一、复数的基本概念与引入
复数是数学中一个至关重要的概念，它扩展了实数系，使得所有多项式方程都有解。复数的引入源于求解一元二次方程时判别式小于零的情况，例如方程 \(x^2 + 1 = 0\) 在实数范围内无解，但在复数范围内有解 \(x = \pm i\)。
1.1 复数的定义
复数通常表示为 \(z = a + bi\) 的形式，其中：
- \(a\) 和 \(b\) 是实数
- \(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)
- \(a\) 称为复数的实部，记作 \(\text{Re}(z) = a\)
- \(b\) 称为复数的虚部，记作 \(\text{Im}(z) = b\)
重要性质：
- 当 \(b = 0\) 时，复数 \(z = a\) 为实数
- 当 \(a = 0\) 且 \(b \neq 0\) 时，复数 \(z = bi\) 为纯虚数
- 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等
1.2 复数的几何表示
复数可以用复平面（高斯平面）上的点来表示：
- 横轴（实轴）表示实部
- 纵轴（虚轴）表示虚部
- 复数 \(z = a + bi\) 对应点 \((a, b)\)
这种几何表示对于理解复数的模、幅角和共轭等概念非常有帮助。
二、复数的运算规则
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，每种运算都有其特定的规则和性质。
2.1 复数的加法与减法
运算法则： 复数的加法和减法遵循”实部与实部相加减，虚部与虚部相加减”的原则。
设 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di\)，则：
- 加法：\(z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\)
- 减法：\(z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i\)
几何意义： 复数加法遵循平行四边形法则或三角形法则，类似于向量加法。
示例： 计算 \((3 + 2i) + (1 - 4i)\) 和 \((3 + 2i) - (1 - 4i)\)
解： \((3 + 2i) + (1 - 4i) = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i\) \((3 + 2i) - (1 - 2i) = (3 - 1) + (2 - (-4))i = 2 + 6i\)
2.2 复数的乘法
运算法则： 复数乘法类似于多项式乘法，并利用 \(i^2 = -1\) 进行化简。
设 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di\)，则： \(z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
几何意义： 复数乘法的几何意义是模相乘、幅角相加。即若 \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\)，\(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)，则 \(z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)。
示例： 计算 \((3 + 2i)(1 - 4i)\)
解： \((3 + 2i)(1 - 4i) = 3×1 + 3×(-4i) + 2i×1 + 2i×(-4i)\) \(= 3 - 12i + 2i - 8i^2\) \(= 3 - 10i - 8(-1)\) \(= 3 - 10i + 8\) \(= 11 - 10i\)
2.3 复数的除法
运算法则： 复数除法通过”分母实数化”实现，即分子分母同乘以分母的共轭复数。
设 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di \neq 0\)，则： \(z_1 / z_2 = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}\)
示例： 计算 \(\frac{3 + 2i}{1 - 4i}\)
解： \(\frac{3 + 2i}{1 - 4i} = \frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)} = \frac{3 + 12i + 2i + 8i^2}{1 + 16} = \frac{3 + 14i - 8}{17} = \frac{-5 + 14i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{14}{13}i\)
三、复数的核心考点：共轭、模与幅角
3.1 共轭复数
定义： 对于复数 \(z = a + bi\)，其共轭复数记作 \(\bar{z}\) 或 \(z^*\)，定义为 \(\bar{z} = a - bi\)。
重要性质：
- \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\)
- \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)
- \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\)
- \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)（模的平方）
