引言
高等数学是大学理工科学生必修的一门基础课程，它涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个领域。为了帮助同学们更好地预习和掌握高等数学的知识点，本文将针对一些常见的预习习题进行详细解答，旨在帮助读者轻松掌握必备知识点。
一、微积分
1. 极限的计算
题目：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：
首先，我们知道当 $x \to 0$ 时，$\sin x$ 和 $x$ 都趋近于0。因此，这是一个“0/0”型未定式。我们可以使用洛必达法则来求解。
应用洛必达法则，对分子和分母同时求导：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1。
$$
2. 导数的计算
题目：求函数 \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) 的导数。
解答：
对于多项式函数，我们可以使用导数的运算法则来求解。
$$
f'(x) = (x^3)' - (3x)' + (2)' = 3x^2 - 3。
$$
二、线性代数
1. 矩阵的运算
题目：计算矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) 的行列式。
解答：
行列式的计算公式为：
$$
\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc。
$$
因此，对于给定的矩阵，我们有：
$$
\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2。
$$
2. 线性方程组的求解
题目：求解线性方程组 \(\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}\)。
解答：
我们可以使用加减消元法来求解这个方程组。
首先，将第二个方程乘以2，得到：
$$
\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases}
$$
然后，将第二个方程从第一个方程中减去，得到：
$$
5y = 6 \Rightarrow y = \frac{6}{5}。
$$
将 $y$ 的值代入任意一个方程，得到 $x$ 的值：
$$
x - \frac{6}{5} = 1 \Rightarrow x = \frac{11}{5}。
$$
因此，方程组的解为 $x = \frac{11}{5}$，$y = \frac{6}{5}$。
三、常微分方程
1. 一阶微分方程的求解
题目：求解微分方程 \(\frac{dy}{dx} = 2x + 1\)。
解答：
这是一个一阶线性微分方程，我们可以使用积分因子的方法来求解。
首先，找到积分因子 $\mu(x)$，它满足：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x) dx}，其中 P(x) = 2。
$$
因此，$\mu(x) = e^{2x}$。
将方程两边乘以积分因子，得到：
$$
e^{2x} \frac{dy}{dx} - 2e^{2x} y = e^{2x}。
$$
简化后，得到：
$$
\frac{d}{dx}(e^{2x} y) = e^{2x}。
$$
对两边积分，得到：
$$
e^{2x} y = \frac{1}{2} e^{2x} + C，
$$
其中 $C$ 是积分常数。
最后，解出 $y$：
$$
y = \frac{1}{2} + Ce^{-2x}。
$$
总结
通过以上对高等数学预习习题的解答，我们可以看到，掌握高等数学的必备知识点需要扎实的理论基础和一定的解题技巧。希望本文的解答能够帮助同学们更好地预习和掌握这些知识点，为后续的学习打下坚实的基础。