引言

复变函数是高等数学中一个重要的分支，它将实数域上的微积分概念扩展到复数域。本文将从基础概念入手，逐步深入到进阶技巧，通过详细的习题解析，帮助读者掌握复变函数的核心解题思路。我们将涵盖复数的基本运算、复变函数的极限与连续性、解析函数、复积分以及留数定理等关键内容。

1. 复数的基本运算与几何表示

1.1 复数的表示方法

复数通常表示为 ( z = x + iy )，其中 ( x ) 和 ( y ) 是实数，( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。复数还有两种重要的表示形式：

• 代数形式：( z = x + iy )
• 三角形式：( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) )，其中 ( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ) 是模，( \theta = \arg(z) ) 是辐角。
• 指数形式：( z = re^{i\theta} )

例题1.1：将复数 ( z = 1 + i ) 转换为三角形式和指数形式。

解： 首先计算模：( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ) 辐角：( \theta = \arctan(¹⁄₁) = \pi/4 )（因为点在第一象限） 因此，三角形式为：( z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) ) 指数形式为：( z = \sqrt{2}e^{i\pi/4} )

1.2 复数的运算技巧

复数的加减乘除运算有其特定的规则，掌握这些规则可以简化计算。

乘法技巧：利用指数形式可以大大简化复数的乘法运算。 ( z_1 = r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2} ) 则 ( z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} )

例题1.2：计算 ( (1+i)^{10} )。

解： 利用指数形式：( 1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} ) 则 ( (1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4} = 2^5 e^{i5\pi/2} = 32 e^{i\pi/2} = 32i )

1.3 复数的几何意义

复数的加减对应于向量的加减，复数的乘法对应于旋转和伸缩。

例题1.3：设 ( z = 2e^{i\pi/3} )，求 ( z^3 ) 并解释其几何意义。

解： ( z^3 = 2^3 e^{i\pi} = 8(-1) = -8 ) 几何意义：将向量 ( z ) 旋转 ( \pi/3 ) 并伸长2倍，连续三次这样的操作（总旋转 ( \pi )，总伸长 ( 2^3=8 )），最终得到实数轴上的点 -8。

2. 复变函数的极限与连续性

2.1 极限的定义与计算

复变函数 ( f(z) ) 在 ( z_0 ) 处的极限定义为：当 ( z ) 以任意路径趋近于 ( z_0 ) 时，( f(z) ) 趋近于某个常数 ( L )。

例题2.1：求极限 ( \lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{z - i} )。

解： 直接代入会导致分母为零，因此需要因式分解： ( \frac{z^2 + 1}{z - i} = \frac{(z - i)(z + i)}{z - i} = z + i ) 因此，极限为 ( i + i = 2i )

2.2 连续性的判断

复变函数的连续性类似于实函数，但需要注意复数域的特性。

例题2.2：讨论函数 ( f(z) = \bar{z} ) 在 ( z=0 ) 处的连续性。

解： 设 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = x - iy ) 当 ( z \to 0 ) 时，( x \to 0, y \to 0 )，因此 ( f(z) \to 0 ) 所以函数在 ( z=0 ) 处连续。

3. 解析函数与柯西-黎曼方程

3.1 解析函数的定义

函数 ( f(z) ) 在区域 D 内解析，当且仅当它在 D 内处处可导。可导的条件是满足柯西-黎曼方程。

3.2 柯西-黎曼方程的应用

设 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )，则柯西-黎曼方程为： [ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} ] 且 ( u, v ) 的偏导数连续。

例题3.1：判断函数 ( f(z) = e^z ) 是否解析。

解： 令 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) ) 因此 ( u = e^x \cos y, v = e^x \sin y ) 计算偏导数： [ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y, \frac{\partial v}{\2024-10-17 16:00:00

高等数学复变函数习题解析：从基础到进阶的解题思路与技巧分享

引言

复变函数是高等数学中一个重要的分支，它将实数域上的微积分概念扩展到复数域。本文将从基础概念入手，逐步深入到进阶技巧，通过详细的习题解析，帮助读者掌握复变函数的核心解题思路。我们将涵盖复数的基本运算、复变函数的极限与连续性、解析函数、复积分以及留数定理等关键内容。

