高等数学函数极限计算七种未定式技巧详解与实例分析

引言

在高等数学的学习中，函数极限计算是微积分的基础和核心内容。未定式极限作为极限计算中的难点和重点，一直是学生和工程师们关注的焦点。未定式是指当自变量趋于某一点时，函数表达式呈现出不确定的形式，如0/0、∞/∞等，这些形式不能直接通过代入法求得极限值，需要借助特定的数学技巧进行转化和计算。

本文将详细解析高等数学中常见的七种未定式类型：0/0型、∞/∞型、0·∞型、∞-∞型、1^∞型、0^0型和∞^0型，并针对每种类型提供详细的解题技巧、完整的计算过程和实际应用实例。通过系统学习这些技巧，读者将能够熟练掌握未定式极限的计算方法，为后续的微积分学习和实际应用打下坚实基础。

一、0/0型未定式

1.1 基本概念与识别

0/0型未定式是最常见和基础的未定式类型。当函数极限lim(x→a) f(x)/g(x)中，分子f(x)和分母g(x)都趋于0时，就形成了0/0型未定式。这种形式看似简单，但直接代入无法得到确定结果，需要通过数学变换转化为可计算的形式。

1.2 主要解题技巧

技巧1：因式分解法

当分子或分母是多项式时，可以通过因式分解消去导致0/0的公因式。

实例1： 计算 lim(x→1) (x²-1)/(x-1)

解题过程：

lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = lim(x→1) [(x-1)(x+1)]/(x-1)
                       = lim(x→1) (x+1)
                       = 2

技巧2：有理化法

当分子或分母含有根式时，可以通过有理化消去根式。

实例2： 计算 lim(x→0) (√(x+1)-1)/x

解题过程：

lim(x→0) (√(x+1)-1)/x = lim(x→0) [(√(x+1)-1)(√(x+1)+1)]/[x(√(x+1)+1)]
                       = lim(x→0) (x+1-1)/[x(√(x+1)+1)]
                       = lim(x→0) 1/(√(x+1)+1)
                       = 1/2

技巧3：洛必达法则

当函数满足条件时，可以直接使用洛必达法则：若lim(x→a) f(x)=0, lim(x→a) g(x)=0，且f’(x)/g’(x)的极限存在，则lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f’(x)/g’(x)。

实例3： 计算 lim(x→0) (sinx)/x

解题过程：

lim(x→0) (sinx)/x = lim(x→0) (cosx)/1 = 1

技巧4：等价无穷小替换

当x→0时，常用的等价无穷小有：sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, arctanx~x, 1-cosx~x²/2, ln(1+x)~x, e^x-1~x, (1+x)^a-1~ax等。

实例4： 计算 lim(x→0) (sin3x)/tan2x

解题过程：

lim(x→0) (sin3x)/tan2x = lim(x→0) (3x)/(2x) = 3/2

1.3 综合应用实例

实例5： 计算 lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x²

解题过程：

方法1：洛必达法则
lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x² = lim(x→0) (e^x - 1)/2x
                          = lim(x→0) e^x/2
                          = 1/2

方法2：泰勒展开
e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²)
所以 e^x - 1 - x = x²/2 + o(x²)
lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x² = lim(x→0) (x²/2 + o(x²))/x² = 1/2

二、∞/∞型未定式

2.1 基本概念与识别

∞/∞型未定式是指当x→a时，分子和分母都趋于无穷大的情况。这种类型在处理多项式、指数函数、对数函数的比值时经常出现。

2.2 主要解题技巧

技巧1：洛必达法则

对于∞/∞型，洛必达法则同样适用，但需要注意使用条件。

实例6： 计算 lim(x→∞) (x²+3x+2)/(2x²-x+1)

解题过程：

lim(x→∞) (x²+3x+2)/(2x²-x+1) = lim(x→∞) (2x+3)/(4x-1)
                              = lim(x→∞) 2/4 = 1/2

技巧2：抓大头法（提取最高次幂）

对于有理函数，分子分母同除以最高次幂。

实例7： 计算 lim(x→∞) (3x³+2x²+1)/(5x³-x+4)

解题过程：

lim(x→∞) (3x³+2x²+1)/(5x³-x+4) = lim(x→∞) (3 + 2/x + 1/x³)/(5 - 1/x² + 4/x³)
                                = 3/5

技巧3：指数对数法

对于指数函数和幂函数的组合，可以先取对数再计算。

实例8： 计算 lim(x→∞) x^a / e^x (a>0)

解题过程：

令 y = x^a / e^x
ln y = a ln x - x
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) (a ln x - x) = -∞
所以 lim(x→∞) y = e^{-∞} = 0

