北师大版高一数学必修一答案详解与解题思路全解析

引言：高一数学学习的挑战与机遇

高一数学必修一是高中数学学习的起点，也是学生从初中数学向高中数学思维转变的关键阶段。北师大版教材作为国内主流教材之一，其内容编排注重逻辑性与应用性，涵盖了集合、函数、基本初等函数等核心内容。许多学生在学习过程中会遇到理解困难、解题思路不清晰等问题。本文将针对北师大版高一数学必修一的重点章节进行详细解析，提供解题思路和方法指导，帮助学生建立系统的知识体系和解题策略。

第一章：集合——数学语言的基础

1.1 集合的基本概念与表示方法

主题句：集合是现代数学的基础语言，掌握集合的概念和表示方法是理解后续数学知识的前提。

支持细节：

• 集合的三大特性：确定性、互异性、无序性
• 常见表示方法：列举法、描述法、韦恩图
• 元素与集合的关系：属于（∈）、不属于（∉）

典型例题解析： 例1：设集合A={x|x²-5x+6=0}，B={2,3}，判断A与B的关系。

解题思路：

1. 首先解方程x²-5x+6=0，因式分解得(x-2)(x-3)=0，解得x=2或x=3
2. 因此A={2,3}
3. 比较A与B，发现A=B
4. 结论：A=B

详细解答：

解方程：x²-5x+6=0
因式分解：(x-2)(x-3)=0
解得：x₁=2，x₂=3
所以A={2,3}
又因为B={2,3}
所以A=B

1.2 集合间的关系与运算

主题句：理解子集、真子集、交集、并集、补集的概念及其运算性质是解决集合问题的关键。

支持细节：

• 子集：∀x∈A ⇒ x∈B
• 真子集：A⊆B且A≠B
• 交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}
• 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}
• 补集：∁ᵤA={x|x∈U且x∉A}

典型例题解析： 例2：已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x²-2x-3>0}，求A∩B，A∪B，(∁ᵤA)∩B。

解题思路：

1. 首先化简集合B的不等式
2. 在数轴上表示集合A和B
3. 根据图形求交集、并集
4. 求补集后再与B求交

详细解答：

解不等式：x²-2x-3>0
因式分解：(x-3)(x+1)>0
解得：x<-1或x>3
所以B=(-∞,-1)∪(3,+∞)

在数轴上表示：
A=[-2,3]
B=(-∞,-1)∪(3,+∞)

A∩B=(-2,-1)
A∪B=(-∞,3]∪(3,+∞)=(-∞,+∞)=R

∁ᵤA=(-∞,-2)∪(3,+∞)
(∁ᵤA)∩B=(-∞,-2)∪(3,+∞)

第二章：函数——数学的核心概念

2.1 函数的概念与表示方法

主题句：函数是描述变量之间依赖关系的数学模型，理解函数的定义域、值域和对应法则是掌握函数知识的基础。

支持细节：

• 函数的定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
• 表示方法：解析法、列表法、图象法
• 三要素：定义域、值域、对应关系

典型例题解析： 例3：判断下列对应关系是否为函数： (1) f: x→y=x²，x∈R，y∈R (2) f: x→y=√x，x∈[0,+∞)，y∈[0,+∞)

解题思路：

1. 检查定义域和值域是否为非空数集
2. 检查是否满足”任意x有唯一y对应”
3. 对于(1)，每个x对应唯一x²，是函数
4. 对于(2)，每个x对应唯一√x，是函数

