在高等教育领域，尤其是像复旦大学这样顶尖学府的数学教学中，如何将抽象、复杂的数学概念转化为学生易于理解且充满趣味的内容，是每一位数学老师面临的挑战。传统的数学教学往往侧重于公式推导和定理证明，容易让学生感到枯燥和畏惧。然而，复旦大学的许多数学老师通过创新的教学方法，将趣味性融入课堂，成功破解了学生在数学学习中的难题。本文将详细探讨这些趣味方法，结合具体案例，展示如何通过故事、游戏、可视化工具和现实应用等方式，激发学生的学习兴趣，提升他们的数学思维能力。

1. 故事化教学：将数学融入叙事中

故事化教学是一种将数学问题嵌入到生动叙事中的方法，它能有效降低学生的认知负荷，使抽象概念变得具体可感。复旦大学的数学老师经常利用历史故事、神话或日常生活场景来引入数学问题，让学生在听故事的过程中自然地理解数学原理。

案例：用“分蛋糕”故事讲解分数与极限

在教授微积分中的极限概念时，一位复旦老师设计了一个“分蛋糕”的故事。故事开始于一个家庭聚会，妈妈买了一个圆形蛋糕，需要平均分给8个孩子。老师引导学生思考：如果每次切分都只能将剩余部分平均分成两半，如何用数学描述这个过程？

  • 步骤1：引入问题
    老师提问：“如果每次切分都只能将剩余部分平均分成两半，那么第n次切分后，每个孩子分到的蛋糕面积是多少？”
    学生通过计算发现，每次切分后，每个孩子分到的面积是 ( \frac{1}{2^n} ) 个蛋糕。例如，第一次切分后，每个孩子分到 ( \frac{1}{2} ) 个蛋糕；第二次切分后，每个孩子分到 ( \frac{1}{4} ) 个蛋糕，以此类推。

  • 步骤2：引入极限概念
    老师进一步提问：“当切分次数n无限增加时，每个孩子分到的蛋糕面积会趋近于多少？”
    学生通过计算发现，当n趋近于无穷大时，( \frac{1}{2^n} ) 趋近于0。这引出了极限的概念：( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0 )。

  • 步骤3：扩展到实际应用
    老师将问题扩展到现实场景，例如在工程中，如何通过无限次细分来逼近一个物体的体积或面积。学生通过这个故事，不仅理解了极限的定义，还看到了数学在实际问题中的应用。

这种方法的优势在于，它将抽象的数学概念与学生的日常生活经验联系起来，使学生更容易接受和记忆。通过故事，学生不再觉得数学是冷冰冰的公式，而是解决实际问题的工具。

2. 游戏化学习：通过互动游戏激发兴趣

游戏化学习是将游戏元素（如挑战、奖励、竞争）融入教学过程，以提高学生的参与度和积极性。复旦大学的数学老师经常设计数学游戏，让学生在玩乐中掌握数学知识。

案例：用“数独”游戏讲解逻辑推理与组合数学

在教授离散数学中的组合数学时，一位复旦老师引入了“数独”游戏。数独是一种基于数字的逻辑谜题，玩家需要在9x9的网格中填入数字1-9，使得每行、每列和每个3x3子网格中的数字都不重复。

  • 步骤1：游戏介绍与规则讲解
    老师首先介绍数独的基本规则，并展示一个简单的数独谜题。学生通过尝试解决谜题，体验到逻辑推理的乐趣。

  • 步骤2：数学原理的引入
    老师引导学生思考：“数独的解法涉及哪些数学概念？”
    学生通过讨论发现，数独的解法涉及排列组合、逻辑推理和约束满足问题。例如，每个数字在每一行、每一列和每个子网格中的出现次数是固定的，这体现了组合数学中的“排列”概念。

  • 步骤3：扩展到更复杂的数学问题
    老师将数独问题扩展到更复杂的组合数学问题，例如“拉丁方阵”和“幻方”。学生通过解决这些扩展问题，进一步理解了组合数学中的排列、组合和对称性等概念。