2.3 综合应用实例

实例9： 计算 lim(x→∞) (ln x)^100 / x^0.01

解题过程：

这是一个∞/∞型，使用洛必达法则：
lim(x→∞) (ln x)^100 / x^0.01 = lim(x→∞) 100(ln x)^99 * (1/x) / (0.01 x^{-0.99})
                             = lim(x→∞) 100(ln x)^99 / (0.01 x^{0.01})
                             = ...（继续使用洛必达法则）
经过100次求导后，分子变为常数，分母变为0.01^100 * x^{-0.99}，最终极限为0

三、0·∞型未定式

3.1 基本概念与识别

0·∞型未定式是指一个因子趋于0，另一个因子趋于无穷大，乘积形式为0·∞。这种类型需要转化为0/0或∞/∞型来计算。

3.2 主要解题技巧

技巧1：转化为0/0型

将0·∞写成0/(1/∞)或∞/(¹⁄₀)形式。

实例10： 计算 lim(x→0+) x·ln x

解题过程：

lim(x→0+) x·ln x = lim(x→0+) ln x / (1/x)  [转化为∞/∞型]
                 = lim(x→0+) (1/x) / (-1/x²)  [洛必达法则]
                 = lim(x→0+) (-x) = 0

技巧2：转化为∞/∞型

将0·∞写成∞/(¹⁄₀)形式。

实例11： 计算 lim(x→∞) (1/x)·arctan x

解题过程：

lim(x→∞) (1/x)·arctan x = lim(x→∞) arctan x / x  [转化为∞/∞型]
                        = lim(x→∞) (1/(1+x²)) / 1  [洛必达法则]
                        = 0

3.3 综合应用实例

实例12： 计算 lim(x→0+) x^a·ln x (a>0)

解题过程：

lim(x→0+) x^a·ln x = lim(x→0+) ln x / x^{-a}  [转化为∞/∞型]
                   = lim(x→0+) (1/x) / (-a x^{-a-1})  [洛必达法则]
                   = lim(x→0+) -x^a / a = 0

四、∞-∞型未定式

4.1 基本概念与识别

∞-∞型未定式是指两个趋于无穷大的量相减，结果不确定。这种类型通常需要通分、有理化或提取公因式转化为0/0或∞/∞型。

4.2 主要解题技巧

技巧1：通分法

将两个无穷大相减转化为一个分式。

实例13： 计算 lim(x→1) (1/(1-x)) - (3/(1-x³))

解题过程：

lim(x→1) [1/(1-x) - 3/(1-x³)] = lim(x→1) [(1-x²) - 3]/(1-x³)
                              = lim(x→1) (1-x²-3)/(1-x³)
                              = lim(x→1) (-x²-2)/(1-x³)
                              = -3/0 → -∞

技巧2：有理化法

当表达式含有根式时，通过有理化转化。

实例14： 计算 lim(x→∞) (√(x²+1) - x)

解题过程：

lim(x→∞) (√(x²+1) - x) = lim(x→∞) [(√(x²+1) - x)(√(x²+1) + x)]/(√(x²+1) + x)
                        = lim(x→∞) (x²+1 - x²)/(√(x²+1) + x)
                        = lim(x→∞) 1/(√(x²+1) + x)
                        = 0

技巧3：提取公因式法

从两个无穷大中提取最大公因式。

实例15： 计算 lim(x→∞) (√(x²+1) - √(x²-1))

解题过程：

lim(x→∞) (√(x²+1) - ∅(x²-1)) = lim(x→∞) [(x²+1) - (x²-1)]/(√(x²+1) + √(x²-1))
                              = lim(x→∞) 2/(√(x型+1) + √(x²-1)) = 0

4.3 综合应用实例

实例16： 计算 lim(x→0+) (cot x - 1/x)

解题过程：

lim(x→0+) (cot x - 1/x) = lim(x→0+) (cosx/sinx - 1/x)
                        = lim(x→0+) (x cosx - sinx)/(x sinx)
                        = lim(x->0+) (cosx - x sinx - cosx)/(sinx + x cosx)  [洛必达法则]
                        = lim(x→0+) (-x sinx)/(sinx + x cosx)
                        = lim(x→0+) (-x)/(1 + x cotx) = 0