详细解答： (1) 是函数。因为对于任意实数x，x²是唯一确定的实数，满足函数定义。 (2) 是函数。因为对于任意x≥0，√x是唯一确定的非负实数，满足函数定义。

oper 2.2 函数的定义域与值域

主题句：求函数的定义域需要考虑分母不为零、偶次根式被开方数非负、对数真数大于零等限制条件。

支持细节：

• 基本初等函数的定义域：
  • 整式：R
  • 分式：分母≠0
  • 偶次根式：被开方数≥0
  • 对数：真数>0
  • 指数：底数>0且≠1

典型例题解析： 例4：求函数f(x)=√(4-x)+1/(x-1)的定义域。

解题思路：

1. 列出所有限制条件：
   • 4-x≥0（偶次根式）
   • x-1≠0（分母不为零）
2. 解不等式组
3. 写出定义域

详细解答：

要使函数有意义，必须满足：
4-x≥0 且 x-1≠0

解不等式：
4-x≥0 ⇒ x≤4
x-1≠0 ⇒ x≠1

所以定义域为：(-∞,1)∪(1,4]

2.3 函数的单调性与奇偶性

主题句：函数的单调性反映函数值随自变量变化的趋势，奇偶性反映函数图象的对称性，是研究函数性质的重要工具。

支持细节：

• 单调性：设x₁,x₂∈I，若x₁f(x₂)，则单调递减
• 奇偶性：若f(-x)=f(x)，则为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则为奇函数
• 奇偶函数的图象对称性：偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称

典型例题解析： 例5：判断函数f(x)=x³+1的奇偶性。

解题思路：

1. 首先检查定义域是否关于原点对称
2. 计算f(-x)
3. 比较f(-x)与f(x)的关系
4. 得出结论

详细解答： 定义域为R，关于原点对称。 计算f(-x)=(-x)³+1=-x³+1 因为f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x) 所以函数f(x)=x³+1是非奇非偶函数。

变式思考：若函数为f(x)=x³，则f(-x)=-x³=-f(x)，为奇函数。

2.4 函数的图象与变换

主题句：掌握函数图象的平移、伸缩、对称变换规律，可以快速画出复杂函数的图象。

支持细节：

• 平移变换：左加右减，上加下减
• 伸缩变换：横坐标伸缩影响周期，纵坐标伸缩影响振幅
• 对称变换：关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称

典型例题解析： 例6：作出函数y=|x-1|+2的图象，并说明如何由y=|x|变换得到。

解题思路：

1. 先画出y=|x|的图象（V字形）
2. 根据平移规律：x-1表示向右平移1个单位
3. +2表示向上平移2个单位
4. 得到最终图象

详细解答：

变换步骤：
y=|x| → y=|x-1|（向右平移1个单位） → y=|x-1|+2（向上平移2个单位）

图象特征：
顶点坐标(1,2)，关于直线x=1对称的V字形

第三章：基本初等函数（Ⅰ）

3.1 指数与指数函数

主题句：指数函数y=a^x（a>0且a≠1）是重要的基本初等函数，其图象和性质随底数a的变化而变化。

支持细节：

• 指数运算性质：a^m·a^n=a^(m+n)，(a^m)^n=a^(mn)，(ab)^n=a^n·b^n
• 指数函数图象：过定点(0,1)，当a>1时单调递增，当0时单调递减
• 比较大小：利用单调性或中间值法

典型例题解析： 例7：比较大小：(1) 2^3.1与2^3.2；(2) 0.5^2.1与0.5^2.3。

解题思路：

1. 对于(1)，底数2>1，指数函数单调递增，指数大的函数值大
2. 对于(2)，底数0.5，指数函数单调递减，指数大的函数值小
3. 直接利用单调性比较

详细解答： (1) 因为底数2>1，函数y=2^x在R上单调递增，且3.1<3.2 所以2^3.1^3.2

(2) 因为底数0.5<1，函数y=0.5^x在R上单调递减，且2.1<2.3 所以0.5^2.1>0.3^2.3

3.2 对数与对数函数

主题句：对数函数y=logₐx（a>0且a≠1）是指数函数的反函数，其定义域为(0,+∞)，值域为R。

支持细节：

• 对数运算性质：logₐ(MN)=logₐM+logₐN，logₐ(M/N)=logₐM-logₐN，logₐM^n=nlogₐM
• 换底公式：logₐb=log_c b / log_c a
• 对数函数图象：过定点(1,0)，当a>1时单调递增，当0时单调递减