1. 复数的基本运算与几何表示

1.1 复数的表示方法

复数通常表示为 ( z = x + iy )，其中 ( x ) 和 ( y ) 是实数，( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。复数还有两种重要的表示形式：

• 代数形式：( z = x + iy )
• 三角形式：( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) )，其中 ( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ) 是模，( \theta = \arg(z) ) 是辐角。
• 指数形式：( z = re^{i\theta} )

例题1.1：将复数 ( z = 1 + i ) 转换为三角形式和指数形式。

解： 首先计算模：( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ) 辐角：( \theta = \arctan(¹⁄₁) = \pi/4 )（因为点在第一象限） 因此，三角形式为：( z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) ) 指数形式为：( z = \sqrt{2}e^{i\pi/4} )

1.2 复数的运算技巧

复数的加减乘除运算有其特定的规则，掌握这些规则可以简化计算。

乘法技巧：利用指数形式可以大大简化复数的乘法运算。 ( z_1 = r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2} ) 则 ( z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} )

例题1.2：计算 ( (1+i)^{10} )。

解： 利用指数形式：( 1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} ) 则 ( (1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4} = 2^5 e^{i5\pi/2} = 32 e^{i\pi/2} = 32i )

1.3 复数的几何意义

复数的加减对应于向量的加减，复数的乘法对应于旋转和伸缩。

例题1.3：设 ( z = 2e^{i\pi/3} )，求 ( z^3 ) 并解释其几何意义。

解： ( z^3 = 2^3 e^{i\pi} = 8(-1) = -8 ) 几何意义：将向量 ( z ) 旋转 ( \pi/3 ) 并伸长2倍，连续三次这样的操作（总旋转 ( \pi )，总伸长 ( 2^3=8 )），最终得到实数轴上的点 -8。

2. 复变函数的极限与连续性

2.1 极限的定义与计算

复变函数 ( f(z) ) 在 ( z_0 ) 处的极限定义为：当 ( z ) 以任意路径趋近于 ( z_0 ) 时，( f(z) ) 趋近于某个常数 ( L )。

例题2.1：求极限 ( \lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{z - i} )。

解： 直接代入会导致分母为零，因此需要因式分解： ( \frac{z^2 + 1}{z - i} = \frac{(z - i)(z + i)}{z - i} = z + i ) 因此，极限为 ( i + i = 2i )

2.2 连续性的判断

复变函数的连续性类似于实函数，但需要注意复数域的特性。

例题2.2：讨论函数 ( f(z) = \bar{z} ) 在 ( z=0 ) 处的连续性。

解： 设 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = x - iy ) 当 ( z \to 0 ) 时，( x \to 0, y \to 0 )，因此 ( f(z) \to 0 ) 所以函数在 ( z=0 ) 处连续。

3. 解析函数与柯西-黎曼方程

3.1 解析函数的定义

函数 ( f(z) ) 在区域 D 内解析，当且仅当它在 D 内处处可导。可导的条件是满足柯西-黎曼方程。

3.2 柯西-黎曼方程的应用

设 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )，则柯西-黎曼方程为： [ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} ] 且 ( u, v ) 的偏导数连续。

例题3.1：判断函数 ( f(z) = e^z ) 是否解析。

解： 令 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) ) 因此 ( u = e^x \cos y, v = e^x \sin y ) 计算偏导数： [ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y ] 验证柯西-黎曼方程： [ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y = \frac{\partial v}{\partial y} ] [ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y = -\frac{\partial v}{\partial x} ] 因此，( f(z) = e^z ) 在整个复平面上解析。

例题3.2：判断函数 ( f(z) = \bar{z} ) 是否解析。

解： 令 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = x - iy ) 因此 ( u = x, v = -y ) 计算偏导数： [ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0 ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1 ] 验证柯西-黎曼方程： [ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \neq \frac{\partial v}{\partial y} = -1 ] 因此，( f(z) = \bar{2024-10-17 16:00:00

高等数学复变函数习题解析：从基础到进阶的解题思路与技巧分享

引言

复变函数是高等数学中一个重要的分支，它将实数域上的微积分概念扩展到复数域。本文将从基础概念入手，逐步深入到进阶技巧，通过详细的习题解析，帮助读者掌握复变函数的核心解题思路。我们将涵盖复数的基本运算、复变函数的极限与连续性、解析函数、复积分以及留数定理等关键内容。