五、1^∞型未定式

5.1 基本概念与重要公式

1^∞型未定式是指底数趋于1，指数趋于无穷大的形式。这是非常重要且常见的未定式，其标准极限公式为：

lim(x→a) [1 + u(x)]^{v(x)} = e^{lim(x→a) u(x)·v(x)}，其中u(x)→0, v(x)→∞

5.2 主要解题技巧

技巧1：利用标准公式

直接套用1^∞型的标准极限公式。

实例17： 计算 lim(x→∞) (1 + 1/x)^x

解题过程：

lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e^{lim(x→∞) (1/x)·x} = e^1 = e

技巧2：凑标准形式

将表达式转化为标准形式[1+u(x)]^{v(x)}。

实例18： 计算 lim(x→0) (sin x / x)^{1/x²}

解题过程：

令 y = (sin x / x)^{1/x²}
ln y = (1/x²) ln(sin x / x) = (1/x²) ln(1 + (sin x / x - 1))
当x→0时，sin x / x - 1 ~ -x²/6
所以 ln y ~ (1/x²)(-x²/6) = -1/6
因此 lim(x→0) y = e^{-1/6}

技巧3：取对数法

对于复杂表达式，先取对数转化为0·∞型。

实例19： 计算 lim(x→0) (tan x / x)^{1/x²}

解题过程：

令 y = (tan x / x)^{1/x²}
ln y = (1/x²) ln(tan x / x) = (1/x²) ln(1 + (tan x / x - 3))  [tan x / x - 1 ~ x²/3]
所以 ln y ~ (1/x²)(x²/3) = 1/3
因此 lim(x→0) y = e^{1/3}

5.3 综合应用实例

实例20： 计算 lim(x→0) [(1+x)^{1/x}]^{1/x}

解题过程：

lim(x→0) [(1+x)^{1/x}]^{1/x} = lim(x→0) (1+x)^{1/x²}
令 y = (1+x)^{1/x²}
ln y = (1/x²) ln(1+x) = (1/x²)·x = 1/x → ∞
所以 lim(x→0) y = e^{∞} = ∞

六、0^0型未定式

6.1 基本概念与识别

0^0型未定式是指底数趋于0，指数也趋于0的形式。这种类型相对少见，但处理起来需要特别小心。

6.2 主要解题技巧

技巧1：取对数转化为0·∞型

这是处理0^0型的标准方法。

实例21： 计算 lim(x→0+) x^x

解题过程：

令 y = x^x
ln y = x ln x
lim(x→0+) ln y = lim(x→0+) x ln x = 0  [0·∞型，前面已解]
所以 lim(x→0+) y = e^0 = 1

技巧2：转化为指数形式

将0^0写成e^{指数·ln(底数)}形式。

实例22： 计算 lim(x→0+) x^{x^x}

解题过程：

令 y = x^{x^x}
ln y = x^x ln x
lim(x→0+) ln y = lim(x→0+) x^x ln x
首先计算 lim(x→0+) x^x = 1
所以 lim(x→0+) ln y = 1·0 = 0
因此 lim(x→0+) y = e^0 = 1

6.3 综合应用实例

实例23： 计算 lim(x→0+) (sin x)^x

解题过程：

令 y = (sin x)^x
ln y = x ln(sin x) = x ln(1 + (sin x - 1)) ~ x·(sin x - 1)
当x→0时，sin x ~ x，所以 sin x - 1 ~ -1
所以 ln y ~ x·(-1) = -x → 0
因此 lim(x→0+) y = e^0 = 1

七、∞^0型未定式

7.1 基本概念与识别

∞^0型未定式是指底数趋于无穷大，指数趋于0的形式。这种类型也需要转化为0·∞型来处理。

7.2 主要解题技巧

技巧1：取对数转化为0·∞型

实例24： 计算 lim(x→∞) x^{1/x}

解题过程：

令 y = x^{1/x}
ln y = (1/x) ln x
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) (ln x)/x = 0  [∞/∞型，洛必达法则]
所以 lim(x→∞) y = e^0 = 1

技巧2：转化为指数形式

实例25： 计算 lim(x→∞) (x²+1)^{1/x}

解题过程：

令 y = (x²+1)^{1/x}
ln y = (1/x) ln(x²+1) = (1/x)·2ln x = 2(ln x)/x
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) 2(ln x)/x = 0
所以 lim(x→∞) y = e^0 = 1

7.3 综合应用实例

实例26： 计算 lim(x→∞) (x^2 + x)^{1/x}

解题过程：

令 y = (x^2 + x)^{1/x}
ln y = (1/x) ln(x^2 + x) = (1/x) ln[x(x+1)] = (1/x)(ln x + ln(x+1))
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) (ln x + ln(x+1))/x = 0
所以 lim(x→∞) y = e^0 = 1

