引言：高数突击，策略先行

高等数学（Calculus）是许多理工科和经管类专业的基石，也是期末考试中“挂科率”较高的科目之一。面对厚厚的教材和有限的复习时间，“速成”并非不可能，但必须讲究策略。死记硬背公式是最低效的，掌握核心考点的逻辑脉络和解题技巧才是王道。

本篇文章将为你梳理高数（主要针对同济版或通用理工类高数）上、下册的核心考点，按照“概念理解 + 核心公式 + 解题套路 + 典型例题”的结构进行总结，助你考前突击，稳过及格线，冲击高分。

第一部分：函数、极限与连续（基础中的基础）

这一章是高数的基石，极限的计算贯穿始终。

1. 核心考点：极限的计算

考试必考，分值占比大。重点掌握以下几种类型：

A. 两个重要极限

  1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) （特征：0/0型，且分母为x的线性函数）
  2. \(\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e\) （特征：\(1^\infty\)型）

B. 未定式求值（洛必达法则）

这是最通用的“大招”。当极限形式为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 时，直接对分子分母分别求导。

  • 解题技巧：
    1. 先化简（因式分解、三角函数恒等变换、有理化）。
    2. 再求导。
    3. 若求导后仍为未定式，继续使用。

C. 等价无穷小替换（必考技巧）

当 \(x \to 0\) 时，常用的等价无穷小公式（背熟这组，能省一半计算量）：

  • \(x \sim x\)
  • \(\sin x \sim x\)
  • \(\tan x \sim x\)
  • \(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)
  • \(\ln(1+x) \sim x\)
  • \(e^x - 1 \sim x\)
  • \((1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x\)

注意：只能在乘除法中替换，加减法中慎用（除非两项是同阶无穷小）。

D. 夹逼准则（适用于 \(n\) 项和的极限）

如果 \(x_n\) 很难直接求极限，可以尝试将其放大和缩小，找到两个容易求极限的数列夹住它。

2. 典型例题

题目：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x}{x^2}\)

解题步骤：

  1. 判断类型：代入 \(x=0\)，分子 \(\ln(1)-0=0\)，分母 \(0\)，是 \(\frac{0}{0}\) 型。
  2. 方法选择：洛必达法则。
  3. 计算过程： $\( \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x} - 1}{2x} \)\( \)\( = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1+x)}{1+x}}{2x} \)\( \)\( = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x(1+x)} \)\( \)\( = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(1+x)} = -\frac{1}{2} \)$

第二部分：一元函数微分学（导数与应用）

导数是变化率，核心在于“求导”和“应用”。

1. 核心考点：求导法则

  • 基本公式：幂函数、指数、对数、三角函数的导数必须滚瓜烂熟。
  • 复合函数求导（链式法则）：由外向内，一层一层剥。
    • 例：\(y = \sin(x^2)\)，则 \(y' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x\cos(x^2)\)。
  • 隐函数求导：方程 \(F(x,y)=0\) 确定的 \(y\) 对 \(x\) 求导。
    • 技巧：把 \(y\) 看作 \(x\) 的函数，两边同时对 \(x\) 求导，遇到 \(y\) 就乘一个 \(y'\)，最后解出 \(y'\)。
  • 参数方程求导：
    • 公式：\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)。

2. 核心考点：中值定理（证明题重灾区）

  • 罗尔定理：如果 \(f(a)=f(b)\)，则在 \((a,b)\) 内至少有一点 \(\xi\) 使得 \(f'(\xi)=0\)。
  • 拉格朗日中值定理：\(f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)\)。
    • 技巧：证明题如果看到 \(f(b)-f(a)\)，通常构造辅助函数用拉格朗日定理。

3. 核心考点：导数的应用

  • 单调性与极值：
    • \(f'(x) > 0 \Rightarrow\) 单调增；\(f'(x) < 0 \Rightarrow\) 单调减。
    • 极值判别法：
      • 一阶导为0，二阶导大于0 \(\Rightarrow\) 极小值。
      • 一阶导为0，二阶导小于0 \(\Rightarrow\) 极大值。
  • 凹凸性与拐点：
    • \(f''(x) > 0 \Rightarrow\) 凹（开口向上，像碗）。
    • \(f''(x) < 0 \Rightarrow\) 凸（开口向下，像拱）。
  • 渐近线：
    • 水平渐近线：看 \(x \to \infty\) 时 \(y\) 的极限。
    • 铅直渐近线：看 \(x \to x_0\) 时 \(y \to \infty\)。