- \(\bar{\bar{z}} = z\)
几何意义： 共轭复数在复平面上关于实轴对称。
示例： 已知 \(z = 3 + 4i\)，求 \(\bar{z}\)，并验证 \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)。
解： \(\bar{z} = 3 - 4i\) \(z \cdot \bar{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 12i + 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25\) \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) \(|z|^2 = 25\) 验证成立。
3.2 复数的模
定义： 复数 \(z = a + bi\) 的模（或绝对值）定义为 \(|z| = \sqrt{a^2 + \)b^2}$。
重要性质：
- \(|z| \geq 0\)，且 \(|z| = 0\) 当且仅当 \(z = 0\)
- \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)（三角不等式）
- \(|z_1 - z_2| \geq |z_1| - |z_2|\)
几何意义： 模表示复平面上点到原点的距离。
示例： 计算 \(|3 + 4i|\)，\(|1 - i|\)，并验证 \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)。
解： \(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) \(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\) \(z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 - i) = 3 - 3i + 4i - 4i^2 = 3 + i + 4 = 7 + i\) \(|z_1 \cdot z_2| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) \(|z_1| \cdot |z_2| = 5 × √2 = 5√2\) 验证成立。
3.3 复数的幅角
定义： 对于非零复数 \(z = a + bi\)，其幅角（或辐角）是满足以下条件的角 \(\theta\)：
- \(a = |z|\cos\theta\)
- \(b = \)|z|\sin\theta\( 通常记作 \)\arg(z)\(，主值范围为 \)(-\pi, \pi]$。
重要性质：
- \(\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)
- \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\)
- \(\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)\)
- \(\arg(\bar{z}) = -\arg(z)\)
- \(\arg(-z) = \arg(z) + \180^\circ\)（或 \(\pi\) 弧度）
几何意义： 幅角表示复平面上点与原点连线与正实轴的夹角。
示例： 求 \(z = 1 + i\) 的幅角主值，并计算 \(z^3\) 的幅角。
解： \(|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{2}\) \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 所以 \(\theta = \frac{\pi}{4}\) 因此 \(\arg(z) = \frac{\pi}{4}\) \(\arg(z^3) = 3 × \frac{\pi}{4} = \3\pi/4\)
四、复数的三角形式与指数形式
4.1 三角形式
定义： 复数 \(z = a + bi\) 可以表示为 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，其中 \(r = |z|\)，\(\theta = \arg(z)\)。
运算优势：
- 乘法：\(z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)
- 乘方（棣莫弗公式）：\(z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\)\)
- 除法：\(z_1/z_2 = (r_1/r_2)[\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)]\)
示例： 用三角形式计算 \((1+i)^8\)
解： \(1+i = √2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})\) \((1+i)^8 = (√2)^8[\cos(8×\frac{\pi}{4}) + i\sin(8×\frac{\pi}{4})]\) \(= 16[\cos(2π) + i\sin(2π)]\) \(= 16(1 + 0i) = 16\)
4.2 指数形式（欧拉公式）
定义： 利用欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)，复数可表示为 \(z = re^{i\theta}\)。
运算优势： 指数形式使复数运算完全转化为指数运算，特别适合计算机实现。