八、综合实例与技巧总结

8.1 复杂未定式的综合处理

实例27： 计算 lim(x→0) [(1+x)^{1/x} - e]/x

解题过程：

这是一个0/0型，但分子包含1^∞型。
首先计算 lim(x→0) (1+x)^{1/x} = e
所以原式 = lim(x→0) [e·(1+x)^{1/x} - e]/x
         = e·lim(x→0) [(1+x)^{1/x} - 1]/x
令 t = (1+x)^{1/x} - 1，则 t → e-1
但更直接的方法是：
令 y = (1+x)^{1/x}
ln y = (1/x) ln(1+x) = (1/x)·x = 1
所以 y = e
原式 = lim(x→0) (e - e)/x = 0/0型
使用洛必达法则：
= lim(x→0) [-(1+x)^{1/x}·(1/x)·(1/(1+x)) + (1+x)^{1/x}·(-1/x²)·ln(1+x)] / 1
这个计算复杂，更好的方法是：
令 f(x) = (1+x)^{1/x}
f'(x) = f(x)·[ -ln(1+x)/x² + 1/[x(1+x)] ]
f'(0) = e·[0 + 1] = e
所以原式 = f'(0) = e

8.2 技巧总结表

未定式类型	主要转化方法	关键公式/技巧
0/0型	因式分解、有理化、洛必达、等价无穷小	洛必达法则、等价无穷小替换
∞/∞型	洛必达法则、抓大头法	最高次幂比较、洛必达法则
0·∞型	转化为0/0或∞/∞	ln x / (1/x) 或 1/x / ln x
∞-∞型	通分、有理化、提取公因式	分子有理化、通分合并
1^∞型	取对数转化为0·∞型	lim [1+u(x)]^{v(x)} = e^{lim u(x)·v(x)}
0^0型	取对数转化为0·∞型	y = a^b → ln y = b ln a
∞^0型	取对数转化为0·∞型	y = a^b → ln y = b ln a

8.3 常见错误与注意事项

洛必达法则滥用：必须验证是否为0/0或∞/∞型，且导数比的极限存在
等价无穷小误用：只能在乘除中使用，不能在加减中随意替换
忽略定义域：注意函数的定义域和极限存在的条件
计算错误：复杂的洛必达法则应用容易出错，建议结合泰勒展开验证

九、实际应用案例

9.1 物理学中的应用

在物理学中，未定式极限常用于计算瞬时速度、加速度等物理量。

实例28： 计算自由落体运动的瞬时速度

v = lim(Δt→0) [s(t+Δt) - s(t)]/Δt
  = lim(Δt→0) [½g(t+Δt)² - ½gt²]/Δt
  = lim(Δt→0) [½g(2tΔt + Δt²)]/Δt
  = lim(Δt→0) ½g(2t + Δt) = gt

9.2 经济学中的应用

在经济学中，边际成本、边际收益等概念都涉及未定式极限。

实例29： 计算边际成本

MC = lim(ΔQ→0) ΔC/ΔQ
   = lim(ΔQ→0) [C(Q+ΔQ) - C(Q)]/ΔQ
   = C'(Q)

9.3 工程学中的应用

在工程学中，未定式极限用于分析系统稳定性和信号处理。

实例30： RC电路的时间常数计算

τ = RC
当t→0时，电容器充电过程：
V(t) = V₀(1 - e^{-t/RC})
电流 I(t) = (V₀/RC)e^{-t/R}
当t→0时，I(0) = V₀/RC
这个极限计算确保了电路设计的合理性

十、学习建议与进阶技巧

10.1 系统学习路径

基础阶段：熟练掌握0/0和∞/∞型，这是所有未定式的基础
进阶阶段：掌握0·∞和∞-∞型，学会转化技巧
高级阶段：掌握幂指函数型（1^∞, 0^0, ∞^0），熟练运用取对数法
综合阶段：处理复杂表达式，结合多种技巧

10.2 高级技巧

泰勒展开法

对于复杂函数，泰勒展开是强大的工具：

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ...
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...