1. 复数的基本运算与几何表示

1.1 复数的表示方法

复数通常表示为 ( z = x + iy )，其中 ( x ) 和 ( y ) 是实数，( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。复数还有两种重要的表示形式：

• 代数形式：( z = x + iy )
• 三角形式：( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) )，其中 ( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ) 是模，( \theta = \arg(z) ) 是辐角。
• 指数形式：( z = re^{i\theta} )

例题1.1：将复数 ( z = 1 + i ) 转换为三角形式和指数形式。

解： 首先计算模：( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ) 辐角：( \theta = \arctan(¹⁄₁) = \pi/4 )（因为点在第一象限） 因此，三角形式为：( z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) ) 指数形式为：( z = \sqrt{2}e^{i\pi/4} )

1.2 复数的运算技巧

复数的加减乘除运算有其特定的规则，掌握这些规则可以简化计算。

乘法技巧：利用指数形式可以大大简化复数的乘法运算。 ( z_1 = r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2} ) 则 ( z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} )

例题1.2：计算 ( (1+i)^{10} )。

解： 利用指数形式：( 1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} ) 则 ( (1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4} = 2^5 e^{i5\pi/2} = 32 e^{i\pi/2} = 32i )

1.3 复数的几何意义

复数的加减对应于向量的加减，复数的乘法对应于旋转和伸缩。

例题1.3：设 ( z = 2e^{i\pi/3} )，求 ( z^3 ) 并解释其几何意义。

解： ( z^3 = 2^3 e^{i\pi} = 8(-1) = -8 ) 几何意义：将向量 ( z ) 旋转 ( \pi/3 ) 并伸长2倍，连续三次这样的操作（总旋转 ( \pi )，总伸长 ( 2^3=8 )），最终得到实数轴上的点 -8。

2. 复变函数的极限与连续性

2.1 极限的定义与计算

复变函数 ( f(z) ) 在 ( z_0 ) 处的极限定义为：当 ( z ) 以任意路径趋近于 ( z_0 ) 时，( f(z) ) 趋近于某个常数 ( L )。

例题2.1：求极限 ( \lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{z - i} )。

解： 直接代入会导致分母为零，因此需要因式分解： ( \frac{z^2 + 1}{z - i} = \frac{(z - i)(z + i)}{z - i} = z + i ) 因此，极限为 ( i + i = 2i )

2.2 连续性的判断

复变函数的连续性类似于实函数，但需要注意复数域的特性。

例题2.2：讨论函数 ( f(z) = \bar{z} ) 在 ( z=0 ) 处的连续性。

解： 设 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = x - iy ) 当 ( z \to 0 ) 时，( x \to 0, y \to 0 )，因此 ( f(z) \to 0 ) 所以函数在 ( z=0 ) 处连续。

3. 解析函数与柯西-黎曼方程

3.1 解析函数的定义

函数 ( f(z) ) 在区域 D 内解析，当且仅当它在 D 内处处可导。可导的条件是满足柯西-黎曼方程。

3.2 柯西-黎曼方程的应用

设 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )，则柯西-黎曼方程为： [ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} ] 且 ( u, v ) 的偏导数连续。

例题3.1：判断函数 ( f(z) = e^z ) 是否解析。

解： 令 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) ) 因此 ( u = e^x \cos y, v = e^x \sin y ) 计算偏导数： [ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y ] 验证柯西-黎曼方程： [ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y = \frac{\partial v}{\partial y} ] [ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y = -\frac{\partial v}{\partial x} ] 因此，( f(z) = e^z ) 在整个复平面上解析。

例题3.2：判断函数 ( f(z) = \bar{z} ) 是否解析。

解： 令 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = x - iy ) 因此 ( u = x, v = -y ) 计算偏导数： [ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0 ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1 ] 验证柯西-黎曼方程： [ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \neq \frac{\partial v}{\partial y} = -1 ] 因此，( f(z) = \bar{z} ) 在复平面上处处不解析。