示例： 用指数形式计算 \((1+i)^8\)
解： \(1+i = √2 e^{iπ/4}\) \((1+i)^8 = (√2)^8 e^{i8π/4} = 16 e^{i2π} = 16\)
五、复数方程与多项式
5.1 复数方程的解法
基本方法：
- 设 \(z = x + yi\)，代入方程
- 分离实部和虚部，得到关于 \(x,y\) 的方程组
- 解方程组得到 \(z\)
示例： 解方程 \(z^2 + 2z + 5 = 0\)
解： 方法一：直接求根公式 \(z = \frac{-2 ± \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 ± \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 ± 2i}{2} = -1 ± i\)
方法二：配方法 \(z^2 + 2z + 5 = (z+1)^2 + 4 = 0\) \((z+1)^2 = -4\) \(z+1 = ±2i\) \(z = -1 ± 2i\)
5.2 复数域上的多项式定理
代数基本定理： 任何 \(n\) 次多项式在复数域内恰好有 \(n\) 个根（计入重根）。
因式分解： 多项式 \(P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)...(z - z_n)\)
示例： 分解 \(z^4 + 1 = 0\) 的根
解： \(z^4 = -1 = e^{iπ}\) \(z = e^{i(π + 2kπ)/4} = e^{i(π/4 + kπ/2)}\), \(k=0,1,2,3\) 四个根：\(e^{iπ/4}, e^{i3π/4}, e^{i5π/4}, e^{i7π/4}\) 即：\(\frac{√2}{2}(1+i), \frac{√2}{2}(-1+i), \frac{√2}{2}(-1-i), \frac{√2}{2}(1-i)\)
六、复数的高级应用与考点
6.1 复数与几何变换
旋转： 乘以 \(e^{i\theta}\) 实现旋转 \(\theta\) 角度。
伸缩： 乘以实数 \(k\) 实现伸缩 \(k\) 倍。
示例： 将点 \(z = 2 + 3i\) 绕原点逆时针旋转 \(90°\)，再伸缩到原来的 \(2\) 倍。
解： 旋转：乘以 \(i\) 伸缩：乘以 \(2\) 最终：\(z' = 2i(2 + 3i) = 4i + 6i^2 = -6 + 4i\)
6.2 复数与向量
关系： 复数可以看作二维向量，模对应向量长度，幅角对应方向角。
应用： 复数运算可以简化向量运算，特别是涉及旋转和伸缩的复合变换。
6.3 复数在信号处理中的应用
傅里叶变换： 信号处理中，复数用于表示不同频率的正弦波的幅度和相位。
示例： 一个信号 \(s(t) = A\cos(ωt + φ)\) 可以表示为复数 \(Ae^{iφ}\) 乘以 \(e^{iωt}\) 的实部。
7. 常见错误与注意事项
- 混淆虚数单位：\(i^2 = -1\)，不是 \(i = -1\)
- 模与绝对值：复数的模是实数，但复数本身不是实数
- 幅角主值：注意主值范围 \((-\pi, \pi]\)，计算时需调整
- 共轭运算：共轭运算对加法、乘法满足分配律，但对减法不满足
- 三角形式：必须写成 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 形式，不能遗漏 \(i\)
8. 综合练习题
题目1： 已知 \(z = \frac{(1+i)^3}{2-i}\)，求 \(|z|\)。
解答： 先化简分子：\((1+i)^3 = (1+i)^2(1+i) = (2i)(1+i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i\) 然后：\(z = \frac{-2 + 2i}{2 - i} = \frac{(-2 + 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-4 -2i + 4i + 2i^2}{4 + 1} = \frac{-4 + 2i - 2}{5} = \frac{-6 + 2i}{5} = -\frac{6}{5} + \frac{2}{5}i\) \(|z| = \sqrt{(-\frac{6}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{2}{25}} = \sqrt{\frac{38}{25}} = \frac{\sqrt{38}}{5}\)
题目2： 求满足 \(|z - 2i| = 2\) 的复数 \(z\) 在复平面上的轨迹。
解答： 这是复平面上以 \(2i\) 为圆心，半径为 \(2\) 的圆。 设 \(z = x + yi\)，则 \(|x + (y-2)i| = 2\) 即 \(\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 2\) 平方得：\(x^2 + (y-2)^2 = 4\) 这是一个圆心在 \((0,2)\)，半径为 \(2\) 的圆。
9. 总结
复数作为一个完整的数学体系，从基础概念到高级应用都有其独特的价值和考点。掌握复数需要：
- 理解基本定义和几何意义
- 熟练掌握四种基本运算
- 深刻理解共轭、模、幅角三大核心概念
- 掌握三角形式和指数形式及其运算优势
- 能够解决复数方程和多项式问题
- 理解复数在几何变换、向量运算等领域的应用
通过系统学习和大量练习，复数将成为解决数学、物理、工程等领域问题的有力工具。# 复数知识考点全解析：从基础概念到复数加减乘除运算及共轭模幅角核心考点一网打尽
