引言

大东区三模数学考试是沈阳市大东区在中考前进行的第三次模拟考试，其试题通常具有很高的参考价值，能够很好地反映中考的命题趋势和难度。数学23题作为试卷中的压轴题或重要解答题，往往综合性强、难度较大，是区分学生数学能力的关键题目。本文将针对大东区三模数学23题进行详细解析，并分享相关的解题技巧，帮助考生更好地应对这类题目。

一、题目回顾与分析

1.1 题目背景

大东区三模数学23题通常涉及二次函数、几何图形、动点问题等综合知识，考查学生的逻辑推理、代数运算和几何直观能力。题目可能以函数图像与几何图形结合的形式出现，要求学生在动态变化中寻找不变量或特定关系。

1.2 典型题目示例

假设2023年大东区三模数学23题如下（注：此为模拟题目，实际题目可能有所不同）：

题目：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ( y = ax^2 + bx + c ) 经过点 ( A(-1,0) )、( B(3,0) ) 和 ( C(0,3) )。点 ( P ) 是抛物线上的一动点，点 ( Q ) 是线段 ( AB ) 上的一动点（不与 ( A )、( B ) 重合），且 ( PQ \parallel y ) 轴。连接 ( PC )、( QC )。
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 ( PQ ) 的长度为 ( 1 ) 时，求点 ( P ) 的坐标；
（3）在点 ( P ) 运动的过程中，是否存在点 ( Q )，使得 ( \triangle PCQ ) 是直角三角形？若存在，求出点 ( Q ) 的坐标；若不存在，请说明理由。

1.3 题目分析

  • 第（1）问：基础题，考查待定系数法求二次函数解析式。
  • 第（2）问：中等难度，涉及动点问题，需要利用抛物线的性质和几何关系建立方程。
  • 第（3）问：高难度，综合考查分类讨论思想、勾股定理和二次函数的最值问题。

二、详细解析

2.1 第（1）问：求抛物线解析式

解题思路：已知抛物线经过三点 ( A(-1,0) )、( B(3,0) )、( C(0,3) )，可设一般式 ( y = ax^2 + bx + c )，代入三点坐标解方程组。

步骤：

  1. 代入点 ( A(-1,0) )：
    ( a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 ) → ( a - b + c = 0 )
  2. 代入点 ( B(3,0) )：
    ( a(3)^2 + b(3) + c = 0 ) → ( 9a + 3b + c = 0 )
  3. 代入点 ( C(0,3) )：
    ( a(0)^2 + b(0) + c = 3 ) → ( c = 3 )

将 ( c = 3 ) 代入前两个方程：

  • ( a - b + 3 = 0 ) → ( a - b = -3 )
  • ( 9a + 3b + 3 = 0 ) → ( 9a + 3b = -3 ) → ( 3a + b = -1 )

解方程组：
[ \begin{cases} a - b = -3 \ 3a + b = -1 \end{cases} ] 相加得 ( 4a = -4 ) → ( a = -1 )
代入 ( a - b = -3 ) 得 ( -1 - b = -3 ) → ( b = 2 )

答案：抛物线解析式为 ( y = -x^2 + 2x + 3 )。

2.2 第（2）问：求点 ( P ) 的坐标

解题思路：

  • 点 ( P ) 在抛物线上，设 ( P(t, -t^2 + 2t + 3) )。
  • 点 ( Q ) 在线段 ( AB ) 上，且 ( PQ \parallel y ) 轴，所以 ( Q ) 的横坐标与 ( P ) 相同，即 ( Q(t, 0) )（因为 ( AB ) 在 ( x ) 轴上）。
  • ( PQ ) 的长度为 ( |y_P - y_Q| = |(-t^2 + 2t + 3) - 0| = |-t^2 + 2t + 3| )。
  • 由题意 ( PQ = 1 )，所以 ( |-t^2 + 2t + 3| = 1 )。

步骤：
解方程 ( |-t^2 + 2t + 3| = 1 )，即：

  1. ( -t^2 + 2t + 3 = 1 ) → ( -t^2 + 2t + 2 = 0 ) → ( t^2 - 2t - 2 = 0 )
    判别式 ( \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 4 + 8 = 12 )
    ( t = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} )
  2. ( -t^2 + 2t + 3 = -1 ) → ( -t^2 + 2t + 4 = 0 ) → ( t^2 - 2t - 4 = 0 )
    判别式 ( \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 4 + 16 = 20 )
    ( t = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} )

验证：点 ( Q ) 在线段 ( AB ) 上，即 ( t ) 的取值范围为 ( -1 \leq t \leq 3 )。

  • ( 1 + \sqrt{3} \approx 2.732 )（在范围内）
  • ( 1 - \sqrt{3} \approx -0.732 )（在范围内）
  • ( 1 + \sqrt{5} \approx 3.236 )（超出范围，舍去）
  • ( 1 - \sqrt{5} \approx -1.236 )（超出范围，舍去）

答案：点 ( P ) 的坐标为 ( (1 + \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}) ) 或 ( (1 - \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}) )。

2.3 第（3）问：判断 ( \triangle PCQ ) 是否为直角三角形

解题思路：

  • 点 ( P(t, -t^2 + 2t + 3) )，点 ( Q(t, 0) )，点 ( C(0,3) )。
  • 需要判断 ( \triangle PCQ ) 是否为直角三角形，即判断 ( \angle P )、( \angle Q )、( \angle C ) 中是否有一个为直角。
  • 分类讨论：
    1. ( \angle P = 90^\circ )：( PC \perp PQ )
    2. ( \angle Q = 90^\circ )：( PQ \perp QC )
    3. ( \angle C = 90^\circ )：( PC \perp QC )

