在数学的广阔领域中，复变函数和高等数学是两个非常重要的分支。它们不仅在理论研究中占据着核心地位，而且在工程、物理、计算机科学等多个领域都有着广泛的应用。为了帮助读者更好地理解和掌握这两个领域的核心技巧，以下是一些精选的习题和解析。
第一章：复数与复变函数
1.1 复数的基本运算
习题：设 ( z = 3 + 4i )，计算 ( z^2 ) 和 ( \frac{1}{z} )。
解答：
首先，计算 \( z^2 \)：
\[ z^2 = (3 + 4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i \]
接着，计算 \( \frac{1}{z} \)：
\[ \frac{1}{z} = \frac{1}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} = \frac{3 - 4i}{9 + 16} = \frac{3 - 4i}{25} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i \]
1.2 复变函数的解析性
习题：证明函数 ( f(z) = e^z ) 在复平面上是解析的。
解答：
由于 \( e^z \) 可以写成 \( e^{x+yi} = e^x (\cos y + i \sin y) \)，其中 \( e^x \) 是实数函数，且 \( \cos y \) 和 \( \sin y \) 都是关于 \( y \) 的全纯函数，所以 \( f(z) = e^z \) 是解析的。
第二章：高等数学
2.1 微积分基本定理
习题：计算定积分 ( \int_0^{\pi} \sin x \, dx )。
解答：
由于 \( \int \sin x \, dx = -\cos x \)，所以
\[ \int_0^{\pi} \sin x \, dx = -\cos x \bigg|_0^{\pi} = -\cos(\pi) + \cos(0) = -(-1) + 1 = 2 \]
2.2 偏导数与多元函数微分法
习题：设 ( f(x, y) = x^2 + y^2 )，求 ( f ) 在点 ( (1, 1) ) 的梯度。
解答：
梯度 \( \nabla f \) 由偏导数构成，所以
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y \]
在点 \( (1, 1) \)，
\[ \nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2, 2) \]
通过以上习题的解析，读者可以逐步建立起对复变函数和高等数学的理解，并通过不断的练习来巩固和提升自己的解题技巧。记住，数学是一门实践性很强的学科，只有通过大量的练习，才能真正掌握其精髓。