一、复数的基本概念与引入
复数是数学中一个至关重要的概念，它扩展了实数系，使得所有多项式方程都有解。复数的引入源于求解一元二次方程时判别式小于零的情况，例如方程 \(x^2 + 1 = 0\) 在实数范围内无解，但在复数范围内有解 \(x = \pm i\)。
1.1 复数的定义
复数通常表示为 \(z = a + bi\) 的形式，其中：
- \(a\) 和 \(b\) 是实数
- \(i\) 是虚数单位，满足 \(i^2 = -1\)
- \(a\) 称为复数的实部，记作 \(\text{Re}(z) = a\)
- \(b\) 称为复数的虚部，记作 \(\text{Im}(z) = b\)
重要性质：
- 当 \(b = 0\) 时，复数 \(z = a\) 为实数
- 当 \(a = 0\) 且 \(b \neq 0\) 时，复数 \(z = bi\) 为纯虚数
- 两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等
1.2 复数的几何表示
复数可以用复平面（高斯平面）上的点来表示：
- 横轴（实轴）表示实部
- 纵轴（虚轴）表示虚部
- 复数 \(z = a + bi\) 对应点 \((a, b)\)
这种几何表示对于理解复数的模、幅角和共轭等概念非常有帮助。
二、复数的运算规则
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，每种运算都有其特定的规则和性质。
2.1 复数的加法与减法
运算法则： 复数的加法和减法遵循”实部与实部相加减，虚部与虚部相加减”的原则。
设 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di\)，则：
- 加法：\(z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i\)
- 减法：\(z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i\)
几何意义： 复数加法遵循平行四边形法则或三角形法则，类似于向量加法。
示例： 计算 \((3 + 2i) + (1 - 4i)\) 和 \((3 + 2i) - (1 - 4i)\)
解： \((3 + 2i) + (1 - 4i) = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2i\) \((3 + 2i) - (1 - 2i) = (3 - 1) + (2 - (-4))i = 2 + 6i\)
2.2 复数的乘法
运算法则： 复数乘法类似于多项式乘法，并利用 \(i^2 = -1\) 进行化简。
设 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di\)，则： \(z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
几何意义： 复数乘法的几何意义是模相乘、幅角相加。即若 \(z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\)，\(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)，则 \(z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)。
示例： 计算 \((3 + 2i)(1 - 4i)\)
解： \((3 + 2i)(1 - 4i) = 3×1 + 3×(-4i) + 2i×1 + 2i×(-4i)\) \(= 3 - 12i + 2i - 8i^2\) \(= 3 - 10i - 8(-1)\) \(= 3 - 10i + 8\) \(= 11 - 10i\)
2.3 复数的除法
运算法则： 复数除法通过”分母实数化”实现，即分子分母同乘以分母的共轭复数。
设 \(z_1 = a + bi\)，\(z_2 = c + di \neq 0\)，则： \(z_1 / z_2 = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}\)
示例： 计算 \(\frac{3 + 2i}{1 - 4i}\)
解： \(\frac{3 + 2i}{1 - 4i} = \frac{(3 + 2i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)} = \frac{3 + 12i + 2i + 8i^2}{1 + 16} = \frac{3 + 14i - 8}{17} = \frac{-5 + 14i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{14}{13}i\)
三、复数的核心考点：共轭、模与幅角
3.1 共轭复数
定义： 对于复数 \(z = a + bi\)，其共轭复数记作 \(\bar{z}\) 或 \(z^*\)，定义为 \(\bar{z} = a - bi\)。
重要性质：
- \(\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}\)
- \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}\)
- \(\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}\)
- \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)（模的平方）
- \(\bar{\bar{z}} = z\)
