在控制系统理论中，反馈是实现系统稳定性和优化动态响应的核心机制。特征方程作为描述系统动态行为的数学基础，其根的分布直接决定了系统的稳定性与响应特性。本文将深入探讨反馈特征方程的构建、根的分布与系统性能的关系，并通过具体示例详细说明如何通过特征方程分析和设计控制系统。

1. 反馈系统与特征方程的基本概念

1.1 反馈系统的基本结构

反馈系统通过将输出信号的一部分或全部返回到输入端，与参考输入进行比较，形成误差信号，进而调整系统行为。典型的反馈控制系统包括前向通道、反馈通道和比较器。其传递函数可以表示为： [ G(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G_c(s)G_p(s)}{1 + G_c(s)G_p(s)H(s)} ] 其中，(G_c(s)) 是控制器传递函数，(G_p(s)) 是被控对象传递函数，(H(s)) 是反馈传递函数。

1.2 特征方程的定义

特征方程是闭环系统传递函数的分母多项式，即： [ 1 + G_c(s)G_p(s)H(s) = 0 ] 特征方程的根（即闭环极点）决定了系统的动态响应和稳定性。例如，对于一个简单的单位反馈系统（(H(s) = 1)），特征方程为： [ 1 + G_c(s)G_p(s) = 0 ]

1.3 特征方程的求解与根的分布

特征方程的根可以通过解析方法（如因式分解）或数值方法（如根轨迹法）求得。根在复平面上的位置（实部和虚部）决定了系统的响应特性：

  • 实部为负：系统稳定，响应衰减。
  • 实部为正：系统不稳定，响应发散。
  • 虚部非零：系统呈现振荡特性。

2. 特征方程根与系统稳定性的关系

2.1 稳定性的定义

系统稳定性是指系统在受到扰动后，输出能否回到平衡状态。对于线性时不变系统，稳定性等价于所有闭环极点的实部均为负。

2.2 劳斯-赫尔维茨判据（Routh-Hurwitz Criterion）

劳斯判据是一种代数方法，用于判断特征方程根的实部符号，而无需直接求解根。对于一个n阶特征方程： [ an s^n + a{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0 = 0 ] 劳斯表的第一列元素必须全部为正，系统才稳定。

示例：考虑一个二阶系统，特征方程为： [ s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0 ] 其中，(\zeta) 是阻尼比，(\omega_n) 是自然频率。劳斯表为： [ \begin{array}{c|cc} s^2 & 1 & \omega_n^2 \ s^1 & 2\zeta\omega_n & 0 \ s^0 & \omega_n^2 & \ \end{array} ] 第一列元素为 (1, 2\zeta\omega_n, \omega_n^2)。稳定性条件为：

  • (2\zeta\omega_n > 0)（即 (\zeta > 0)）
  • (\omega_n^2 > 0)（即 (\omega_n \neq 0)）

因此，只要阻尼比 (\zeta > 0)，系统就稳定。如果 (\zeta = 0)，系统处于临界稳定状态（纯虚数根），响应为等幅振荡。

2.3 根轨迹法

根轨迹法通过绘制特征方程根随系统参数（如增益 (K)）变化的轨迹，直观地分析稳定性。对于单位反馈系统，特征方程为： [ 1 + K G(s) = 0 ] 根轨迹从开环极点出发，终止于开环零点或无穷远处。当根轨迹进入右半平面时，系统不稳定。

示例：考虑开环传递函数 (G(s) = \frac{1}{s(s+1)})，特征方程为： [ 1 + \frac{K}{s(s+1)} = 0 \quad \Rightarrow \quad s^2 + s + K = 0 ] 根轨迹的渐近线角度为 (\pm 90^\circ)，与虚轴的交点可通过劳斯判据求得。当 (K > 0.25) 时，根进入右半平面，系统不稳定。

3. 特征方程根与动态响应的关系

3.1 动态响应的指标

动态响应通常用以下指标衡量：

  • 上升时间（(t_r)）：输出从10%上升到90%所需时间。
  • 峰值时间（(t_p)）：达到第一个峰值的时间。
  • 超调量（(M_p)）：峰值与稳态值的百分比。
  • 调节时间（(t_s)）：输出进入稳态值±2%或±5%范围的时间。

3.2 二阶系统的响应特性

对于二阶系统，特征方程为： [ s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0 ] 根为： [ s = -\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2} ] 其中，(\zeta) 和 (\omega_n) 直接影响响应特性：

  • 阻尼比 (\zeta)：
    • (\zeta > 1)：过阻尼，无振荡，响应缓慢。
    • (\zeta = 1)：临界阻尼，最快无振荡响应。
    • (0 < \zeta < 1)：欠阻尼，振荡衰减。
    • (\zeta = 0)：无阻尼，等幅振荡。
    • (\zeta < 0)：不稳定，发散振荡。
  • 自然频率 (\omega_n)：影响响应速度。(\omega_n) 越大，响应越快。

示例：考虑一个二阶系统，(\omega_n = 2) rad/s，比较不同 (\zeta) 下的响应：

  • (\zeta = 0.5)（欠阻尼）：超调量 (M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \approx 16.3\%)，调节时间 (t_s \approx \frac{4}{\zeta\omega_n} = 4) 秒。
  • (\zeta = 1)（临界阻尼）：无超调，调节时间 (t_s \approx \frac{4.6}{\omega_n} = 2.3) 秒。
  • (\zeta = 2)（过阻尼）：响应缓慢，调节时间 (t_s \approx 5) 秒。

