引言

重积分是高等数学中一个重要的概念，它将定积分从一维推广到二维、三维甚至更高维度的空间。重积分不仅在理论研究中占有重要地位，还在物理、工程、概率统计等领域有广泛应用。掌握重积分的计算技巧对于理解多元函数的性质、解决实际问题以及应对各类考试都至关重要。本文将从基础概念出发，逐步深入到进阶技巧，通过典型例题详细解析，帮助读者系统掌握重积分的核心方法。

一、重积分的基本概念与性质

1.1 重积分的定义

重积分是多元函数在某个区域上的积分。对于二重积分，设函数 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上有定义，将 \(D\) 任意分割成 \(n\) 个小区域 \(\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \dots, \Delta \sigma_n\)，在每个小区域上任取一点 \((\xi_i, \eta_i)\)，如果当各小区域的直径的最大值 \(\lambda \to 0\) 时，极限 $\( \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i \)\( 存在且唯一，则称此极限为函数 \)f(x,y)\( 在区域 \)D\( 上的二重积分，记作 \)\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma \)$ 三重积分的定义类似，只是将区域从平面区域推广到空间区域。

1.2 重积分的性质

重积分具有与定积分类似的性质，这些性质在计算中非常有用：

  1. 线性性质： $\( \iint_{D} [\alpha f(x,y) + \beta g(x,y)] \, d\sigma = \alpha \iint_{D} f(x,y) \d\sigma + \beta \iint_{D} g(x,y) \, d\sigma \)\( 其中 \)\alpha, \beta$ 为常数。

  2. 区域可加性： 如果区域 \(D\) 被分成两个不重叠的区域 \(D_1\) 和 \(D_2\)，则 $\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = \iint_{D_1} f(x,y) \, d\sigma + \iint_{D_2} f(x,y) \, d\sigma \)$

  3. 保号性： 如果在区域 \(D\) 上 \(f(x,y) \geq 0\)，则 $\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma \geq 0 \)$

  4. 绝对值不等式： $\( \left| \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma \right| \leq \iint_{D} |f(x,y)| \, d\sigma \)$

  5. 积分中值定理： 如果函数 \(f(x,y)\) 在闭区域 \(D\) 上连续，且 \(D\) 的面积为 \(A\)，则存在 \((\xi, \1) \in D\)，使得 $\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot A \)$

1.3 重积分的几何与物理意义

  • 几何意义：二重积分 \(\iint_{D} f(x,y) \, d\sigma\) 表示以区域 \(D\) 为底，曲面 \(z = f(x,y)\) 为顶的曲顶柱体的体积（当 \(f(x,y) \geq 0\) 时）。
  • 物理意义：重积分可以计算平面薄片的质量、转动惯量、电荷量等物理量。

二、重积分的计算方法：直角坐标系

2.1 二重积分的计算

2.1.1 X型区域与Y型区域

X型区域：区域 \(D\) 由直线 \(x = a\)、\(x = b\) 以及曲线 \(y = \phi_1(x)\)、\(y = \phi_2(x)\) 围成，即 $\( D = \{(x,y) \mid a \leq x \leq b, \phi_1(x) \leq y \leq \phi_2(x)\} \)\( 此时二重积分化为**先对y后对x的累次积分**： \)\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = \int_{a}^{b} \left[ \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)} f(x,y) \, dy \right] dx \)$

Y型区域：区域 \(D\) 由直线 \(y = c\)、\(y = d\) 以及曲线 \(x = \psi_1(y)\)、\(x = \psi_2(y)\) 围成，即 $\( D = \{(x,y) \mid c \leq y \leq d, \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)\} \)\( 此时二重积分化为**先对x后对y的累次积分**： \)\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = \int_{c}^{d} \left[ \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y) \, dx \right] dy \)$

2.1.2 例题解析

例1：计算二重积分 \(\iint_{D} xy \, d\sigma\)，其中 \(D\) 是由 \(y = x\)、\(y = 1 - x\) 和 \(x = 0\) 围成的区域。

解： 首先画出区域 \(D\) 的草图。三条直线 \(y = x\)、\(y = 1 - x\) 和 \(x = 0\) 围成一个三角形，顶点为 \((0,0)\)、\((0.5,0.5)\) 和 \((0,1)\)。