典型例题解析： 例8：求函数y=log₂(4-x)的定义域，并画出大致图象。

解题思路：

1. 对数真数必须大于0：4-x>0
2. 解不等式得x
3. 结合底数2>1，函数单调递增
4. 图象过点(3,0)和(0,2)

详细解答：

定义域：4-x>0 ⇒ x<4，即(-∞,4)

图象特征：
- 过定点(3,0)（因为log₂(4-3)=log₂1=0）
- 过点(0,2)（因为log₂(4-0)=log₂4=2）
- 单调递增
- 渐近线：x=4

3.3 幂函数

主题句：幂函数y=x^α（α∈R）是另一类基本初等函数，其图象和性质随指数α的不同而显著变化。

支持细节：

• 常见幂函数：y=x, y=x², y=x³, y=x^{¹⁄₂}, y=x^{-1}
• 性质分类：
  • α>0：过(0,0)和(1,1)，在第一象限递增
  • 0<α：过(0,0)和(1,1)，在第一象限递增但凹向下
  • α：过(1,1)，在第一象限递减，不过(0,0)

典型例题解析： 例9：比较大小：(1) 1.5^3.1与1.5^3.2；(2) 0.7^0.8与0.7^0.9。

解题思路：

1. 这些都是指数函数比较大小
2. (1)底数1.5>1，单调递增，指数大的函数值大
3. (2)底数0.7，单调递减，指数大的函数值小
4. 注意区分幂函数和指数函数

详细解答： (1) 因为底数1.5>1，函数y=1.5^x单调递增，且3.1<3.2 所以1.5^3.1<1.5^3.2

(2) 因为底数0.7<1，函数y=0.7^x单调递减，且0.8<0.9 所以0.7^0.8>0.7^0.9

第四章：函数的应用

4.1 函数与方程

主题句：函数与方程是密切相关的，函数的零点就是方程的实数解，也是函数图象与x轴交点的横坐标。

支持细节：

• 零点存在定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)，则在(a,b)内至少存在一个零点
• 二分法求零点：通过不断缩小区间逼近零点
• 函数零点的性质：横坐标，不是点

典型例题解析： 例10：判断函数f(x)=x³-2x+1在区间[0,1]上是否有零点。

解题思路：

1. 验证函数在区间端点的函数值符号
2. 若f(0)·f(1)，则存在零点
3. 计算f(0)=1>0，f(1)=1-2+1=0
4. 注意f(1)=0，说明x=1是零点

详细解答： 计算f(0)=0³-2×0+1=1>0 计算f(1)=1³-2×1+1=0 因为f(1)=0，所以x=1是函数的一个零点。 因此函数在[0,1]上有零点。

4.2 函数模型及其应用

主题句：建立实际问题的函数模型，需要分析变量关系，确定定义域，选择适当函数类型，最终解决实际问题。

支持细节：

• 建模步骤：审题→设变量→建立函数关系→确定定义域→求解→检验
• 常见模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等
• 实际应用：利润最大化、成本最小化、增长预测等

典型例题解析： 例11：某商品进价为每件40元，售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如果每件售价每涨1元，每星期少卖出10件；如果每件售价每降1元，每星期多卖出10件。问：如何定价才能获得最大利润？

解题思路：

1. 设降价x元（x≥0），则售价为60-x元
2. 销量为300+10x件
3. 利润函数：L(x)=(60-x-40)(300+10x)
4. 化简为二次函数，求最大值
5. 注意定义域：x≥0且60-x>40（不能亏本）

详细解答： 设降价x元（x≥0），则： 售价：60-x元 销量：300+10x件 利润：L(x)=(60-x-40)(300+10x)=(20-x)(300+10x) 展开：L(x)=6000+200x-300x-10x²=-10x²-100x+6000 配方：L(x)=-10(x+5)²+6250 当x=-5时，L(x)取得最大值6250元 但x≥0，所以当x=0时，L(0)=6000元 因此，不降价时利润最大，为6000元。