  • 步骤4：编程实现（可选）
    对于计算机科学或数学专业的学生，老师可以引导他们用编程实现数独求解器。例如，使用Python编写一个简单的数独求解程序，通过回溯算法解决数独问题。以下是一个简单的Python代码示例：

def is_valid(board, row, col, num):
    # 检查行
    for x in range(9):
        if board[row][x] == num:
            return False
    # 检查列
    for x in range(9):
        if board[x][col] == num:
            return False
    # 检查3x3子网格
    start_row, start_col = 3 * (row // 3), 3 * (col // 3)
    for i in range(3):
        for j in range(3):
            if board[start_row + i][start_col + j] == num:
                return False
    return True

def solve_sudoku(board):
    for row in range(9):
        for col in range(9):
            if board[row][col] == 0:
                for num in range(1, 10):
                    if is_valid(board, row, col, num):
                        board[row][col] = num
                        if solve_sudoku(board):
                            return True
                        board[row][col] = 0
                return False
    return True

# 示例数独谜题（0表示空格）
sudoku_board = [
    [5, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0],
    [6, 0, 0, 1, 9, 5, 0, 0, 0],
    [0, 9, 8, 0, 0, 0, 0, 6, 0],
    [8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 3],
    [4, 0, 0, 8, 0, 3, 0, 0, 1],
    [7, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6],
    [0, 6, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 0],
    [0, 0, 0, 4, 1, 9, 0, 0, 5],
    [0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 7, 9]
]

if solve_sudoku(sudoku_board):
    for row in sudoku_board:
        print(row)
else:
    print("No solution exists")

通过这个游戏，学生不仅掌握了组合数学的基本概念，还锻炼了逻辑思维和编程能力。游戏化学习使数学变得有趣，提高了学生的参与度和学习效果。

3. 可视化工具：用图形和动画展示抽象概念

数学中的许多概念，如函数、极限、积分和向量空间，都是抽象的。复旦大学的数学老师经常使用可视化工具，如图形计算器、动画软件和编程库，将这些概念转化为直观的图形，帮助学生建立直观理解。

案例：用Python的Matplotlib库可视化函数极限

在教授微积分中的极限概念时，一位复旦老师使用Python的Matplotlib库创建动画，展示函数在某一点的极限行为。

  • 步骤1：问题引入
    老师提出问题：“如何直观地理解函数 ( f(x) = \frac{\sin x}{x} ) 在 ( x = 0 ) 处的极限？”
    学生通过计算知道 ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 )，但缺乏直观感受。

  • 步骤2：可视化实现
    老师使用Python代码生成函数图像，并创建动画，展示当x趋近于0时，函数值如何趋近于1。以下是一个简单的Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.animation import FuncAnimation

# 定义函数
def f(x):
    return np.sin(x) / x

# 创建x值
x = np.linspace(-0.1, 0.1, 1000)
y = f(x)

# 创建图形
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlim(-0.1, 0.1)
ax.set_ylim(0.5, 1.5)
ax.axhline(y=1, color='r', linestyle='--', label='y=1')
line, = ax.plot([], [], 'b-', lw=2)
point, = ax.plot([], [], 'ro', markersize=8)
ax.legend()

# 初始化函数
def init():
    line.set_data([], [])
    point.set_data([], [])
    return line, point

# 动画函数
def animate(i):
    x_i = x[:i]
    y_i = y[:i]
    line.set_data(x_i, y_i)
    if len(x_i) > 0:
        point.set_data(x_i[-1], y_i[-1])
    return line, point

# 创建动画
ani = FuncAnimation(fig, animate, frames=len(x), init_func=init, blit=True, interval=50)
plt.show()
  • 步骤3：互动讨论
    在动画播放过程中，老师引导学生观察函数值的变化，并讨论极限的定义。学生通过视觉直观地理解了极限的概念，而不是仅仅依赖公式推导。

这种方法的优势在于，它将抽象的数学概念转化为具体的视觉体验，帮助学生建立直观理解。可视化工具不仅适用于微积分，还可以用于线性代数、概率论等其他数学领域。

4. 现实应用：将数学与实际问题结合

数学的最终目的是解决实际问题。复旦大学的数学老师经常将数学问题与现实世界中的应用相结合，让学生看到数学的实用价值，从而激发学习兴趣。

案例：用线性代数解决图像处理问题

在教授线性代数中的矩阵运算时，一位复旦老师引入了图像处理中的应用，例如图像的旋转、缩放和滤波。

  • 步骤1：问题引入
    老师展示一张图片，并提问：“如何用数学方法对这张图片进行旋转或缩放？”
    学生通过讨论发现，图像可以表示为矩阵，每个像素的值可以看作矩阵中的一个元素。