实例31： 计算 lim(x→0) (e^x - 1 - x - x²/2)/x³

解题过程：

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)
所以 e^x - 1 - x - x²/2 = x³/6 + o(x³)
lim(x→0) (e^x - 1 - x - x²/2)/x³ = 1/6

积分上限函数法

对于某些极限，可以转化为积分上限函数的导数：

lim(x→a) [∫ₐˣ f(t) dt]/(x-a) = f(a)

10.3 练习建议

分类练习：按未定式类型分别练习，掌握每种类型的特征
一题多解：同一题目尝试多种方法，比较优劣
错题分析：记录错误原因，避免重复犯错
实际应用：结合专业背景，理解极限的实际意义

结语

未定式极限计算是高等数学的重要基础，掌握七种未定式的计算技巧对于深入学习微积分至关重要。本文详细介绍了每种未定式的特征、解题方法和典型实例，希望读者能够通过系统学习和大量练习，熟练掌握这些技巧。

记住，数学学习的关键在于理解和应用。建议读者在掌握基本方法后，多做练习题，特别是综合性题目，这样才能真正融会贯通。同时，要注意不同方法的适用条件和局限性，培养严谨的数学思维。

最后，极限计算不仅是数学工具，更是科学思维的体现。通过极限思想，我们能够从有限认识无限，从近似认识精确，这是数学之美所在。# 高等数学函数极限计算七种未定式技巧详解与实例分析

引言

一、0/0型未定式

1.1 基本概念与识别

1.2 主要解题技巧

技巧1：因式分解法

当分子或分母是多项式时，可以通过因式分解消去导致0/0的公因式。

实例1： 计算 lim(x→1) (x²-1)/(x-1)

解题过程：

lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = lim(x→1) [(x-1)(x+1)]/(x-1)
                       = lim(x→1) (x+1)
                       = 2

技巧2：有理化法

当分子或分母含有根式时，可以通过有理化消去根式。

实例2： 计算 lim(x→0) (√(x+1)-1)/x

解题过程：

lim(x→0) (√(x+1)-1)/x = lim(x→0) [(√(x+1)-1)(√(x+1)+1)]/[x(√(x+1)+1)]
                       = lim(x→0) (x+1-1)/[x(√(x+1)+1)]
                       = lim(x→0) 1/(√(x+1)+1)
                       = 1/2

技巧3：洛必达法则

当函数满足条件时，可以直接使用洛必达法则：若lim(x→a) f(x)=0, lim(x→a) g(x)=0，且f’(x)/g’(x)的极限存在，则lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f’(x)/g’(x)。

实例3： 计算 lim(x→0) (sinx)/x

解题过程：

lim(x→0) (sinx)/x = lim(x→0) (cosx)/1 = 1

技巧4：等价无穷小替换

当x→0时，常用的等价无穷小有：sinx~x, tanx~x, arcsinx~x, arctanx~x, 1-cosx~x²/2, ln(1+x)~x, e^x-1~x, (1+x)^a-1~ax等。

实例4： 计算 lim(x→0) (sin3x)/tan2x

解题过程：

lim(x→0) (sin3x)/tan2x = lim(x→0) (3x)/(2x) = 3/2

1.3 综合应用实例

实例5： 计算 lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x²

解题过程：

方法1：洛必达法则
lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x² = lim(x→0) (e^x - 1)/2x
                          = lim(x→0) e^x/2
                          = 1/2

方法2：泰勒展开
e^x = 1 + x + x²/2 + o(x²)
所以 e^x - 1 - x = x²/2 + o(x²)
lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x² = lim(x→0) (x²/2 + o(x²))/x² = 1/2

二、∞/∞型未定式

2.1 基本概念与识别

∞/∞型未定式是指当x→a时，分子和分母都趋于无穷大的情况。这种类型在处理多项式、指数函数、对数函数的比值时经常出现。

2.2 主要解题技巧

技巧1：洛必达法则

对于∞/∞型，洛必达法则同样适用，但需要注意使用条件。

实例6： 计算 lim(x→∞) (x²+3x+2)/(2x²-x+1)

解题过程：

lim(x→∞) (x²+3x+2)/(2x²-x+1) = lim(x→∞) (2x+3)/(4x-1)
                              = lim(x→∞) 2/4 = 1/2

技巧2：抓大头法（提取最高次幂）

对于有理函数，分子分母同除以最高次幂。

实例7： 计算 lim(x→∞) (3x³+2x²+1)/(5x³-x+4)

解题过程：

lim(x→∞) (3x³+2x²+1)/(5x³-x+4) = lim(x→∞) (3 + 2/x + 1/x³)/(5 - 1/x² + 4/x³)
                                = 3/5

技巧3：指数对数法

对于指数函数和幂函数的组合，可以先取对数再计算。

实例8： 计算 lim(x→∞) x^a / e^x (a>0)

解题过程：

令 y = x^a / e^x
ln y = a ln x - x
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) (a ln x - x) = -∞
所以 lim(x→∞) y = e^{-∞} = 0