步骤：

  1. 计算各边斜率：

    • ( PQ ) 的斜率：( PQ ) 是竖直线，斜率不存在。
    • ( PC ) 的斜率：( k_{PC} = \frac{(-t^2 + 2t + 3) - 3}{t - 0} = \frac{-t^2 + 2t}{t} = -t + 2 )（( t \neq 0 )）
    • ( QC ) 的斜率：( k_{QC} = \frac{0 - 3}{t - 0} = -\frac{3}{t} )（( t \neq 0 )）

  2. 分类讨论：

    • 情况1：( \angle P = 90^\circ )
      ( PC \perp PQ )，但 ( PQ ) 是竖直线，所以 ( PC ) 应为水平线，即 ( k_{PC} = 0 )。
      ( -t + 2 = 0 ) → ( t = 2 )
      此时 ( P(2, 3) )，( Q(2, 0) )，( C(0,3) )。
      验证：( PC ) 是水平线，( PQ ) 是竖直线，确实垂直。
      所以 ( t = 2 ) 是一个解。

    • 情况2：( \angle Q = 90^\circ )
      ( PQ \perp QC )，但 ( PQ ) 是竖直线，所以 ( QC ) 应为水平线，即 ( k{QC} = 0 )。
      但 ( k      {QC} = -\frac{3}{t} )，不可能为0，所以无解。

    • 情况3：( \angle C = 90^\circ )
      ( PC \perp QC )，即 ( k{PC} \times k{QC} = -1 )。
      ( (-t + 2) \times \left(-\frac{3}{t}\right) = -1 )
      ( \frac{3(t - 2)}{t} = -1 )
      ( 3(t - 2) = -t )
      ( 3t - 6 = -t )
      ( 4t = 6 )
      ( t = \frac{3}{2} = 1.5 )
      此时 ( P(1.5, -1.5^2 + 2 \times 1.5 + 3) = (1.5, -2.25 + 3 + 3) = (1.5, 3.75) )，( Q(1.5, 0) )，( C(0,3) )。
      验证：( k{PC} = -1.5 + 2 = 0.5 )，( k{QC} = -\frac{3}{1.5} = -2 )，乘积为 ( 0.5 \times (-2) = -1 )，垂直。
      所以 ( t = 1.5 ) 是一个解。

  3. 验证点 ( Q ) 是否在线段 ( AB ) 上：

    • ( t = 2 ) 和 ( t = 1.5 ) 都在 ( [-1, 3] ) 范围内，符合要求。

答案：存在点 ( Q )，使得 ( \triangle PCQ ) 是直角三角形。

  • 当 ( t = 2 ) 时，点 ( Q ) 的坐标为 ( (2, 0) )。
  • 当 ( t = 1.5 ) 时，点 ( Q ) 的坐标为 ( (1.5, 0) )。

三、解题技巧分享

3.1 基础知识的掌握

  • 二次函数解析式：熟练掌握一般式、顶点式、交点式，并能根据条件灵活选择。
  • 几何性质：熟悉平行线、垂直线的判定与性质，掌握勾股定理、相似三角形等。

3.2 动点问题的处理

  • 参数化表示：用参数（如 ( t )）表示动点的坐标，将几何问题转化为代数问题。
  • 分类讨论：动点问题往往需要分类讨论，如点的位置、图形的形状等。
  • 取值范围：注意动点的取值范围，确保解在合理范围内。

3.3 方程与不等式的应用

  • 建立方程：根据几何条件（如长度、角度、面积）建立方程。
  • 解方程：熟练掌握一元二次方程的解法（因式分解、公式法、配方法）。
  • 验证解：解出方程后，需验证解是否符合实际意义（如点的位置、图形的形状）。

3.4 分类讨论思想

  • 全面考虑：分类讨论时要全面，避免遗漏情况。
  • 逻辑清晰：分类标准要明确，讨论过程要条理清晰。
  • 合并结果：最后将所有符合条件的结果合并。

3.5 数形结合思想

  • 画图辅助：画出图形，直观理解题意。
  • 坐标化：将几何问题转化为坐标问题，利用代数方法解决。
  • 动态演示：对于动点问题，可以想象或画出几个关键位置，帮助分析。

四、常见错误与避免方法

4.1 计算错误

  • 原因：代数运算复杂，容易出错。
  • 避免方法：仔细计算，每一步都检查；使用计算器辅助（如果允许）；多练习提高计算速度和准确性。

4.2 分类讨论不全

  • 原因：考虑不周，遗漏某些情况。
  • 避免方法：列出所有可能的情况，逐一分析；画图辅助，观察不同位置。

4.3 忽略取值范围

  • 原因：解出方程后，忘记验证点是否在指定范围内。
  • 避免方法：明确动点的取值范围，解出后逐一验证。

4.4 几何关系理解错误

  • 原因：对几何图形的性质理解不深。
  • 避免方法：复习几何定理，多做几何证明题，提高几何直观能力。

五、总结

大东区三模数学23题是典型的综合题，考查学生的代数运算、几何直观和逻辑推理能力。通过本题的解析，我们展示了如何利用待定系数法、参数化表示、分类讨论等方法解决动点问题。解题技巧包括：掌握基础知识、处理动点问题、应用方程与不等式、运用分类讨论思想和数形结合思想。避免常见错误，如计算错误、分类讨论不全、忽略取值范围等，可以提高解题的准确性和效率。

希望本文的解析和技巧分享能帮助考生更好地应对大东区三模数学23题，并在中考中取得优异成绩。记住，多练习、多总结、多反思是提高数学能力的关键。祝你成功！