  • 步骤2：数学原理的讲解
    老师讲解图像旋转的数学原理：旋转图像可以通过矩阵乘法实现。例如，将图像矩阵与一个旋转矩阵相乘，即可得到旋转后的图像。旋转矩阵的公式为： [ R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} ] 对于二维图像，每个像素点 ((x, y)) 通过旋转矩阵变换为新的坐标 ((x’, y’))。

  • 步骤3：编程实现
    老师引导学生用Python和OpenCV库实现图像旋转。以下是一个简单的Python代码示例：

import cv2
import numpy as np

# 读取图像
image = cv2.imread('example.jpg')
height, width = image.shape[:2]

# 定义旋转角度（例如45度）
angle = 45

# 计算旋转矩阵
rotation_matrix = cv2.getRotationMatrix2D((width/2, height/2), angle, 1.0)

# 应用旋转
rotated_image = cv2.warpAffine(image, rotation_matrix, (width, height))

# 显示原图和旋转后的图像
cv2.imshow('Original Image', image)
cv2.imshow('Rotated Image', rotated_image)
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()
  • 步骤4：扩展到其他应用
    老师进一步将线性代数扩展到其他应用，例如推荐系统（矩阵分解）、机器学习（特征提取）等。学生通过这些实际应用，理解了线性代数在现代科技中的重要性。

通过将数学与现实应用结合，学生不仅掌握了数学知识，还看到了数学在解决实际问题中的价值，从而增强了学习动力。

5. 协作学习：通过小组讨论和项目合作

协作学习是一种通过小组合作解决问题的教学方法。复旦大学的数学老师经常组织学生进行小组讨论和项目合作，让学生在互动中学习，培养团队合作能力和批判性思维。

案例：用项目式学习解决优化问题

在教授运筹学中的优化问题时，一位复旦老师设计了一个项目式学习任务：优化校园食堂的排队系统。

  • 步骤1：问题定义
    老师提出问题：“如何优化校园食堂的排队系统，以减少学生的等待时间？”
    学生被分成小组，每个小组需要收集数据、建立模型并提出解决方案。

  • 步骤2：数据收集与模型建立
    学生通过观察和调查，收集食堂在不同时间段的客流量、服务速度等数据。然后，他们使用排队论（Queuing Theory）建立数学模型。排队论的基本模型是M/M/1队列，其中λ表示到达率，μ表示服务率。平均等待时间 ( W_q ) 可以通过以下公式计算： [ W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)} ] 学生通过调整参数（如增加服务窗口或优化服务流程）来最小化 ( W_q )。

  • 步骤3：解决方案与验证
    每个小组提出自己的优化方案，例如增加自助点餐机、调整服务窗口的开放时间等。他们使用模拟软件（如Python的SimPy库）验证方案的有效性。以下是一个简单的排队模拟代码示例：

import simpy
import random
import matplotlib.pyplot as plt

def customer_arrival(env, arrival_rate, service_rate, server):
    """顾客到达过程"""
    while True:
        # 随机间隔时间到达
        yield env.timeout(random.expovariate(arrival_rate))
        # 顾客开始服务
        env.process(customer_service(env, server, service_rate))

def customer_service(env, server, service_rate):
    """顾客服务过程"""
    with server.request() as req:
        yield req
        # 服务时间
        service_time = random.expovariate(service_rate)
        yield env.timeout(service_time)

# 模拟参数
arrival_rate = 2  # 每分钟到达2个顾客
service_rate = 3  # 每分钟服务3个顾客
simulation_time = 60  # 模拟60分钟

# 创建环境
env = simpy.Environment()
server = simpy.Resource(env, capacity=1)  # 1个服务窗口

# 启动顾客到达过程
env.process(customer_arrival(env, arrival_rate, service_rate, server))

# 运行模拟
env.run(until=simulation_time)

# 分析结果（这里简化，实际中需要记录等待时间等数据）
print("模拟完成")
  • 步骤4：展示与讨论
    每个小组向全班展示他们的方案和模拟结果，并接受其他小组的提问和建议。老师引导学生讨论不同方案的优缺点，并总结优化问题的关键要素。