2.3 综合应用实例

实例9： 计算 lim(x→∞) (ln x)^100 / x^0.01

解题过程：

这是一个∞/∞型，使用洛必达法则：
lim(x→∞) (ln x)^100 / x^0.01 = lim(x→∞) 100(ln x)^99 * (1/x) / (0.01 x^{-0.99})
                             = lim(x→∞) 100(ln x)^99 / (0.01 x^{0.01})
                             = ...（继续使用洛必达法则）
经过100次求导后，分子变为常数，分母变为0.01^100 * x^{-0.99}，最终极限为0

三、0·∞型未定式

3.1 基本概念与识别

0·∞型未定式是指一个因子趋于0，另一个因子趋于无穷大，乘积形式为0·∞。这种类型需要转化为0/0或∞/∞型来计算。

3.2 主要解题技巧

技巧1：转化为0/0型

将0·∞写成0/(1/∞)或∞/(¹⁄₀)形式。

实例10： 计算 lim(x→0+) x·ln x

解题过程：

lim(x→0+) x·ln x = lim(x→0+) ln x / (1/x)  [转化为∞/∞型]
                 = lim(x→0+) (1/x) / (-1/x²)  [洛必达法则]
                 = lim(x→0+) (-x) = 0

技巧2：转化为∞/∞型

将0·∞写成∞/(¹⁄₀)形式。

实例11： 计算 lim(x→∞) (1/x)·arctan x

解题过程：

lim(x→∞) (1/x)·arctan x = lim(x→∞) arctan x / x  [转化为∞/∞型]
                        = lim(x→∞) (1/(1+x²)) / 1  [洛必达法则]
                        = 0

3.3 综合应用实例

实例12： 计算 lim(x→0+) x^a·ln x (a>0)

解题过程：

lim(x→0+) x^a·ln x = lim(x→0+) ln x / x^{-a}  [转化为∞/∞型]
                   = lim(x→0+) (1/x) / (-a x^{-a-1})  [洛必达法则]
                   = lim(x→0+) -x^a / a = 0

四、∞-∞型未定式

4.1 基本概念与识别

∞-∞型未定式是指两个趋于无穷大的量相减，结果不确定。这种类型通常需要通分、有理化或提取公因式转化为0/0或∞/∞型。

4.2 主要解题技巧

技巧1：通分法

将两个无穷大相减转化为一个分式。

实例13： 计算 lim(x→1) (1/(1-x)) - (3/(1-x³))

解题过程：

lim(x→1) [1/(1-x) - 3/(1-x³)] = lim(x→1) [(1-x²) - 3]/(1-x³)
                              = lim(x→1) (1-x²-3)/(1-x³)
                              = lim(x→1) (-x²-2)/(1-x³)
                              = -3/0 → -∞

技巧2：有理化法

当表达式含有根式时，通过有理化转化。

实例14： 计算 lim(x→∞) (√(x²+1) - x)

解题过程：

lim(x→∞) (√(x²+1) - x) = lim(x→∞) [(√(x²+1) - x)(√(x²+1) + x)]/(√(x²+1) + x)
                        = lim(x→∞) (x²+1 - x²)/(√(x²+1) + x)
                        = lim(x→∞) 1/(√(x²+1) + x)
                        = 0

技巧3：提取公因式法

从两个无穷大中提取最大公因式。

实例15： 计算 lim(x→∞) (√(x²+1) - √(x²-1))

解题过程：

lim(x→∞) (√(x²+1) - √(x²-1)) = lim(x→∞) [(x²+1) - (x²-1)]/(√(x²+1) + √(x²-1))
                              = lim(x→∞) 2/(√(x²+1) + √(x²-1)) = 0

4.3 综合应用实例

实例16： 计算 lim(x→0+) (cot x - 1/x)

解题过程：

lim(x→0+) (cot x - 1/x) = lim(x→0+) (cosx/sinx - 1/x)
                        = lim(x→0+) (x cosx - sinx)/(x sinx)
                        = lim(x→0+) (cosx - x sinx - cosx)/(sinx + x cosx)  [洛必达法则]
                        = lim(x→0+) (-x sinx)/(sinx + x cosx)
                        = lim(x→0+) (-x)/(1 + x cotx) = 0

五、1^∞型未定式

5.1 基本概念与重要公式

1^∞型未定式是指底数趋于1，指数趋于无穷大的形式。这是非常重要且常见的未定式，其标准极限公式为：

lim(x→a) [1 + u(x)]^{v(x)} = e^{lim(x→a) u(x)·v(x)}，其中u(x)→0, v(x)→∞

5.2 主要解题技巧

技巧1：利用标准公式

直接套用1^∞型的标准极限公式。

实例17： 计算 lim(x→∞) (1 + 1/x)^x

解题过程：

lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e^{lim(x→∞) (1/x)·x} = e^1 = e