验证：若涨价，设涨价y元，则售价60+y元，销量300-10y件，利润=(20+y)(300-10y)=-10y²+100y+6000，当y=5时最大利润6250元。所以实际应涨价5元，定价65元。

第五章：解题方法与技巧总结

5.1 数形结合思想

主题句：数形结合是高中数学最重要的思想方法之一，通过图形直观理解抽象的数学关系。

应用举例：

• 求方程根的个数转化为函数图象与x轴交点个数
• 求不等式解集转化为图象在x轴上方或下方的区域
• 求最值问题转化为图象的最高点或最低点

典型例题： 例12：方程log₂x=2-x的实数解个数。

解题思路：

1. 转化为两个函数：y=log₂x和y=2-x
2. 画出两个函数图象
3. 观察交点个数
4. log₂x定义域(0,+∞)，单调递增过(1,0)
5. y=2-x是直线，过(0,2)和(2,0)
6. 两图象在(0,2)内有一个交点

详细解答：

设f(x)=log₂x，g(x)=2-x
f(x)定义域(0,+∞)，过点(1,0)，单调递增
g(x)定义域R，过点(0,2)和(2,0)，单调递减

在(0,2)内：
f(1)=0，g(1)=1 ⇒ f(1)<g(1)
f(2)=1，g(2)=0 ⇒ f(2)>g(2)
由零点存在定理，存在x₀∈(1,2)使f(x₀)=g(x₀)

在(2,+∞)内：
f(x)递增，g(x)递减，且f(2)>g(2)，不会再有交点

在(0,1)内：
f(x)<0，g(x)>1，无交点

因此，方程有1个实数解。

5.2 分类讨论思想

主题句：当问题中包含参数或不确定因素时，需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。

应用举例：

• 含参数的二次函数最值问题
• 含参数的指数、对数函数单调性讨论
• 含参数的方程根的讨论

典型例题： 例13：讨论函数f(x)=logₐ(2x²-3x+1)的单调性（a>0且a≠1）。

解题思路：

1. 先求内层函数u(x)=2x²-3x+1的单调区间
2. 再根据外层对数函数的单调性（取决于a）进行复合
3. 需要分类讨论：a>1和0两种情况
4. 注意定义域：2x²-3x+1>0

详细解答： 定义域：2x²-3x+1>0 ⇒ (2x-1)(x-1)>0 ⇒ x<1/2或x>1

内层函数u(x)=2x²-3x+1： 对称轴x=3/4，开口向上 在(-∞,³⁄₄)上单调递减，在(³⁄₄,+∞)上单调递增

结合定义域：

• 在(-∞,¹⁄₂)上，u(x)单调递减
• 在(1,+∞)上，u(x)单调递增

讨论： (1) 当a>1时，logₐu单调递增

• 在(-∞,¹⁄₂)上，f(x)单调递减
• 在(1,+∞)上，f(x)单调递增

(2) 当0时，logₐu单调递减

• 在(-∞,¹⁄₂)上，f(x)单调递增
• 在(1,+∞)上，f(x)单调递减

5.3 转化与化归思想

主题句：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题，是解决数学问题的基本策略。

应用举例：

• 换元法：将复杂函数转化为基本函数
• 构造法：构造辅助函数或方程
• 函数方程问题转化为函数性质问题

典型例题： 例14：解方程log₂(x+1)=log₄(2x+3)。

解题思路：

1. 统一底数：利用换底公式或对数性质
2. 将log₄(2x+3)转化为log₂形式
3. 去对数，转化为代数方程
4. 检验解是否在定义域内

详细解答：

原方程：log₂(x+1)=log₄(2x+3)

利用对数性质：log₄(2x+3)=log₂(2x+3)/log₂4=log₂(2x+3)/2

所以方程化为：log₂(x+1)=1/2·log₂(2x+3)

两边乘以2：2log₂(x+1)=log₂(2x+3)

利用对数性质：log₂(x+1)²=log₂(2x+3)