通过项目式学习，学生不仅掌握了优化问题的数学模型，还锻炼了数据收集、模型建立、编程实现和团队合作能力。这种方法使学生在实践中学习，提高了他们的综合素养。

6. 跨学科融合：将数学与其他学科结合

数学是许多学科的基础。复旦大学的数学老师经常将数学与其他学科（如物理、化学、经济学、计算机科学）结合，展示数学的广泛应用，拓宽学生的视野。

案例：用微分方程模拟传染病传播

在教授常微分方程时，一位复旦老师引入了传染病模型（如SIR模型），将数学与流行病学结合。

  • 步骤1：问题引入
    老师展示COVID-19疫情的数据，提问：“如何用数学模型预测传染病的传播趋势？”
    学生通过讨论，了解传染病模型的基本思想。

  • 步骤2：数学模型的讲解
    老师讲解SIR模型：将人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），并建立微分方程组： [ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta S I \ \frac{dI}{dt} = \beta S I - \gamma I \ \frac{dR}{dt} = \gamma I \end{cases} ] 其中，β是感染率，γ是康复率。学生通过求解这些方程，可以预测疫情的发展趋势。

  • 步骤3：编程实现与模拟
    老师引导学生用Python和SciPy库求解微分方程，并模拟疫情传播。以下是一个简单的Python代码示例：

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

# SIR模型微分方程
def sir_model(t, y, beta, gamma):
    S, I, R = y
    dSdt = -beta * S * I
    dIdt = beta * S * I - gamma * I
    dRdt = gamma * I
    return [dSdt, dIdt, dRdt]

# 参数设置
beta = 0.3  # 感染率
gamma = 0.1  # 康复率
S0, I0, R0 = 0.9, 0.1, 0  # 初始条件
y0 = [S0, I0, R0]

# 时间范围
t_span = (0, 160)
t_eval = np.linspace(0, 160, 1000)

# 求解微分方程
sol = solve_ivp(sir_model, t_span, y0, args=(beta, gamma), t_eval=t_eval)

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(sol.t, sol.y[0], label='易感者(S)')
plt.plot(sol.t, sol.y[1], label='感染者(I)')
plt.plot(sol.t, sol.y[2], label='康复者(R)')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('人口比例')
plt.title('SIR模型模拟传染病传播')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
  • 步骤4：讨论与扩展
    老师引导学生讨论模型的局限性（如假设人群均匀混合、忽略年龄结构等），并介绍更复杂的模型（如SEIR模型、年龄结构模型）。学生通过这个案例，理解了微分方程在流行病学中的应用，并学会了如何用数学模型解决实际问题。

通过跨学科融合，学生不仅掌握了数学知识，还看到了数学在其他学科中的重要作用，拓宽了他们的学术视野。

7. 个性化教学：根据学生兴趣定制内容

每个学生都有不同的兴趣和学习风格。复旦大学的数学老师经常根据学生的兴趣定制教学内容，使数学学习更加个性化和有针对性。

案例：为不同兴趣的学生设计不同的数学项目

在教授概率论时，一位复旦老师根据学生的兴趣，设计了三个不同的项目：

  • 对金融感兴趣的学生：设计一个股票价格预测模型，使用随机过程（如布朗运动）模拟股票价格波动，并计算期权定价（如Black-Scholes模型）。
  • 对计算机科学感兴趣的学生：设计一个机器学习分类器，使用概率论中的贝叶斯定理进行垃圾邮件过滤。
  • 对生物学感兴趣的学生：设计一个基因序列分析项目，使用概率模型分析基因突变的概率。

每个学生选择自己感兴趣的项目，老师提供指导和资源。学生通过项目学习，不仅掌握了概率论的核心概念，还将数学应用于自己感兴趣的领域，提高了学习动力和效果。

8. 总结

复旦大学的数学老师通过故事化教学、游戏化学习、可视化工具、现实应用、协作学习、跨学科融合和个性化教学等趣味方法，成功破解了学生在数学学习中的难题。这些方法不仅使数学变得有趣，还帮助学生建立了直观理解，培养了逻辑思维和解决实际问题的能力。通过这些创新的教学实践，复旦大学的数学教育不仅传授了知识，更激发了学生的兴趣和创造力，为他们的未来发展奠定了坚实的基础。

总之，趣味教学法的核心在于将抽象的数学概念与学生的兴趣和生活经验相结合，通过多样化的教学手段，使数学学习成为一种享受。复旦大学的数学老师正是通过这些方法，让数学不再是学生的难题，而是他们探索世界的一把钥匙。