几何意义： 共轭复数在复平面上关于实轴对称。
示例： 已知 \(z = 3 + 4i\)，求 \(\bar{z}\)，并验证 \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\)。
解： \(\bar{z} = 3 - 4i\) \(z \cdot \bar{z} = (3 + 4i)(3 - 4i) = 9 - 12i + 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25\) \(|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) \(|z|^2 = 25\) 验证成立。
3.2 复数的模
定义： 复数 \(z = a + bi\) 的模（或绝对值）定义为 \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)。
重要性质：
- \(|z| \geq 0\)，且 \(|z| = 0\) 当且仅当 \(z = 0\)
- \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\)
- \(|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|\)（三角不等式）
- \(|z_1 - z_2| \geq |z_1| - |z_2|\)
几何意义： 模表示复平面上点到原点的距离。
示例： 计算 \(|3 + 4i|\)，\(|1 - i|\)，并验证 \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)。
解： \(|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) \(|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\) \(z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 - i) = 3 - 3i + 4i - 4i^2 = 3 + i + 4 = 7 + i\) \(|z_1 \cdot z_2| = \sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) \(|z_1| \cdot |z_2| = 5 × √2 = 5√2\) 验证成立。
3.3 复数的幅角
定义： 对于非零复数 \(z = a + bi\)，其幅角（或辐角）是满足以下条件的角 \(\theta\)：
- \(a = |z|\cos\theta\)
- \(b = |z|\sin\theta\) 通常记作 \(\arg(z)\)，主值范围为 \((-\pi, \pi]\)。
重要性质：
- \(\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)\)
- \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\)
- \(\arg(z^n) = n \cdot \arg(z)\)
- \(\arg(\bar{z}) = -\arg(z)\)
- \(\arg(-z) = \arg(z) + \180^\circ\)（或 \(\pi\) 弧度）
几何意义： 幅角表示复平面上点与原点连线与正实轴的夹角。
示例： 求 \(z = 1 + i\) 的幅角主值，并计算 \(z^3\) 的幅角。
解： \(|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{2}\) \(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}\) 所以 \(\theta = \frac{\pi}{4}\) 因此 \(\arg(z) = \frac{\pi}{4}\) \(\arg(z^3) = 3 × \frac{\pi}{4} = \3\pi/4\)
四、复数的三角形式与指数形式
4.1 三角形式
定义： 复数 \(z = a + bi\) 可以表示为 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)，其中 \(r = |z|\)，\(\theta = \arg(z)\)。
运算优势：
- 乘法：\(z_1z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2) + i\sin(\theta_1+\theta_2)]\)
- 乘方（棣莫弗公式）：\(z^n = r^n[\cos(n\theta) + i\sin(n\)\)
- 除法：\(z_1/z_2 = (r_1/r_2)[\cos(\theta_1-\theta_2) + i\sin(\theta_1-\theta_2)]\)
示例： 用三角形式计算 \((1+i)^8\)
解： \(1+i = √2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})\) \((1+i)^8 = (√2)^8[\cos(8×\frac{\pi}{4}) + i\sin(8×\frac{\pi}{4})]\) \(= 16[\cos(2π) + i\sin(2π)]\) \(= 16(1 + 0i) = 16\)
4.2 指数形式（欧拉公式）
定义： 利用欧拉公式 \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)，复数可表示为 \(z = re^{i\theta}\)。
