引言

微分方程是高等数学的核心内容之一，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。它描述了变量之间的动态关系，帮助我们理解和预测系统的行为。本手册聚焦于一阶线性非齐次与齐次微分方程，以及二阶常系数微分方程的通解公式和特征方程求解技巧。我们将通过详细的公式推导、步骤说明和完整示例，帮助读者快速掌握这些知识点。手册内容基于标准高等数学教材，确保客观性和准确性，旨在作为速查工具，便于复习和应用。

在实际应用中，微分方程的求解往往需要结合初始条件，但本手册主要讨论通解（general solution），即包含任意常数的解。对于一阶方程，通解通常包含一个任意常数；对于二阶方程，则包含两个任意常数。我们强调特征方程的求解技巧，因为这是二阶常系数方程的关键。

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式为： [ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) ] 其中，(P(x)) 和 (Q(x)) 是已知函数。如果 (Q(x) = 0)，则为齐次方程；否则为非齐次方程。求解方法主要依赖积分因子或直接公式法。

1. 一阶线性齐次微分方程

齐次方程形式为： [ \frac{dy}{dx} + P(x)y = 0 ]

通解公式

[ y = C e^{-\int P(x) \, dx} ] 其中，(C) 是任意常数。

求解技巧

  • 直接分离变量：(\frac{dy}{y} = -P(x) \, dx)，然后两边积分。
  • 技巧：计算 (\int P(x) \, dx) 时，注意不定积分的结果包含常数，但常数可合并到 (C) 中。

完整示例

求解方程：(\frac{dy}{dx} + 2x y = 0)。

步骤：

  1. 识别 (P(x) = 2x)。
  2. 计算 (\int P(x) \, dx = \int 2x \, dx = x^2)（忽略常数）。
  3. 代入公式：(y = C e^{-x^2})。
  4. 验证：求导 (\frac{dy}{dx} = -2x C e^{-x^2})，代入原方程：(-2x C e^{-x^2} + 2x (C e^{-x^2}) = 0)，成立。

此解描述了高斯函数的衰减形式，常用于概率分布。

2. 一阶线性非齐次微分方程

非齐次方程形式为： [ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) ]

通解公式（积分因子法）

通解为： [ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) ] 其中，积分因子为 (\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx})。

求解技巧

  • 步骤：
    1. 计算积分因子 (\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx})。
    2. 两边乘以 (\mu(x))，方程变为 (\frac{d}{dx} (y \mu(x)) = Q(x) \mu(x))。
    3. 积分得 (y \mu(x) = \int Q(x) \mu(x) \, dx + C)。
    4. 解出 (y)。
  • 技巧：如果 (Q(x)) 是多项式、指数或三角函数，优先使用分部积分或已知积分公式。注意 (\int P(x) \, dx) 的计算要准确，避免遗漏符号。

完整示例

求解方程：(\frac{dy}{dx} + 2x y = x)（这里 (P(x)=2x, Q(x)=x)）。

步骤：

  1. 计算积分因子：(\mu(x) = e^{\int 2x \, dx} = e^{x^2})。
  2. 两边乘以 (\mu(x))：(e^{x^2} \frac{dy}{dx} + 2x e^{x^2} y = x e^{x^2})，即 (\frac{d}{dx} (y e^{x^2}) = x e^{x^2})。
  3. 积分右边：(\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C)（使用换元 (u=x^2, du=2x dx)）。
  4. 所以 (y e^{x^2} = \frac{1}{2} e^{x^2} + C)，解出 (y = \frac{1}{2} + C e^{-x^2})。
  5. 验证：求导 (\frac{dy}{dx} = -2x C e^{-x^2})，代入原方程：(-2x C e^{-x^2} + 2x (\frac{1}{2} + C e^{-x^2}) = x)，成立。

此解包含齐次解 (C e^{-x^2}) 和特解 (\frac{1}{2})，体现了非齐次方程的结构。

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数线性微分方程的标准形式为： [ a y” + b y’ + c y = f(x) ] 其中 (a, b, c) 是常数，(a \neq 0)。如果 (f(x) = 0)，则为齐次；否则为非齐次。求解核心是特征方程。

