引言
数论是数学的一个分支，主要研究整数及其性质。它不仅对数学理论的发展有着重要的贡献，而且在计算机科学、密码学、信息理论等领域也有着广泛的应用。本教程将从零开始，带领读者逐步掌握数论的基础知识。
第一章：整数的性质
1.1 整数的定义
整数是数学中最基本的数，包括正整数、负整数和零。用数学符号表示，整数集为 Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}。
1.2 整数的运算
整数的运算包括加法、减法、乘法和除法。其中，除法运算要求除数不为零。
1.3 整数的性质
整数具有以下性质：
- 交换律：a + b = b + a，a * b = b * a
- 结合律：a + (b + c) = (a + b) + c，a * (b * c) = (a * b) * c
- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c
第二章：质数与合数
2.1 质数的定义
质数是指大于 1 的自然数，除了 1 和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
2.2 合数的定义
合数是指大于 1 的自然数，除了 1 和它本身外，还能被其他自然数整除的数。
2.3 质数与合数的性质
- 质数只能被 1 和它本身整除。
- 合数至少有两个不同的正因数。
第三章：最大公约数与最小公倍数
3.1 最大公约数的定义
两个非零整数 a 和 b 的最大公约数（记作 gcd(a, b)）是指同时整除 a 和 b 的最大正整数。
3.2 最小公倍数的定义
两个非零整数 a 和 b 的最小公倍数（记作 lcm(a, b)）是指既能被 a 整除，也能被 b 整除的最小正整数。
3.3 最大公约数与最小公倍数的性质
- gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b
- gcd(a, b) ≤ lcm(a, b)
第四章：同余与模运算
4.1 同余的定义
两个整数 a 和 b，如果存在一个正整数 k，使得 a = b + k * n，那么我们称 a 和 b 同余于 n（记作 a ≡ b (mod n)）。
4.2 模运算的定义
模运算是一种基于同余的运算，记作 a mod b。其中，a 和 b 为整数，n 为模数。a mod b 的结果等于 a 减去 b 的整数倍后的余数。
4.3 模运算的性质
- a ≡ b (mod n) 等价于 a - b 能被 n 整除。
- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n
- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n
第五章：费马小定理与欧拉定理
5.1 费马小定理
如果 p 是一个质数，那么对于任何整数 a，都有 a^p ≡ a (mod p)。
5.2 欧拉定理
如果 m 是一个正整数，且 a 与 m 互质，那么 a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中 φ(m) 是 m 的欧拉函数。
结语
本教程从整数的性质、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余与模运算以及费马小定理与欧拉定理等方面介绍了数论的基础知识。通过学习这些内容，读者可以为进一步学习数论及其应用打下坚实的基础。