运算优势： 指数形式使复数运算完全转化为指数运算，特别适合计算机实现。
示例： 用指数形式计算 \((1+i)^8\)
解： \(1+i = √2 e^{iπ/4}\) \((1+i)^8 = (√2)^8 e^{i8π/4} = 16 e^{i2π} = 16\)
五、复数方程与多项式
5.1 复数方程的解法
基本方法：
- 设 \(z = x + yi\)，代入方程
- 分离实部和虚部，得到关于 \(x,y\) 的方程组
- 解方程组得到 \(z\)
示例： 解方程 \(z^2 + 2z + 5 = 0\)
解： 方法一：直接求根公式 \(z = \frac{-2 ± \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 ± \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 ± 2i}{2} = -1 ± i\)
方法二：配方法 \(z^2 + 2z + 5 = (z+1)^2 + 4 = 0\) \((z+1)^2 = -4\) \(z+1 = ±2i\) \(z = -1 ± 2i\)
5.2 复数域上的多项式定理
代数基本定理： 任何 \(n\) 次多项式在复数域内恰好有 \(n\) 个根（计入重根）。
因式分解： 多项式 \(P(z) = a_n(z - z_1)(z - z_2)...(z - z_n)\)
示例： 分解 \(z^4 + 1 = 0\) 的根
解： \(z^4 = -1 = e^{iπ}\) \(z = e^{i(π + 2kπ)/4} = e^{i(π/4 + kπ/2)}\), \(k=0,1,2,3\) 四个根：\(e^{iπ/4}, e^{i3π/4}, e^{i5π/4}, e^{i7π/4}\) 即：\(\frac{√2}{2}(1+i), \frac{√2}{2}(-1+i), \frac{√2}{2}(-1-i), \frac{√2}{2}(1-i)\)
六、复数的高级应用与考点
6.1 复数与几何变换
旋转： 乘以 \(e^{i\theta}\) 实现旋转 \(\theta\) 角度。
伸缩： 乘以实数 \(k\) 实现伸缩 \(k\) 倍。
示例： 将点 \(z = 2 + 3i\) 绕原点逆时针旋转 \(90°\)，再伸缩到原来的 \(2\) 倍。
解： 旋转：乘以 \(i\) 伸缩：乘以 \(2\) 最终：\(z' = 2i(2 + 3i) = 4i + 6i^2 = -6 + 4i\)
6.2 复数与向量
关系： 复数可以看作二维向量，模对应向量长度，幅角对应方向角。
应用： 复数运算可以简化向量运算，特别是涉及旋转和伸缩的复合变换。
6.3 复数在信号处理中的应用
傅里叶变换： 信号处理中，复数用于表示不同频率的正弦波的幅度和相位。
示例： 一个信号 \(s(t) = A\cos(ωt + φ)\) 可以表示为复数 \(Ae^{iφ}\) 乘以 \(e^{iωt}\) 的实部。
7. 常见错误与注意事项
- 混淆虚数单位：\(i^2 = -1\)，不是 \(i = -1\)
- 模与绝对值：复数的模是实数，但复数本身不是实数
- 幅角主值：注意主值范围 \((-\pi, \pi]\)，计算时需调整
- 共轭运算：共轭运算对加法、乘法满足分配律，但对减法不满足
- 三角形式：必须写成 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\) 形式，不能遗漏 \(i\)
8. 综合练习题
题目1： 已知 \(z = \frac{(1+i)^3}{2-i}\)，求 \(|z|\)。
解答： 先化简分子：\((1+i)^3 = (1+i)^2(1+i) = (2i)(1+i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i\) 然后：\(z = \frac{-2 + 2i}{2 - i} = \frac{(-2 + 2i)(2 + i)}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{-4 -2i + 4i + 2i^2}{4 + 1} = \frac{-4 + 2i - 2}{5} = \frac{-6 + 2i}{5} = -\frac{6}{5} + \frac{2}{5}i\) \(|z| = \sqrt{(-\frac{6}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{36}{25} + \frac{2}{25}} = \sqrt{\frac{38}{25}} = \frac{\sqrt{38}}{5}\)
题目2： 求满足 \(|z - 2i| = 2\) 的复数 \(z\) 在复平面上的轨迹。
解答： 这是复平面上以 \(2i\) 为圆心，半径为 \(2\) 的圆。 设 \(z = x + yi\)，则 \(|x + (y-2)i| = 2\) 即 \(\sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 2\) 平方得：\(x^2 + (y-2)^2 = 4\) 这是一个圆心在 \((0,2)\)，半径为 \(2\) 的圆。
9. 总结
复数作为一个完整的数学体系，从基础概念到高级应用都有其独特的价值和考点。掌握复数需要：
- 理解基本定义和几何意义
- 熟练掌握四种基本运算
- 深刻理解共轭、模、幅角三大核心概念
- 掌握三角形式和指数形式及其运算优势
- 能够解决复数方程和多项式问题
- 理解复数在几何变换、向量运算等领域的应用
通过系统学习和大量练习，复数将成为解决数学、物理、工程等领域问题的有力工具。