4. 复积分与柯西积分定理

4.1 复积分的基本概念

复积分 ( \int_C f(z) dz ) 是沿复平面上一条曲线 C 的积分。其计算可以通过参数化曲线进行。

例题4.1：计算积分 ( \int_C \bar{z} dz )，其中 C 是从 0 到 1+i 的直线段。

解： 参数化曲线：( z(t) = t + it )，( t ) 从 0 到 1。 则 ( dz = (1+i) dt )，( \bar{z} = t - it ) 积分： [ \int_C \bar{z} dz = \int_0^1 (t - it)(1+i) dt = \int_0^1 (t(1+i) - it(1+i)) dt ] 简化： [ = \int_0^1 (t + it - it + t) dt = \int_0^1 2t dt = [t^2]_0^1 = 1 ]

4.2 柯西积分定理

柯西积分定理指出：如果函数 f(z) 在单连通区域 D 内解析，且 C 是 D 内任意闭合曲线，则 ( \oint_C f(z) dz = 0 )。

例题4.2：计算 ( \oint_C \frac{e^z}{z} dz )，其中 C 是单位圆 ( |z|=1 ) 正向。

解： 函数 ( f(z) = \frac{e^z}{z} ) 在 z=0 处不解析（奇点），因此不能直接应用柯西积分定理。但可以使用柯西积分公式： [ \oint_C \frac{e^z}{z} dz = 2\pi i \cdot e^0 = 2\pi i ]

5. 留数定理及其应用

5.1 留数的定义与计算

函数 f(z) 在孤立奇点 ( z_0 ) 处的留数定义为： [ \text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz ] 其中 C 是围绕 ( z_0 ) 的小圆周。

对于极点，留数可以通过以下公式计算：

• 一阶极点：( \text{Res}(f, z0) = \lim{z \to z_0} (z - z_0) f(z) )
• m阶极点：( \text{Res}(f, z0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z - z_0)^m f(z)] )

例题5.1：求函数 ( f(z) = \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2} ) 在奇点处的留数。

解： 奇点：z=1（一阶极点），z=-2（二阶极点） 在 z=1 处： [ \text{Res}(f, 1) = \lim{z \to 1} (z-1) \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2} = \lim{z \to 1} \frac{z^2}{(z+2)^2} = \frac{1}{9} ] 在 z=-2 处： [ \text{Res}(f, -2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim{z \to -2} \frac{d}{dz} [(z+2)^2 \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2}] = \lim{z \to -2} \frac{d}{dz} \frac{z^2}{z-1} ] 计算导数： [ \frac{d}{dz} \frac{z^2}{z-1} = \frac{2z(z-1) - z^2}{(z-1)^2} = \frac{2z^2 - 2z - z^2}{(z-1)^2} = \frac{z^2 - 2z}{(z-1)^2} ] 代入 z=-2： [ \frac{(-2)^2 - 2(-2)}{(-2-1)^2} = \frac{4 + 4}{9} = \frac{8}{9} ] 因此，留数分别为 ( \frac{1}{9} ) 和 ( \frac{8}{9} )。

5.2 留数定理的应用

留数定理：设函数 f(z) 在闭合曲线 C 内除有限个孤立奇点外解析，则： [ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) ]

例题5.2：计算积分 ( \oint_{|z|=2} \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2} dz )。

解： 被积函数在 |z|=2 内有两个奇点：z=1 和 z=-2。 根据留数定理： [ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \left( \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, -2) \right) = 2\pi i \left( \frac{1}{9} + \frac{8}{9} \right) = 2\pi i ]

6. 进阶技巧与综合应用

6.1 利用对称性简化计算

在计算复积分时，利用对称性可以大大简化计算。

例题6.1：计算 ( \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^2 + 1} )。

解： 被积函数在单位圆内有两个奇点：( z = i ) 和 ( z = -i )。 分别计算留数： 在 z=i 处： [ \text{Res}(f, i) = \lim{z \to i} (z-i) \frac{1}{z^2+1} = \lim{z \to i} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{2i} ] 在 z=-i 处： [ \text{Res}(f, -i) = \lim{z \to -i} (z+i) \frac{1}{z^2+1} = \lim{z \to -i} \frac{1}{z-i} = \frac{1}{-2i} ] 因此，积分： [ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \left( \frac{1}{2i} + \frac{1}{-2i} \right) = 2\pi i \cdot 0 = 0 ]

