在大连市的初中数学教育领域，一场深刻的变革正在悄然发生。传统的“教师讲、学生听”的单向灌输模式，正逐渐被以学生为中心、注重思维培养的高效教学模式所取代。本文将通过一堂真实的课堂实录，深入剖析大连市某重点初中（为保护隐私，学校名称隐去）的一堂八年级数学课，展示如何将高效教学策略与学生思维培养有机融合，为一线教师和教育研究者提供可借鉴的实践范例。
一、 课堂背景与教学目标
授课教师：王老师，拥有15年教学经验，大连市数学学科骨干教师。 授课班级：八年级（3）班，学生数学基础中等偏上，班级氛围活跃。 授课内容：人教版八年级上册第14章《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方公式”第一课时。 教学目标：
- 知识与技能：理解完全平方公式（(a±b)² = a² ± 2ab + b²）的几何意义和代数推导过程，能够熟练运用公式进行计算。
- 过程与方法：通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历公式的发现过程，培养学生的合情推理能力和演绎推理能力。
- 情感态度与价值观：感受数学公式的简洁美与对称美，体会数学与生活的联系，激发学习兴趣，培养严谨的数学思维习惯。
教学重难点：
- 重点：完全平方公式的推导与应用。
- 难点：理解公式中“±2ab”项的符号与公式结构的对应关系，以及公式的灵活运用。
二、 课堂实录：从生活情境到数学模型
（一） 创设情境，引发认知冲突（5分钟）
师：同学们，我们之前学习了多项式乘以多项式，比如 (x+2)(x+3) 等于什么？ 生：（齐声）x² + 5x + 6。 师：很好。那如果两个多项式完全相同呢？比如 (x+2)(x+2)，结果是什么？ 生：x² + 4x + 4。 师：没错。那么，如果两个多项式是 (x-2)(x-2) 呢？ 生：x² - 4x + 4。 师：观察这两组结果，它们有什么共同特点？ （学生开始小声讨论，教师巡视，鼓励学生大胆发言。） 生1：都是一个平方项，一个一次项，一个常数项。 生2：一次项的系数是中间那个数的两倍。 师：非常棒的观察！这正是我们今天要探索的“完全平方公式”。它就像一个神奇的公式，能让我们快速计算两个相同二项式的乘积。今天，我们就来揭开它的神秘面纱。
设计意图：从学生熟悉的旧知（多项式乘法）出发，通过对比特殊形式（相同二项式相乘），自然引出新知，激发学生的好奇心和探究欲望。这种“最近发展区”的教学策略，符合高效教学的原则。
（二） 动手操作，几何验证（10分钟）
师：数学是严谨的，光靠观察猜想还不够。我们能否用几何图形来验证一下我们的猜想呢？请大家拿出准备好的方格纸和剪刀。 （教师通过PPT展示一个边长为a+b的正方形。） 师：这个大正方形的面积是多少？ 生：(a+b)²。 师：没错。现在，我们把这个大正方形分割成四个小部分：一个边长为a的小正方形，一个边长为b的小正方形，以及两个长为a、宽为b的长方形。请大家动手剪一剪，拼一拼。 （学生分组操作，将大正方形剪开，重新拼成两个小正方形和两个长方形。） 师：拼好后，大家发现什么了？ 生：大正方形的面积等于两个小正方形面积加上两个长方形面积。 师：用代数式表示呢？ 生：(a+b)² = a² + b² + ab + ab = a² + 2ab + b²。 师：太棒了！通过几何图形的分割与重组，我们直观地验证了 (a+b)² = a² + 2ab + b²。那么，(a-b)² 呢？你能用类似的方法证明吗？ （学生再次动手，将边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形，得到一个“L”形图形，其面积为 a² - b²。但这个图形不是正方形。教师引导学生思考如何构造一个边长为(a-b)的正方形。） 师：我们可以这样想：从一个边长为a的大正方形中，剪去一个边长为b的小正方形，但这样得到的图形不是正方形。我们需要重新构造。请大家看图（教师展示PPT动画）：我们可以先画一个边长为a的正方形，然后从它的一个角开始，向内量出长度b，连接起来，形成一个边长为(a-b)的小正方形。这个小正方形的面积是多少？ 生：(a-b)²。 师：那么，这个小正方形的面积与大正方形面积有什么关系？