第三部分：一元函数积分学（高数的核心）

积分是微分的逆运算，计算量最大，技巧性最强。

1. 核心考点：不定积分（凑微分法是王道）

不定积分的计算，凑微分法（第一类换元法） 能解决 70% 的题目。

  • 核心口诀：看到 \(f(ax+b) dx\)，凑成 \(d(ax+b)\)。
  • 常见凑法：
    • \(e^x dx \rightarrow d(e^x)\)
    • \(\frac{1}{x} dx \rightarrow d(\ln x)\)
    • \(\cos x dx \rightarrow d(\sin x)\)
    • \(\frac{1}{1+x^2} dx \rightarrow d(\arctan x)\)

2. 核心考点：定积分

  • 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）：
    • \(\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\)。这是计算定积分的最直接方法。
  • 奇偶函数在对称区间上的积分：
    • 奇函数 \(\Rightarrow\) 积分结果为 0。
    • 偶函数 \(\Rightarrow\) 积分结果为 \(2 \int_0^a f(x) dx\)。
    • 技巧：拿到题目先看积分区间是否对称，函数是否奇偶，能瞬间出答案。

3. 核心考点：反常积分（广义积分）

  • 无穷限：\(\int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) dx\)。
  • 瑕点（间断点）：分母为0的点。
  • 判别法（比较判别法）：
    • \(\frac{1}{x^p}\) 在 \([1, +\infty)\) 收敛 \(\Leftrightarrow p > 1\)。
    • \(\frac{1}{x^p}\) 在 \((0, 1]\) 收敛 \(\Leftrightarrow p < 1\)。

4. 典型例题：定积分换元法

题目：计算 \(\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx\)

解题技巧（利用对称性）： 令 \(I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx\)。 利用公式 \(\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx\)。 则 \(I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x) + \cos(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx\)。

两式相加：\(2I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\pi/2} 1 dx = \frac{\pi}{2}\)。 所以 \(I = \frac{\pi}{4}\)。

第四部分：常微分方程（送分题）

微分方程通常是大题的第一道，必须拿满分。

1. 核心考点：一阶微分方程

  • 可分离变量方程：\(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)。
    • 解法：分离变量 \(\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx\)，两边积分。
  • 一阶线性微分方程：\(y' + P(x)y = Q(x)\)。
    • 通解公式（必背）： $\( y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right) \)$
    • 技巧：如果题目给的是 \(y' - 2y = e^x\)，直接套公式。

2. 核心考点：二阶常系数线性微分方程

  • 齐次方程：\(y'' + py' + qy = 0\)。
    • 写出特征方程 \(r^2 + pr + q = 0\)。
    • 根据根的情况写通解：
      • 两不等实根 \(r_1, r_2 \Rightarrow y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\)
      • 两相等实根 \(r \Rightarrow y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}\)
      • 一对共轭复根 \(\alpha \pm i\beta \Rightarrow y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)\)
  • 非齐次方程：\(y'' + py' + qy = f(x)\)。
    • 通解 = 齐次通解 + 特解。
    • 特解形式：
      • 若 \(f(x) = P_n(x)e^{ax}\)，特解设为 \(x^k A_n(x)e^{ax}\)。
      • \(k\) 的取值：\(a\) 不是特征根时 \(k=0\)；\(a\) 是特征根时，重数为几 \(k\) 就是几。

第五部分：多元函数微分学与重积分（下册重点）

下册内容多，但计算模式化强。

1. 核心考点：偏导数与全微分

  • 求偏导：对谁求导，就把谁看作变量，其余看作常数。
  • 二阶混合偏导：在连续条件下，求导顺序不影响结果（先x后y = 先y后x）。
  • 全微分公式：\(dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy\)。