所以：(x+1)²=2x+3

展开：x²+2x+1=2x+3

化简：x²=2

解得：x=√2或x=-√2

检验定义域：
x+1>0 ⇒ x>-1
2x+3>0 ⇒ x>-3/2

所以x>-1

x=√2≈1.414>-1，符合
x=-√2≈-1.414<-1，舍去

因此，原方程的解为x=√2

第六章：易错点与难点剖析

6.1 集合运算中的易错点

常见错误：

1. 忽略集合元素的互异性
2. 空集∅的特殊性：∅是任何集合的子集，∅∩A=∅，∅∪A=A
3. 区间表示与集合表示混淆

典型错误分析： 错误：A={x|x²=1}={1} 正确：A={x|x²=1}={-1,1}

6.2 函数定义域的易错点

常见错误：

1. 忽略实际问题的定义域限制
2. 复合函数定义域求法错误
3. 换元后忘记回代定义域

典型错误分析： 例：求f(x)=√(x-1)+1/√(2-x)的定义域 错误解法：x-1≥0且2-x>0 ⇒ 1≤x<2 正确解法：x-1≥0且2-x>0 ⇒ 1≤x（此例正确）

6.3 函数奇偶性的易错点

常见错误：

1. 忽略定义域关于原点对称的前提
2. 判断奇偶性时不化简函数解析式
3. 混淆奇偶函数的运算性质

典型错误分析： 例：判断f(x)=√(x²-1)的奇偶性 错误：直接计算f(-x)=√((-x)²-1)=√(x²-1)=f(x)，所以是偶函数 正确：定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞)，关于原点对称，且f(-x)=f(x)，确实是偶函数

6.4 指数对数函数的易错点

常见错误：

1. 指数函数底数范围讨论不全
2. 对数函数真数大于0的条件遗漏
3. 换底公式使用错误

典型错误分析： 例：解不等式log₂(x-1)>1 错误：x-1>1 ⇒ x>2 正确：x-1>0且x-1>2 ⇒ x>3

第七章：综合应用与拔高训练

7.1 函数综合题解析

主题句：综合题往往涉及多个知识点的融合，需要灵活运用所学知识，建立清晰的解题思路。

典型例题： 例15：已知函数f(x)=logₐ(1-x)+logₐ(x+3)（a>0且a≠1） (1) 求函数f(x)的定义域； (1) 若函数f(x)的最小值为-2，求a的值。

解题思路：

1. 第(1)问：求定义域，需满足两个对数真数都大于0
2. 第(2)问：先化简函数，利用对数运算性质
3. 根据a的范围讨论单调性，求最小值
4. 建立方程求a

详细解答： (1) 定义域： 1-x>0 ⇒ x<1 x+3>0 ⇒ x>-3 所以定义域为(-3,1)

(2) 化简函数： f(x)=logₐ[(1-x)(x+3)]=logₐ(-x²-2x+3) 令u(x)=-x²-2x+3=-(x+1)²+4 u(x)在(-3,1)上的最大值为4（当x=-1时） 当a>1时，logₐu单调递增，f(x)在x=-1处取得最小值logₐ4 当0时，logₐu单调递减，f(x)在x=-1处取得最大值logₐ4，最小值在端点处

题目说最小值为-2，所以只能是a>1的情况： logₐ4=-2 ⇒ a⁻²=4 ⇒ a²=¹⁄₄ ⇒ a=¹⁄₂ 但a>1，矛盾？重新检查

实际上，当0时，u(x)在(-3,1)上最大值为4，最小值在端点： x→-3⁺时，u→0⁺，f(x)→+∞ x→1⁻时，u→0⁺，f(x)→+∞ 所以当0时，f(x)在x=-1处取得最小值logₐ4