它被分成了哪几部分？ （学生观察、思考、讨论。） 生：大正方形面积减去两个长方形面积，再加上一个小正方形面积？不对…… 师：（引导）我们画一个边长为a的正方形，然后从它的一个角开始，向内量出长度b，连接起来，形成一个边长为(a-b)的小正方形。这个小正方形的面积是 (a-b)²。但是，这个小正方形的面积并不直接等于大正方形面积减去某些部分。我们需要重新思考。实际上，我们可以将边长为(a-b)的正方形，看作是由一个边长为a的正方形，减去两个长为a、宽为b的长方形，再加上一个边长为b的小正方形（因为减去两个长方形时，边长为b的小正方形被重复减了一次，需要加回来）。所以，(a-b)² = a² - 2ab + b²。 生：（恍然大悟）哦！原来是这样！ 师：对，这就是完全平方公式。我们通过几何图形的拼接和面积计算，直观地理解了公式的来源。
设计意图：将代数问题几何化，是培养学生数形结合思想的重要手段。通过动手操作，学生不仅验证了公式，更深刻理解了公式中每一项的几何意义（a²、b²是两个正方形面积，±2ab是两个长方形面积）。这个过程培养了学生的直观想象能力和空间观念，是思维培养的关键环节。
（三） 公式推导与结构分析（8分钟）
师：除了几何方法，我们还可以用多项式乘法直接推导。请大家用多项式乘法计算 (a+b)² 和 (a-b)²。 （学生独立计算，教师请两名学生板演。） 板演1：(a+b)² = (a+b)(a+b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²。 板演2：(a-b)² = (a-b)(a-b) = a·a + a·(-b) + (-b)·a + (-b)·(-b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²。 师：非常好！现在，我们得到了两个公式。请大家仔细观察，它们有什么共同点和不同点？ 生：共同点是都有 a² 和 b² 项，不同点是中间项的符号。 师：对！我们把它们统称为完全平方公式。请大家用语言描述一下这个公式。 生：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们乘积的2倍。 师：总结得非常准确！请大家注意公式中的“±”符号，它与公式左边的“±”符号是一致的。这个公式结构非常对称，体现了数学的简洁美。
设计意图：从几何直观回归到代数推导，完成从感性认识到理性认识的飞跃。通过对比分析，引导学生自主归纳公式结构，培养学生的观察、比较、归纳等逻辑思维能力。强调公式的语言描述，有助于学生内化公式，避免机械记忆。
（四） 例题讲解与变式训练（15分钟）
师：理解了公式，我们来看看如何应用。请大家看例题1：计算 (2x+3)²。 生：（思考）这里 a=2x，b=3，套用公式 (a+b)² = a² + 2ab + b²。 师：请说出具体步骤。 生：(2x+3)² = (2x)² + 2·(2x)·3 + 3² = 4x² + 12x + 9。 师：很好！注意平方项和系数的计算。接下来，例题2：计算 (4a-1)²。 生：这里 a=4a，b=1，套用公式 (a-b)² = a² - 2ab + b²。 师：请板演。 （学生板演：(4a-1)² = (4a)² - 2·(4a)·1 + 1² = 16a² - 8a + 1。） 师：正确！现在，我们来一个稍微复杂一点的：计算 (-2x+5)²。 （学生开始计算，教师巡视。） 生1：我直接套用公式，a=-2x，b=5，得到 (-2x)² + 2·(-2x)·5 + 5² = 4x² -20x + 25。 生2：老师，我把它看作 (5-2x)²，结果一样。 师：两种方法都对！生1的方法是直接识别a和b，生2的方法是调整顺序，利用公式的对称性。这说明我们对公式理解得很透彻。接下来，挑战题：计算 (a+b+c)²。 （学生陷入沉思，教师鼓励小组讨论。） 生3：我们可以把 (a+b) 看作一个整体，设为 x，那么 (a+b+c)² = (x+c)² = x² + 2xc + c² = (a+b)² + 2(a+b)c + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²。 师：精彩！这就是“整体思想”的应用。我们把一个复杂问题转化为我们熟悉的问题。请大家注意，这个结果也可以直接用多项式乘法验证。