技巧2：凑标准形式

将表达式转化为标准形式[1+u(x)]^{v(x)}。

实例18： 计算 lim(x→0) (sin x / x)^{1/x²}

解题过程：

令 y = (sin x / x)^{1/x²}
ln y = (1/x²) ln(sin x / x) = (1/x²) ln(1 + (sin x / x - 1))
当x→0时，sin x / x - 1 ~ -x²/6
所以 ln y ~ (1/x²)(-x²/6) = -1/6
因此 lim(x→0) y = e^{-1/6}

技巧3：取对数法

对于复杂表达式，先取对数转化为0·∞型。

实例19： 计算 lim(x→0) (tan x / x)^{1/x²}

解题过程：

令 y = (tan x / x)^{1/x²}
ln y = (1/x²) ln(tan x / x) = (1/x²) ln(1 + (tan x / x - 1))  [tan x / x - 1 ~ x²/3]
所以 ln y ~ (1/x²)(x²/3) = 1/3
因此 lim(x→0) y = e^{1/3}

5.3 综合应用实例

实例20： 计算 lim(x→0) [(1+x)^{1/x}]^{1/x}

解题过程：

lim(x→0) [(1+x)^{1/x}]^{1/x} = lim(x→0) (1+x)^{1/x²}
令 y = (1+x)^{1/x²}
ln y = (1/x²) ln(1+x) = (1/x²)·x = 1/x → ∞
所以 lim(x→0) y = e^{∞} = ∞

六、0^0型未定式

6.1 基本概念与识别

0^0型未定式是指底数趋于0，指数也趋于0的形式。这种类型相对少见，但处理起来需要特别小心。

6.2 主要解题技巧

技巧1：取对数转化为0·∞型

这是处理0^0型的标准方法。

实例21： 计算 lim(x→0+) x^x

解题过程：

令 y = x^x
ln y = x ln x
lim(x→0+) ln y = lim(x→0+) x ln x = 0  [0·∞型，前面已解]
所以 lim(x→0+) y = e^0 = 1

技巧2：转化为指数形式

将0^0写成e^{指数·ln(底数)}形式。

实例22： 计算 lim(x→0+) x^{x^x}

解题过程：

令 y = x^{x^x}
ln y = x^x ln x
lim(x→0+) ln y = lim(x→0+) x^x ln x
首先计算 lim(x→0+) x^x = 1
所以 lim(x→0+) ln y = 1·0 = 0
因此 lim(x→0+) y = e^0 = 1

6.3 综合应用实例

实例23： 计算 lim(x→0+) (sin x)^x

解题过程：

令 y = (sin x)^x
ln y = x ln(sin x) = x ln(1 + (sin x - 1)) ~ x·(sin x - 1)
当x→0时，sin x ~ x，所以 sin x - 1 ~ -1
所以 ln y ~ x·(-1) = -x → 0
因此 lim(x→0+) y = e^0 = 1

七、∞^0型未定式

7.1 基本概念与识别

∞^0型未定式是指底数趋于无穷大，指数趋于0的形式。这种类型也需要转化为0·∞型来处理。

7.2 主要解题技巧

技巧1：取对数转化为0·∞型

实例24： 计算 lim(x→∞) x^{1/x}

解题过程：

令 y = x^{1/x}
ln y = (1/x) ln x
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) (ln x)/x = 0  [∞/∞型，洛必达法则]
所以 lim(x→∞) y = e^0 = 1

技巧2：转化为指数形式

实例25： 计算 lim(x→∞) (x²+1)^{1/x}

解题过程：

令 y = (x²+1)^{1/x}
ln y = (1/x) ln(x²+1) = (1/x)·2ln x = 2(ln x)/x
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) 2(ln x)/x = 0
所以 lim(x→∞) y = e^0 = 1

7.3 综合应用实例

实例26： 计算 lim(x→∞) (x^2 + x)^{1/x}

解题过程：

令 y = (x^2 + x)^{1/x}
ln y = (1/x) ln(x^2 + x) = (1/x) ln[x(x+1)] = (1/x)(ln x + ln(x+1))
lim(x→∞) ln y = lim(x→∞) (ln x + ln(x+1))/x = 0
所以 lim(x→∞) y = e^0 = 1