3.3 高阶系统的响应

高阶系统的响应由主导极点决定。主导极点是距离虚轴最近的极点，其动态特性主导系统响应。例如，一个三阶系统可能有极点 (s = -1, -2, -10)，其中 (s = -1) 是主导极点，系统响应近似为一阶系统。

示例：考虑三阶系统传递函数： [ G(s) = \frac{10}{(s+1)(s+2)(s+10)} ] 特征方程为： [ (s+1)(s+2)(s+10) = 0 ] 极点为 (s = -1, -2, -10)。主导极点 (s = -1) 决定了系统的调节时间 (t_s \approx \frac{4}{1} = 4) 秒，而其他极点影响较小。

4. 通过反馈调整特征方程以优化系统性能

4.1 控制器设计

通过设计控制器 (G_c(s))，可以改变特征方程的根分布，从而优化系统性能。常见的控制器类型包括：

  • 比例控制器（P）：(G_c(s) = K_p)，增加系统增益，但可能降低稳定性。
  • 比例-积分控制器（PI）：(G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s})，消除稳态误差，但可能引入振荡。
  • 比例-积分-微分控制器（PID）：(G_c(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s)，综合改善动态响应和稳态性能。

4.2 根轨迹设计

根轨迹法可用于设计控制器参数，使闭环极点位于期望位置。例如，设计一个PD控制器使系统具有期望的阻尼比和自然频率。

示例：考虑被控对象 (G_p(s) = \frac{1}{s(s+1)})，设计PD控制器 (G_c(s) = K_p + K_d s)，使闭环系统具有阻尼比 (\zeta = 0.7) 和自然频率 (\omega_n = 2) rad/s。

  • 闭环特征方程为： [ 1 + (K_p + K_d s) \frac{1}{s(s+1)} = 0 \quad \Rightarrow \quad s^2 + (1 + K_d)s + K_p = 0 ]
  • 与标准二阶系统 (s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0) 比较，得： [ 1 + K_d = 2\zeta\omega_n = 2 \times 0.7 \times 2 = 2.8 \quad \Rightarrow \quad K_d = 1.8 ] [ K_p = \omega_n^2 = 4 ]
  • 因此，控制器参数为 (K_p = 4, K_d = 1.8)。此时，特征方程为 (s^2 + 2.8s + 4 = 0)，根为 (s = -1.4 \pm j1.43)，满足设计要求。

4.3 频域方法：伯德图与奈奎斯特图

频域方法通过分析开环传递函数的频率响应来设计反馈系统。伯德图用于评估增益裕度和相位裕度，确保系统稳定并具有良好的动态响应。

示例：考虑开环传递函数 (G(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+2)})。通过伯德图分析，可以确定使系统稳定的增益范围。相位裕度为正时，系统稳定且动态响应良好。

5. 实际应用示例：倒立摆控制系统

5.1 系统建模

倒立摆是一个经典的不稳定系统，通过反馈控制实现稳定。其线性化模型为： [ \ddot{\theta} - \frac{g}{l}\theta = u ] 其中，(\theta) 是摆角，(g) 是重力加速度，(l) 是摆长，(u) 是控制输入。传递函数为： [ G_p(s) = \frac{\theta(s)}{U(s)} = \frac{1}{s^2 - \frac{g}{l}} ] 特征方程为 (s^2 - \frac{g}{l} = 0)，根为 (s = \pm \sqrt{\frac{g}{l}})，一个正实根，系统不稳定。

5.2 反馈控制设计

设计PD控制器 (G_c(s) = K_p + K_d s)，闭环特征方程为： [ 1 + (K_p + K_d s) \frac{1}{s^2 - \frac{g}{l}} = 0 \quad \Rightarrow \quad s^2 + K_d s + (K_p - \frac{g}{l}) = 0 ] 选择 (K_p > \frac{g}{l}) 和 (K_d > 0)，使特征方程根具有负实部。例如，设 (l = 1) m, (g = 9.8) m/s²，则 (\frac{g}{l} = 9.8)。取 (K_p = 10, K_d = 2)，特征方程为： [ s^2 + 2s + 0.2 = 0 ] 根为 (s = -1 \pm j0.99)，系统稳定，阻尼比 (\zeta \approx 0.7)，自然频率 (\omega_n \approx 1) rad/s。

5.3 动态响应分析

通过仿真或解析计算，可以分析系统的动态响应。例如，对于上述系统，阶跃响应的超调量约为16%，调节时间约为4秒。通过调整 (K_p) 和 (K_d)，可以进一步优化响应速度和超调量。

6. 总结

反馈系统的特征方程是分析和设计控制系统的核心工具。特征方程的根分布直接决定了系统的稳定性和动态响应特性。通过劳斯判据、根轨迹法和频域方法，可以评估和优化系统性能。在实际应用中，如倒立摆控制，通过设计合适的控制器参数，可以将不稳定系统转化为稳定系统，并实现良好的动态响应。掌握特征方程的分析方法，对于控制系统工程师至关重要。

通过本文的详细讨论和示例，希望读者能够深入理解反馈特征方程如何影响系统稳定性与动态响应，并在实际工程中灵活应用这些原理。