1. 二阶常系数齐次微分方程

齐次方程：(a y” + b y’ + c y = 0)。

特征方程求解技巧

  • 特征方程：(a r^2 + b r + c = 0)。
  • 求根公式：(r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。
  • 根据判别式 (\Delta = b^2 - 4ac) 分类：
    • (\Delta > 0)：两个不等实根 (r_1, r_2)，通解 (y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x})。
    • (\Delta = 0)：重根 (r)，通解 (y = (C_1 + C_2 x) e^{r x})。
    • (\Delta < 0)：共轭复根 (\alpha \pm i \beta)，通解 (y = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x))。
  • 技巧：先标准化方程（除以 (a)），确保特征方程系数正确。复根时，(\alpha = -\frac{b}{2a}, \beta = \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a})。

完整示例

求解方程：(y” - 3y’ + 2y = 0)。

步骤：

  1. 特征方程：(r^2 - 3r + 2 = 0)。
  2. 求根：((r-1)(r-2)=0)，根 (r_1=1, r_2=2)，(\Delta=9-8=1>0)。
  3. 通解：(y = C_1 e^x + C_2 e^{2x})。
  4. 验证：求导 (y’ = C_1 e^x + 2 C_2 e^{2x}), (y” = C_1 e^x + 4 C_2 e^{2x})，代入：((C_1 e^x + 4 C_2 e^{2x}) - 3(C_1 e^x + 2 C_2 e^{2x}) + 2(C_1 e^x + C_2 e^{2x}) = 0)，成立。

另一个示例（重根）：(y” - 2y’ + y = 0)。

  • 特征方程：(r^2 - 2r + 1 = 0)，根 (r=1)（重根）。
  • 通解：(y = (C_1 + C_2 x) e^x)。

另一个示例（复根）：(y” + y = 0)。

  • 特征方程：(r^2 + 1 = 0)，根 (r = \pm i)，(\alpha=0, \beta=1)。
  • 通解：(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x)。

2. 二阶常系数非齐次微分方程

非齐次方程：(a y” + b y’ + c y = f(x))。

通解公式

通解 = 齐次通解 (y_h) + 特解 (y_p)，即 (y = y_h + y_p)。

  • (y_h) 由特征方程求得，如上所述。
  • (y_p) 的求解依赖 (f(x)) 的形式，使用待定系数法或常数变易法。

特解求解技巧（待定系数法）

  • 如果 (f(x)) 是多项式、指数、正弦/余弦或其组合，假设 (y_p) 的形式与 (f(x)) 相似，但需调整以避免与 (y_h) 重复（乘以 (x^k)，其中 (k) 是重复次数）。
    • 多项式 (P_n(x))：假设 (y_p = Q_n(x))（同次多项式）。
    • 指数 (e^{\lambda x})：假设 (y_p = A e^{\lambda x})，如果 (\lambda) 是特征根，则乘以 (x) 或 (x^2)。
    • 正弦/余弦：假设 (y_p = A \cos \omega x + B \sin \omega x)，如果 (\pm i\omega) 是特征根，则乘以 (x)。
  • 技巧：先求 (y_h)，检查 (f(x)) 是否与 (y_h) 的基函数重合。代入原方程比较系数求解 (A, B) 等。
  • 替代方法：常数变易法，适用于一般 (f(x))，但计算复杂。

完整示例（多项式 (f(x))）

求解方程：(y” - 3y’ + 2y = x^2)。

步骤：

  1. 先求齐次解：如上，(y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x})。
  2. (f(x) = x^2) 是二次多项式，假设 (y_p = A x^2 + B x + C)。
  3. 求导：(y_p’ = 2A x + B), (y_p” = 2A)。
  4. 代入原方程：(2A - 3(2A x + B) + 2(A x^2 + B x + C) = x^2)。 展开：(2A - 6A x - 3B + 2A x^2 + 2B x + 2C = x^2)。 比较系数：
    • (x^2)：(2A = 1) → (A = \frac{1}{2})。
    • (x)：(-6A + 2B = 0) → (-3 + 2B = 0) → (B = \frac{3}{2})。
    • 常数：(2A - 3B + 2C = 0) → (1 - \frac{9}{2} + 2C = 0) → (2C = \frac{7}{2}) → (C = \frac{7}{4})。
  5. 所以 (y_p = \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x + \frac{7}{4})。
  6. 通解：(y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \frac{1}{2} x^2 + \frac{3}{2} x + \frac{7}{4})。
  7. 验证：求导代入，确保等式成立（略，读者可自行验证）。