因此，logₐ4=-2 ⇒ a⁻²=4 ⇒ a²=¹⁄₄ ⇒ a=1/2（符合0）

所以a=¹⁄₂

7.2 函数与方程的综合应用

主题句：函数与方程的综合问题通常需要构造函数，利用函数性质研究方程根的情况。

典型例题： 例16：已知函数f(x)=x²-2ax+2在区间[-1,1]上有零点，求实数a的取值范围。

解题思路：

1. 零点存在定理：f(-1)·f(1)≤0
2. 或者：判别式Δ≥0且对称轴在区间内
3. 或者：分离参数法
4. 注意验证端点情况

详细解答： 方法一：零点存在定理 f(-1)=1+2a+2=2a+3 f(1)=1-2a+2=3-2a 若f(-1)·f(1)≤0，则(2a+3)(3-2a)≤0 解得：a≤-3/2或a≥3/2

方法二：判别式法 Δ=4a²-8≥0 ⇒ a²≥2 ⇒ a≤-√2或a≥√2 对称轴x=a∈[-1,1] ⇒ -1≤a≤1 两者交集为空，说明此方法不完整

方法三：分离参数 f(x)=0 ⇒ 2a=x+2/x 令g(x)=x+2/x，则a=g(x)/2 g(x)在[-1,0)上递减，在(0,1]上递减 g(-1)=-3，g(1)=3 所以a∈(-∞,-³⁄₂]∪[³⁄₂,+∞)

综上，a的取值范围是(-∞,-³⁄₂]∪[³⁄₂,+∞)

第八章：学习建议与备考策略

8.1 知识体系构建

主题句：建立完整的知识网络，理解概念间的内在联系，是学好高中数学的基础。

具体建议：

1. 制作思维导图：以函数为中心，辐射出定义、性质、图象、应用等分支
2. 对比学习：将指数函数、对数函数、幂函数对比学习，找出共性与差异
3. 概念辨析：通过典型例题加深对易混概念的理解

8.2 解题能力提升

主题句：解题能力的提升需要循序渐进，从模仿到创新，从单一到综合。

具体建议：

1. 规范解题步骤：审题→分析→解答→检验，养成良好习惯
2. 一题多解：尝试用不同方法解同一道题，培养发散思维
3. 错题整理：建立错题本，定期回顾，分析错误原因

8.3 思维方法训练

主题句：数学思维方法是数学学习的灵魂，掌握数学思想方法可以事半功倍。

重点训练：

1. 数形结合：养成画图的习惯，让图形帮助思考
2. 分类讨论：遇到含参数问题，先确定讨论标准
3. 转化化归：将陌生问题转化为熟悉问题

8.4 应试技巧点拨

主题句：掌握应试技巧可以在考试中发挥出最佳水平。

实用技巧：

1. 时间分配：选择题10-15分钟，填空题10-15分钟，解答题60-70分钟
2. 审题策略：圈出关键词，识别隐含条件
3. 检查方法：特殊值检验、量纲检验、图形检验

结语

北师大版高一数学必修一的内容是整个高中数学的基石，函数思想贯穿始终。通过本文的详细解析，希望读者能够：

1. 系统掌握集合、函数、基本初等函数的核心知识
2. 灵活运用数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想
3. 养成规范的解题习惯和科学的思维方式
4. 在实际应用中体会数学的价值和魅力

学习数学是一个循序渐进的过程，需要持之以恒的努力和科学的学习方法。希望本文能为你的数学学习提供有力的支持，祝你在数学学习的道路上不断进步，取得优异的成绩！

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附录：常用公式与结论速查

1. 集合运算律：交换律、结合律、分配律、德摩根律
2. 函数性质：
   • 奇函数±奇函数=奇函数
   • 偶函数±偶函数=偶函数
   • 奇函数×偶函数=奇函数
   • 奇函数×奇函数=偶函数
   • 偶函数×偶函数=偶函数
3. 指数对数互化：a^b=N ⇔ b=logₐN
4. 换底公式：logₐb=log_c b / log_c a
5. 零点存在定理：f(a)·f(b) ⇒ ∃x₀∈(a,b)使f(x₀)=0

希望这份详尽的解析能够帮助你深入理解北师大版高一数学必修一的全部内容，为后续的数学学习打下坚实的基础！