设计意图：例题由易到难，层层递进。通过变式训练（如系数为负、顺序调整、三项式平方），引导学生灵活运用公式，避免思维定势。挑战题的设置，旨在激发学有余力学生的潜能，培养他们的迁移能力和创新思维。教师在教学中注重方法的多样性，鼓励学生从不同角度思考问题。
（五） 课堂小结与思维提升（5分钟）
师：今天这节课，我们通过观察、猜想、验证、推导，学习了完全平方公式。请大家回顾一下，我们经历了哪些思维过程？ 生：我们从特殊例子中发现了规律，然后用几何图形验证，再用代数推导，最后应用到计算中。 师：总结得很好！这就是数学研究的基本过程：从特殊到一般，从直观到抽象，从猜想验证到应用。完全平方公式不仅是一个计算工具，更是一种数学思想的体现——数形结合思想和整体思想。希望大家在今后的学习中，能主动运用这些思想去解决问题。
设计意图：课堂小结不仅是知识的回顾，更是思维方法的提炼。通过引导学生反思学习过程，将具体的数学知识提升到数学思想方法的层面，实现思维培养的升华。这种元认知能力的培养，是高效教学与思维培养融合的核心。
三、 课堂分析与教学反思
（一） 高效教学策略的体现
- 目标导向明确：整堂课围绕“理解公式、掌握应用、培养思维”三个维度展开，每个环节目标清晰，避免了教学的随意性。
- 时间分配合理：情境导入、探究验证、公式推导、例题训练、小结提升，各环节时间分配科学，保证了学生有充分的探究时间和练习时间。
- 教学方法多样：综合运用了讲授法、讨论法、探究法、练习法等多种方法，避免了单一教学方式的枯燥。
- 反馈及时有效：教师通过巡视、提问、板演等方式，及时了解学生的学习情况，并对学生的回答给予积极评价和针对性指导，形成了良好的师生互动。
（二） 学生思维培养的路径
- 直观思维到抽象思维：通过几何图形的操作，将抽象的代数公式具体化、形象化，降低了认知难度，培养了学生的直观想象能力。
- 合情推理到演绎推理：从观察猜想（合情推理）到代数推导（演绎推理），完整经历了数学发现的过程，培养了学生的逻辑推理能力。
- 发散思维与收敛思维：在例题讲解中，鼓励学生用多种方法解题（如调整顺序），培养了发散思维；在公式归纳和应用中，强调规范步骤，培养了收敛思维。
- 迁移思维与创新思维：通过挑战题 (a+b+c)²，引导学生将已学知识（完全平方公式）迁移到新情境中，培养了迁移能力和创新思维。
（三） 可改进之处与建议
- 信息技术深度融合：几何图形的拼接过程可以借助几何画板或动态课件进行演示，使过程更直观、更清晰。对于学困生，可以提供可操作的动态模型。
- 分层教学的精细化：在例题设计上，可以增加更多贴近生活的实例（如计算正方形花坛的面积），让数学更有趣。对于基础薄弱的学生，可以设计更基础的巩固练习；对于学有余力的学生，可以提供一些探究性问题，如“完全平方公式在因式分解中的应用”。
- 学生评价的多元化：除了教师评价，可以增加学生互评和自评环节。例如，在小组合作探究后，让小组代表展示成果，并由其他小组进行评价，培养学生的批判性思维和合作能力。
- 思维过程的显性化：在课堂小结时，可以引导学生用思维导图或流程图的形式，将本节课的思维过程可视化，帮助学生更好地内化思维方法。
四、 结语
大连市这堂初中数学课，是高效教学与学生思维培养融合的一个生动缩影。它告诉我们，高效教学不是追求速度和题量，而是追求教学过程的优化和学生思维的深度参与。通过创设情境、动手操作、多元推导、变式训练和思维提炼，教师成功地将知识传授与思维培养融为一体，让学生在掌握知识的同时，提升了数学核心素养。
对于广大教师而言，这堂课的启示在于：要敢于“慢下来”，给学生充分的探究时间；要善于“搭梯子”，通过几何直观、生活实例等降低思维难度；要精于“设问题”，通过有层次的问题链引导学生思维走向深入；要勤于“做反思”，不断优化教学策略，让每一堂课都成为学生思维成长的阶梯。
在大连市乃至全国的教育改革浪潮中，这样的课堂实践正在不断涌现。它标志着我们的数学教育正从“知识本位”向“素养本位”转型，从“教师中心”向“学生中心”转变。唯有将高效教学与思维培养深度融合，才能真正培养出适应未来社会发展的创新型人才。