6.2 实积分中的应用

复变函数理论可以用来计算某些实积分。

例题6.2：计算实积分 ( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 1} )。

解： 考虑复函数 ( f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} )，取上半圆周作为积分路径。 奇点：z=i（在上半平面），z=-i（在下半平面）。 在 z=i 处的留数：( \text{Res}(f, i) = \frac{1}{2i} ) 根据留数定理： [ \ointC f(z) dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi ] 当半径 R→∞ 时，半圆弧上的积分趋于0，因此： [ \int{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 1} = \pi ]

7. 常见错误与注意事项

7.1 柯西-黎曼方程的误用

错误示例：直接对 ( f(z) = \bar{z} ) 求导。 正确做法：必须先验证柯西-黎曼方程，再判断解析性。

7.2 留数计算的错误

错误示例：在高阶极点处直接使用一阶极点公式。 正确做法：必须根据极点的阶数选择合适的留数计算公式。

7.3 积分路径的选择

错误示例：在计算实积分时未考虑路径是否包含奇点。 正确做法：仔细分析奇点位置，选择合适的积分路径。

8. 总结与学习建议

复变函数的学习需要循序渐进：

1. 基础阶段：熟练掌握复数运算和表示方法
2. 中级阶段：深入理解解析函数和柯西-黎曼方程
3. 高级阶段：掌握复积分和留数定理的应用

建议通过大量练习来巩固理论知识，特别注意：

• 复数运算的技巧性
• 解析函数的判断方法
• 积分路径的选择策略
• 留数计算的准确性

通过系统学习和不断实践，复变函数的解题能力将得到显著提升。# 高等数学复变函数习题解析：从基础到进阶的解题思路与技巧分享

引言

复变函数是高等数学中一个重要的分支，它将实数域上的微积分概念扩展到复数域。本文将从基础概念入手，逐步深入到进阶技巧，通过详细的习题解析，帮助读者掌握复变函数的核心解题思路。我们将涵盖复数的基本运算、复变函数的极限与连续性、解析函数、复积分以及留数定理等关键内容。

1. 复数的基本运算与几何表示

1.1 复数的表示方法

复数通常表示为 ( z = x + iy )，其中 ( x ) 和 ( y ) 是实数，( i ) 是虚数单位，满足 ( i^2 = -1 )。复数还有两种重要的表示形式：

• 代数形式：( z = x + iy )
• 三角形式：( z = r(\cos\theta + i\sin\theta) )，其中 ( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} ) 是模，( \theta = \arg(z) ) 是辐角。
• 指数形式：( z = re^{i\theta} )

例题1.1：将复数 ( z = 1 + i ) 转换为三角形式和指数形式。

解： 首先计算模：( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ) 辐角：( \theta = \arctan(¹⁄₁) = \pi/4 )（因为点在第一象限） 因此，三角形式为：( z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) ) 指数形式为：( z = \sqrt{2}e^{i\pi/4} )

1.2 复数的运算技巧

复数的加减乘除运算有其特定的规则，掌握这些规则可以简化计算。

乘法技巧：利用指数形式可以大大简化复数的乘法运算。 ( z_1 = r_1e^{i\theta_1}, z_2 = r_2e^{i\theta_2} ) 则 ( z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} )

例题1.2：计算 ( (1+i)^{10} )。

解： 利用指数形式：( 1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} ) 则 ( (1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} e^{i10\pi/4} = 2^5 e^{i5\pi/2} = 32 e^{i\pi/2} = 32i )

1.3 复数的几何意义

复数的加减对应于向量的加减，复数的乘法对应于旋转和伸缩。

例题1.3：设 ( z = 2e^{i\pi/3} )，求 ( z^3 ) 并解释其几何意义。

解： ( z^3 = 2^3 e^{i\pi} = 8(-1) = -8 ) 几何意义：将向量 ( z ) 旋转 ( \pi/3 ) 并伸长2倍，连续三次这样的操作（总旋转 ( \pi )，总伸长 ( 2^3=8 )），最终得到实数轴上的点 -8。

2. 复变函数的极限与连续性

2.1 极限的定义与计算

复变函数 ( f(z) ) 在 ( z_0 ) 处的极限定义为：当 ( z ) 以任意路径趋近于 ( z_0 ) 时，( f(z) ) 趋近于某个常数 ( L )。