完整示例（指数 (f(x))，与特征根重合）

求解方程：(y” - 3y’ + 2y = e^x)。

步骤：

  1. (y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x})。
  2. (f(x) = e^x)，(\lambda=1) 是特征根（单根），所以假设 (y_p = A x e^x)。
  3. 求导：(y_p’ = A e^x + A x e^x = A e^x (1 + x)), (y_p” = A e^x (1 + x) + A e^x = A e^x (2 + x))。
  4. 代入：(A e^x (2 + x) - 3 A e^x (1 + x) + 2 A x e^x = e^x)。 除以 (e^x)：(A(2 + x) - 3A(1 + x) + 2A x = 1)。 展开：(2A + A x - 3A - 3A x + 2A x = 1) → (-A = 1) → (A = -1)。
  5. 所以 (y_p = -x e^x)。
  6. 通解：(y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x = (C_1 - x) e^x + C_2 e^{2x})。
  7. 验证：类似，确保成立。

完整示例（正弦 (f(x))，与特征根重合）

求解方程：(y” + y = \sin x)。

步骤：

  1. (y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x)。
  2. (f(x) = \sin x)，(\omega=1)，(\pm i) 是特征根，所以假设 (y_p = x (A \cos x + B \sin x))。
  3. 求导（使用乘积法则）：
    • (y_p = x A \cos x + x B \sin x)。
    • (y_p’ = A \cos x - A x \sin x + B \sin x + B x \cos x = (A + B x) \cos x + (B - A x) \sin x)。
    • (y_p” = -A \sin x + B \cos x + B \cos x - A x (-\sin x) + (-A) \sin x + B (-\cos x) + B (-\sin x) - A x \cos x)（详细求导，但简化后）。 更系统：(y_p” = -2A \sin x + 2B \cos x - x (A \cos x + B \sin x))。
  4. 代入 (y” + y = \sin x)：([-2A \sin x + 2B \cos x - x (A \cos x + B \sin x)] + [x A \cos x + x B \sin x] = \sin x)。 简化：(-2A \sin x + 2B \cos x = \sin x)。 比较：(-2A = 1) → (A = -\frac{1}{2}); (2B = 0) → (B = 0)。
  5. 所以 (y_p = -\frac{1}{2} x \cos x)。
  6. 通解：(y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{2} x \cos x)。
  7. 验证：求导代入，确保 (y” + y = \sin x)。

求解技巧总结与注意事项

  1. 标准化方程：始终将方程化为标准形式，确保系数正确。
  2. 特征方程：对于二阶方程，特征方程是核心。熟练使用求根公式，并快速判断根的类型。
  3. 特解假设：待定系数法高效，但需注意重根情况（乘以 (x^k)）。如果 (f(x)) 复杂，可分解为简单函数的线性组合，分别求特解后叠加。
  4. 验证：求解后，务必求导代入原方程验证，避免计算错误。
  5. 边界条件：本手册讨论通解，实际问题需结合初始条件确定 (C_1, C_2)。
  6. 常见错误：
    • 积分时遗漏常数（但可吸收）。
    • 复根时，忘记 (\alpha) 和 (\beta) 的符号（(\alpha = -b/(2a))）。
    • 特解形式错误，未调整与齐次解重复的部分。
  7. 扩展：对于变系数方程，可使用幂级数法，但本手册限于常系数。
  8. 编程辅助：如果需要数值求解，可用Python的SciPy库，例如： “`python from scipy.integrate import solve_ivp import numpy as np

def ode_func(t, y):

   # 示例：y'' - 3y' + 2y = x，转化为系统
   # dy/dt = z, dz/dt = 3z - 2y + t
   return [y[1], 3*y[1] - 2*y[0] + t]

sol = solve_ivp(ode_func, [0, 10], [1, 0], t_eval=np.linspace(0, 10, 100)) # sol.y[0] 是 y 的解 “` 这适用于数值验证，但解析解优先。

通过本手册的公式和示例，读者可快速查阅并应用微分方程求解。建议结合练习巩固，例如尝试求解 (y” + 4y’ + 4y = e^{-2x})（提示：重根，特解需 (x^2 e^{-2x}) 形式）。如果需要更多示例或特定变体，请提供细节。