一、极限与连续
1.1 极限的概念与性质
- 概念：极限是高等数学中最为基础的概念之一，它描述了当自变量趋近于某一值时，函数值的变化趋势。
- 性质：极限的性质包括有界性、保号性、保序性等。
1.2 极限的计算
- 直接求极限：直接代入法、夹逼定理、洛必达法则等。
- 无穷小与无穷大：无穷小与无穷大的概念及其关系。
1.3 连续的概念与性质
- 概念：连续是函数在某一区间内无间断的性质。
- 性质：连续函数的保号性、介值定理等。
二、导数与微分
2.1 导数的概念与性质
- 概念：导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率。
- 性质：导数的线性性质、可导性、连续性等。
2.2 导数的计算
- 基本导数公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
- 复合函数求导：链式法则、乘法法则、除法法则等。
2.3 微分及其应用
- 概念：微分是导数的近似值。
- 应用：微分在近似计算、误差估计等方面的应用。
三、中值定理与导数的应用
3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理
- 罗尔定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且两端点的函数值相等，则至少存在一点，使得该点的导数为零。
- 拉格朗日中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得该点的导数等于区间端点函数值之比。
3.2 柯西中值定理与泰勒公式
- 柯西中值定理：若两个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且导数存在，则至少存在一点，使得两个函数导数的比等于区间端点函数值之比。
- 泰勒公式：泰勒公式是泰勒级数在一点处的展开式，可以用来近似计算函数值。
四、不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
- 概念：不定积分是原函数的全体。
- 性质：不定积分的线性性质、可导性等。
4.2 不定积分的计算
- 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分。
- 换元积分法：三角换元、反三角换元等。
- 分部积分法。
五、定积分
5.1 定积分的概念与性质
- 概念：定积分是函数在某一区间上的积分。
- 性质：定积分的线性性质、可积性等。
5.2 定积分的计算
- 基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的积分。
- 换元积分法：三角换元、反三角换元等。
- 分部积分法。
5.3 定积分的应用
- 几何应用：计算平面图形的面积、体积等。
- 物理应用：计算功、热量等。
六、级数
6.1 级数的基本概念与性质
- 概念：级数是无穷多个数按照一定的规律排列而成的序列。
- 性质：级数的收敛性、发散性等。
6.2 级数的求和
- 等差数列求和：等差数列的前n项和公式。
- 等比数列求和：等比数列的前n项和公式。
- 幂级数求和：幂级数的求和方法。
6.3 级数的应用
- 数学物理方程：级数在求解数学物理方程中的应用。
通过以上对高等数学上册期末必考重点的解析，相信同学们能够轻松掌握核心考点，高效备战期末考试。祝大家考试顺利！