→0) x^2 = 0

因此，f(0) = 0，且等于极限值，所以f(x) = x^2在x=0处连续。

第二章：导数与微分

2.1 导数的概念

导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率。以下是导数的基本定义：

设函数f(x)在点x=c的某个邻域内有定义，如果：
lim(Δx→0) [f(c+Δx) - f(c)] / Δx
存在，则称此极限为函数f(x)在点x=c处的导数，记作f'(c)或df(x)/dx|_{x=c}。

2.2 微分的概念

微分是导数的线性近似，它描述了函数在某一点处的局部线性变化率。以下是微分的定义：

设函数f(x)在点x=c的某个邻域内有定义，如果导数f'(c)存在，则称f'(c)为函数f(x)在点x=c处的微分，记作df(x)|_{x=c}。

2.3 难题解析

例题：求函数f(x) = x^3在x=2处的导数。

解析：

根据导数的定义，我们需要计算： lim(Δx→0) [(2+Δx)^3 - 2^3] / Δx

展开并简化上式，得到： lim(Δx→0) [8 + 12Δx + 6Δx^2 + Δx^3 - 8] / Δx = lim(Δx→0) [12Δx + 6Δx^2 + Δx^3] / Δx = lim(Δx→0) [12 + 6Δx + Δx^2] = 12

因此，f’(2) = 12。

第三章：积分

3.1 定积分的概念

定积分描述了函数在一个区间上的累积变化量。以下是定积分的基本定义：

设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，任取一组分点x_0, x_1, ..., x_n，将区间[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx_i = x_i - x_{i-1}，取每个小区间的中点ξ_i，则定积分定义为：
∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[i=1, n] f(ξ_i)Δx_i

3.2 积分的性质

积分具有以下性质：

  1. 线性性质：∫a, b dx = cf(x)dx + g(x)dx，其中c为常数。
  2. 可加性质：∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx，其中c为区间[a, b]内的任意一点。
  3. 反函数性质：如果f(x)在[a, b]上可积，且存在反函数x = φ(y)，则∫[a, b] f(x) dx = ∫[φ(a), φ(b)] f(φ(y)) φ’(y) dy。

3.3 难题解析

例题：求函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。

解析：

根据定积分的定义，我们需要计算： ∫[0, 1] x^2 dx = lim(n→∞) Σi=1, nΔx_i

取每个小区间的中点ξi = (x{i-1} + xi) / 2，得到： ∫[0, 1] x^2 dx = lim(n→∞) Σ[i=1, n] [(x{i-1} + x_i)^2]Δx_i / 2

展开并简化上式，得到： ∫[0, 1] x^2 dx = lim(n→∞) Σ[i=1, n] [(x{i-1}^2 + 2x{i-1}x_i + x_i^2)]Δxi / 2 = lim(n→∞) [Σ[i=1, n] (x{i-1}^2)Δxi + Σ[i=1, n] (2x{i-1}x_i)Δx_i + Σi=1, nΔx_i] / 2

由于x_{i-1}^2Δx_i和x_i^2Δxi在求和过程中相互抵消，我们只需计算中间项： ∫[0, 1] x^2 dx = lim(n→∞) [Σ[i=1, n] (2x{i-1}x_i)Δx_i] / 2

取Δxi = (1/n)，得到： ∫[0, 1] x^2 dx = lim(n→∞) [Σ[i=1, n] (2x{i-1}(1/n)) (1/n)] / 2 = lim(n→∞) [Σi=1, n] / 2 = lim(n→∞) [2Σi=1, n] / 2 = lim(n→∞) [Σi=1, n] = lim(n→∞) [Σi=1, n/n^2] = lim(n→∞) [(n-1)/n^2] * (1⁄2) = 1⁄3

因此，∫[0, 1] x^2 dx = 1/3。

总结

本文以北京理工大学经典教材《高等数学》为基础，对极限、连续、导数、微分和积分等基本概念进行了详细的介绍和解析。通过对这些概念的理解和掌握，读者可以更好地学习高等数学，为后续的专业课程打下坚实的基础。