例题2.1：求极限 ( \lim_{z \to i} \frac{z^2 + 1}{z - i} )。

解： 直接代入会导致分母为零，因此需要因式分解： ( \frac{z^2 + 1}{z - i} = \frac{(z - i)(z + i)}{z - i} = z + i ) 因此，极限为 ( i + i = 2i )

2.2 连续性的判断

复变函数的连续性类似于实函数，但需要注意复数域的特性。

例题2.2：讨论函数 ( f(z) = \bar{z} ) 在 ( z=0 ) 处的连续性。

解： 设 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = x - iy ) 当 ( z \to 0 ) 时，( x \to 0, y \to 0 )，因此 ( f(z) \to 0 ) 所以函数在 ( z=0 ) 处连续。

3. 解析函数与柯西-黎曼方程

3.1 解析函数的定义

函数 ( f(z) ) 在区域 D 内解析，当且仅当它在 D 内处处可导。可导的条件是满足柯西-黎曼方程。

3.2 柯西-黎曼方程的应用

设 ( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) )，则柯西-黎曼方程为： [ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} ] 且 ( u, v ) 的偏导数连续。

例题3.1：判断函数 ( f(z) = e^z ) 是否解析。

解： 令 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) ) 因此 ( u = e^x \cos y, v = e^x \sin y ) 计算偏导数： [ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y ] 验证柯西-黎曼方程： [ \frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y = \frac{\partial v}{\partial y} ] [ \frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y = -\frac{\partial v}{\partial x} ] 因此，( f(z) = e^z ) 在整个复平面上解析。

例题3.2：判断函数 ( f(z) = \bar{z} ) 是否解析。

解： 令 ( z = x + iy )，则 ( f(z) = x - iy ) 因此 ( u = x, v = -y ) 计算偏导数： [ \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0 ] [ \frac{\partial v}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1 ] 验证柯西-黎曼方程： [ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \neq \frac{\partial v}{\partial y} = -1 ] 因此，( f(z) = \bar{z} ) 在复平面上处处不解析。

4. 复积分与柯西积分定理

4.1 复积分的基本概念

复积分 ( \int_C f(z) dz ) 是沿复平面上一条曲线 C 的积分。其计算可以通过参数化曲线进行。

例题4.1：计算积分 ( \int_C \bar{z} dz )，其中 C 是从 0 到 1+i 的直线段。

解： 参数化曲线：( z(t) = t + it )，( t ) 从 0 到 1。 则 ( dz = (1+i) dt )，( \bar{z} = t - it ) 积分： [ \int_C \bar{z} dz = \int_0^1 (t - it)(1+i) dt = \int_0^1 (t(1+i) - it(1+i)) dt ] 简化： [ = \int_0^1 (t + it - it + t) dt = \int_0^1 2t dt = [t^2]_0^1 = 1 ]

4.2 柯西积分定理

柯西积分定理指出：如果函数 f(z) 在单连通区域 D 内解析，且 C 是 D 内任意闭合曲线，则 ( \oint_C f(z) dz = 0 )。

例题4.2：计算 ( \oint_C \frac{e^z}{z} dz )，其中 C 是单位圆 ( |z|=1 ) 正向。

解： 函数 ( f(z) = \frac{e^z}{z} ) 在 z=0 处不解析（奇点），因此不能直接应用柯西积分定理。但可以使用柯西积分公式： [ \oint_C \frac{e^z}{z} dz = 2\pi i \cdot e^0 = 2\pi i ]

5. 留数定理及其应用

5.1 留数的定义与计算

函数 f(z) 在孤立奇点 ( z_0 ) 处的留数定义为： [ \text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C f(z) dz ] 其中 C 是围绕 ( z_0 ) 的小圆周。

对于极点，留数可以通过以下公式计算：

• 一阶极点：( \text{Res}(f, z0) = \lim{z \to z_0} (z - z_0) f(z) )
• m阶极点：( \text{Res}(f, z0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} [(z - z_0)^m f(z)] )

例题5.1：求函数 ( f(z) = \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2} ) 在奇点处的留数。