八、综合实例与技巧总结

8.1 复杂未定式的综合处理

实例27： 计算 lim(x→0) [(1+x)^{1/x} - e]/x

解题过程：

这是一个0/0型，但分子包含1^∞型。
首先计算 lim(x→0) (1+x)^{1/x} = e
所以原式 = lim(x→0) [e·(1+x)^{1/x} - e]/x
         = e·lim(x→0) [(1+x)^{1/x} - 1]/x
令 t = (1+x)^{1/x} - 1，则 t → e-1
但更直接的方法是：
令 y = (1+x)^{1/x}
ln y = (1/x) ln(1+x) = (1/x)·x = 1
所以 y = e
原式 = lim(x→0) (e - e)/x = 0/0型
使用洛必达法则：
= lim(x→0) [-(1+x)^{1/x}·(1/x)·(1/(1+x)) + (1+x)^{1/x}·(-1/x²)·ln(1+x)] / 1
这个计算复杂，更好的方法是：
令 f(x) = (1+x)^{1/x}
f'(x) = f(x)·[ -ln(1+x)/x² + 1/[x(1+x)] ]
f'(0) = e·[0 + 1] = e
所以原式 = f'(0) = e

8.2 技巧总结表

未定式类型	主要转化方法	关键公式/技巧
0/0型	因式分解、有理化、洛必达、等价无穷小	洛必达法则、等价无穷小替换
∞/∞型	洛必达法则、抓大头法	最高次幂比较、洛必达法则
0·∞型	转化为0/0或∞/∞	ln x / (1/x) 或 1/x / ln x
∞-∞型	通分、有理化、提取公因式	分子有理化、通分合并
1^∞型	取对数转化为0·∞型	lim [1+u(x)]^{v(x)} = e^{lim u(x)·v(x)}
0^0型	取对数转化为0·∞型	y = a^b → ln y = b ln a
∞^0型	取对数转化为0·∞型	y = a^b → ln y = b ln a

8.3 常见错误与注意事项

洛必达法则滥用：必须验证是否为0/0或∞/∞型，且导数比的极限存在
等价无穷小误用：只能在乘除中使用，不能在加减中随意替换
忽略定义域：注意函数的定义域和极限存在的条件
计算错误：复杂的洛必达法则应用容易出错，建议结合泰勒展开验证

九、实际应用案例

9.1 物理学中的应用

在物理学中，未定式极限常用于计算瞬时速度、加速度等物理量。

实例28： 计算自由落体运动的瞬时速度

v = lim(Δt→0) [s(t+Δt) - s(t)]/Δt
  = lim(Δt→0) [½g(t+Δt)² - ½gt²]/Δt
  = lim(Δt→0) [½g(2tΔt + Δt²)]/Δt
  = lim(Δt→0) ½g(2t + Δt) = gt

9.2 经济学中的应用

在经济学中，边际成本、边际收益等概念都涉及未定式极限。

实例29： 计算边际成本

MC = lim(ΔQ→0) ΔC/ΔQ
   = lim(ΔQ→0) [C(Q+ΔQ) - C(Q)]/ΔQ
   = C'(Q)

9.3 工程学中的应用

在工程学中，未定式极限用于分析系统稳定性和信号处理。

实例30： RC电路的时间常数计算

τ = RC
当t→0时，电容器充电过程：
V(t) = V₀(1 - e^{-t/RC})
电流 I(t) = (V₀/RC)e^{-t/RC}
当t→0时，I(0) = V₀/RC
这个极限计算确保了电路设计的合理性

十、学习建议与进阶技巧

10.1 系统学习路径

基础阶段：熟练掌握0/0和∞/∞型，这是所有未定式的基础
进阶阶段：掌握0·∞和∞-∞型，学会转化技巧
高级阶段：掌握幂指函数型（1^∞, 0^0, ∞^0），熟练运用取对数法
综合阶段：处理复杂表达式，结合多种技巧

10.2 高级技巧

泰勒展开法

对于复杂函数，泰勒展开是强大的工具：

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ...
ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ...

实例31： 计算 lim(x→0) (e^x - 1 - x - x²/2)/x³

解题过程：

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)
所以 e^x - 1 - x - x²/2 = x³/6 + o(x³)
lim(x→0) (e^x - 1 - x - x²/2)/x³ = 1/6

积分上限函数法

对于某些极限，可以转化为积分上限函数的导数：

lim(x→a) [∫ₐˣ f(t) dt]/(x-a) = f(a)

10.3 练习建议

分类练习：按未定式类型分别练习，掌握每种类型的特征
一题多解：同一题目尝试多种方法，比较优劣
错题分析：记录错误原因，避免重复犯错
实际应用：结合专业背景，理解极限的实际意义

结语

最后，极限计算不仅是数学工具，更是科学思维的体现。通过极限思想，我们能够从有限认识无限，从近似认识精确，这是数学之美所在。