2. 核心考点：二重积分（化二重积分为二次积分）

这是计算二重积分的必经之路。

  • 直角坐标系：
    • X型区域（穿针引线法：上下限是x的函数）： $\( \iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b dx \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) dy \)$
    • Y型区域（穿针引线法：左右限是y的函数）： $\( \iint_D f(x,y) dxdy = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) dx \)$
  • 极坐标系：
    • 适用范围：积分区域是圆、扇形、环，或者被积函数含 \(x^2+y^2\)。
    • 关键：面积元素 \(dxdy\) 变成 \(r dr d\theta\)。
    • 顺序通常是：先 \(r\) 后 \(\theta\)。

3. 典型例题：交换积分次序

题目：计算 \(\int_0^1 dx \int_x^1 e^{y^2} dy\)。 分析：直接计算 \(e^{y^2}\) 积不出来（原函数不是初等函数）。 技巧：必须交换积分次序。

  1. 画图：区域 \(D\) 是由 \(y=x, y=1, x=0\) 围成的三角形。
  2. 定限：
    • 原积分：\(x\) 从 \(0 \to 1\)，\(y\) 从 \(x \to 1\)（先 \(y\) 后 \(x\)）。
    • 交换后：\(y\) 从 \(0 \to 1\)，\(x\) 从 \(0 \to y\)（先 \(x\) 后 \(y\)）。
  3. 计算： $\( \int_0^1 dy \int_0^y e^{y^2} dx = \int_0^1 y e^{y^2} dy = \frac{1}{2} [e^{y^2}]_0^1 = \frac{1}{2}(e-1) \)$

第六部分：无穷级数（数二、数三必考，数一不考）

1. 核心考点：常数项级数敛散性判别

判别流程（做题顺序）：

  1. 看通项是否趋于0：\(\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0\) \(\Rightarrow\) 发散。
  2. 正项级数：
    • 看是否是 \(p\) 级数 (\(\frac{1}{n^p}\)) 或几何级数。
    • 比较判别法（找已知敛散性的级数对比）。
    • 比值判别法（通项含阶乘、幂次时最常用）：\(\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho\)。\(\rho < 1\) 收敛，\(\rho > 1\) 发散。
  3. 交错级数（正负交替）：
    • 满足两个条件：\(u_n\) 单调递减趋于0 \(\Rightarrow\) 收敛（且绝对收敛）。

2. 核心考点：幂级数

  • 收敛半径：
    • 公式：\(\rho = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|\)，则 \(R = \frac{1}{\rho}\)。
  • 泰勒展开（背公式）：
    • \(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)
    • \(\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\)
    • \(\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n\) （\(|x|<1\)）

第七部分：考前突击解题技巧总结（必看！）

  1. 选择题：特殊值法与排除法

    • 如果题目是抽象函数，求导数或积分，直接令 \(f(x) = x\) 或 \(f(x) = 1\)，算出结果看哪个选项符合。
    • 图形题：画个草图，看交点个数或面积大小，排除明显错误的选项。

  2. 大题：步骤分是救命稻草

    • 写公式给分：哪怕算不出最后结果，把相关的定义、公式、定理写上去，也能拿到2-3分。
    • 解、设、答：应用题（如最值问题）一定要写“解：设…为x”，最后写“答：…”。
    • 解微分方程：一定要写“通解为…”，不要只写一个特解（除非题目要求）。

  3. 检查重点

    • 不定积分：结果必须加常数 \(C\)！
    • 定积分：上下限代入时不要弄反符号（\(F(下) - F(上)\) 是错的，应该是 \(F(上) - F(下)\)）。
    • 求导：链式法则不要漏层。

  4. 心态调整

    • 遇到难题先跳过，不要死磕。高数考试时间紧，保证基础题（极限、求导、简单积分、微分方程）全对，比死磕一道难题划算得多。

结语

高等数学虽然抽象，但“计算”是其核心。考前突击阶段，不要过度纠结于复杂的证明过程（如拉格朗日中值定理的证明细节），而应将精力集中在“算得对、算得快”上。

把上述提到的公式背熟，典型例题的解题套路刻在脑子里。带上你的计算器（如果允许）、直尺和信心走进考场。祝你期末考试旗开得胜，高分飘过！