解： 奇点：z=1（一阶极点），z=-2（二阶极点） 在 z=1 处： [ \text{Res}(f, 1) = \lim{z \to 1} (z-1) \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2} = \lim{z \to 1} \frac{z^2}{(z+2)^2} = \frac{1}{9} ] 在 z=-2 处： [ \text{Res}(f, -2) = \frac{1}{(2-1)!} \lim{z \to -2} \frac{d}{dz} [(z+2)^2 \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2}] = \lim{z \to -2} \frac{d}{dz} \frac{z^2}{z-1} ] 计算导数： [ \frac{d}{dz} \frac{z^2}{z-1} = \frac{2z(z-1) - z^2}{(z-1)^2} = \frac{2z^2 - 2z - z^2}{(z-1)^2} = \frac{z^2 - 2z}{(z-1)^2} ] 代入 z=-2： [ \frac{(-2)^2 - 2(-2)}{(-2-1)^2} = \frac{4 + 4}{9} = \frac{8}{9} ] 因此，留数分别为 ( \frac{1}{9} ) 和 ( \frac{8}{9} )。

5.2 留数定理的应用

留数定理：设函数 f(z) 在闭合曲线 C 内除有限个孤立奇点外解析，则： [ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) ]

例题5.2：计算积分 ( \oint_{|z|=2} \frac{z^2}{(z-1)(z+2)^2} dz )。

解： 被积函数在 |z|=2 内有两个奇点：z=1 和 z=-2。 根据留数定理： [ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \left( \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, -2) \right) = 2\pi i \left( \frac{1}{9} + \frac{8}{9} \right) = 2\pi i ]

6. 进阶技巧与综合应用

6.1 利用对称性简化计算

在计算复积分时，利用对称性可以大大简化计算。

例题6.1：计算 ( \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z^2 + 1} )。

解： 被积函数在单位圆内有两个奇点：( z = i ) 和 ( z = -i )。 分别计算留数： 在 z=i 处： [ \text{Res}(f, i) = \lim{z \to i} (z-i) \frac{1}{z^2+1} = \lim{z \to i} \frac{1}{z+i} = \frac{1}{2i} ] 在 z=-i 处： [ \text{Res}(f, -i) = \lim{z \to -i} (z+i) \frac{1}{z^2+1} = \lim{z \to -i} \frac{1}{z-i} = \frac{1}{-2i} ] 因此，积分： [ \oint_C f(z) dz = 2\pi i \left( \frac{1}{2i} + \frac{1}{-2i} \right) = 2\pi i \cdot 0 = 0 ]

6.2 实积分中的应用

复变函数理论可以用来计算某些实积分。

例题6.2：计算实积分 ( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 1} )。

解： 考虑复函数 ( f(z) = \frac{1}{z^2 + 1} )，取上半圆周作为积分路径。 奇点：z=i（在上半平面），z=-i（在下半平面）。 在 z=i 处的留数：( \text{Res}(f, i) = \frac{1}{2i} ) 根据留数定理： [ \ointC f(z) dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi ] 当半径 R→∞ 时，半圆弧上的积分趋于0，因此： [ \int{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2 + 1} = \pi ]

7. 常见错误与注意事项

7.1 柯西-黎曼方程的误用

错误示例：直接对 ( f(z) = \bar{z} ) 求导。 正确做法：必须先验证柯西-黎曼方程，再判断解析性。

7.2 留数计算的错误

错误示例：在高阶极点处直接使用一阶极点公式。 正确做法：必须根据极点的阶数选择合适的留数计算公式。

7.3 积分路径的选择

错误示例：在计算实积分时未考虑路径是否包含奇点。 正确做法：仔细分析奇点位置，选择合适的积分路径。

8. 总结与学习建议

复变函数的学习需要循序渐进：

1. 基础阶段：熟练掌握复数运算和表示方法
2. 中级阶段：深入理解解析函数和柯西-黎曼方程
3. 高级阶段：掌握复积分和留数定理的应用

建议通过大量练习来巩固理论知识，特别注意：

• 复数运算的技巧性
• 解析函数的判断方法
• 积分路径的选择策略
• 留数计算的准确性

通过系统学习和不断实践，复变函数的解题能力将得到显著提升。