方法一：X型区域 将 \(D\) 看作 X 型区域，x 的范围是 \([0, 0.5]\)。对于固定的 x，y 的范围是从 \(y = x\) 到 \(y = 1 - x\)。 $\( \iint_{D} xy \, d\sigma = \int_{0}^{0.5} \left[ \int_{x}^{1-x} xy \, dy \right] dx \)\( 先计算内层积分： \)\( \int_{x}^{1-x} xy \, dy = x \int_{x}^{1-x} y \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{x}^{1-x} = x \left( \frac{(1-x)^2}{2} - \frac{x^2}{2} \right) = \frac{x}{2} [(1-x)^2 - x^2] \)\( 化简： \)\( (1-x)^2 - x^2 = (1 - 2x + x^2) - x^2 = 1 - 2x \)\( 所以内层积分为 \)\frac{x}{2} (1 - 2x) = \frac{x}{2} - x^2$。

再计算外层积分： $\( \int_{0}^{0.5} \left( \frac{x}{2} - x^2 \right) dx = \left[ \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{0.5} = \left( \frac{(0.5)^2}{4} - \frac{(0.5)^3}{3} \right) - 0 = \frac{0.25}{4} - \frac{0.125}{3} = \frac{1}{16} - \frac{1}{24} \)\( 通分计算： \)\( \frac{1}{16} - \frac{1}{24} = \frac{3}{48} - \frac{2}{48} = \frac{1}{48} \)$

方法二：Y型区域 将 \(D\) 看作 Y 型区域，y 的范围是 \([0, 1]\)。对于固定的 y，x 的范围是从 \(x = 0\) 到 \(x = y\)（当 \(0 \leq y \leq 0.5\) 时）和从 \(x = 0\) 到 \(x = 1 - y\)（当 \(0.5 \leq y \leq 1\) 时）。因此需要将区域分成两部分： $\( \iint_{D} xy \, d\sigma = \int_{0}^{0.5} \left[ \int_{0}^{y} xy \, dx \right] dy + \int_{0.5}^{1} \left[ \int_{0}^{1-y} xy \, dx \right] dy \)\( 计算第一个积分： \)\( \int_{0}^{0.5} \left[ \int_{0}^{y} xy \, dx \right] dy = \int_{0}^{0.5} y \left[ \int_{0}^{y} x \, dx \right] dy = \int_{0}^{0.5} y \cdot \frac{y^2}{2} dy = \int_{0}^{0.5} \frac{y^3}{2} dy = \left[ \frac{y^4}{8} \right]_{0}^{0.5} = \frac{(0.5)^4}{8} = \frac{1/16}{8} = \frac{1}{128} \)\( 计算第二个积分： \)\( \int_{0.5}^{1} \left[ \int_{0}^{1-y} xy \, dx \right] dy = \int_{0.5}^{1} y \left[ \int_{0}^{1-y} x \, dx \right] dy = \int_{0.5}^{1} y \cdot \frac{(1-y)^2}{2} dy \)\( 令 \)u = 1 - y\(，则 \)y = 1 - u\(，\)dy = -du\(，当 \)y = 0.5\( 时 \)u = 0.5\(，当 \)y = 1\( 时 \)u = 0\(： \)\( \int_{0.5}^{0} (1 - u) \cdot \frac{u^2}{2} (-du) = \int_{0}^{0.5} \frac{u^2 - u^3}{2} du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} \right]_{0}^{0.5} = \frac{1}{2} \left( \frac{(0.5)^3}{3} - \frac{(0.5)^4}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1/8}{3} - \frac{1/16}{4} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{24} - \frac{1}{64} \right) \)\( \)\( = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{192} - \frac{3}{192} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{192} = \frac{5}{384} \)\( 总和： \)\( \frac{1}{128} + \frac{5}{384} = \frac{3}{384} + \frac{5}{384} = \frac{8}{384} = \frac{1}{48} \)$ 两种方法结果一致。

2.2 三重积分的计算

2.2.1 “先一后二”与“先二后一”

“先一后二”（投影法）：将空间区域 \(\Omega\) 向某个坐标面（如 \(xOy\) 面）投影，得到投影区域 \(D_{xy}\)。对于 \(D_{xy}\) 中的每一点 \((x,y)\)，z 的范围由两个曲面 \(z = z_1(x,y)\) 和 \(z = z_2(x,y)\) 界定。此时三重积分化为： $\( \iiint_{\Omega} f(x,y,z) \, dV = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \right] d\sigma \)$

“先二后一”（截面法）：如果用平行于某个坐标面的平面去截区域 \(\Omega\)，得到的截面面积容易计算，且被积函数只与一个变量（如 z）有关，则可以先对 x 和 y 积分，再对 z 积分。设 \(\Omega\) 在 z 轴上的投影区间为 \([c,d]\)，对于固定的 z，截面区域为 \(D_z\)，则： $\( \iiint_{\Omega} f(x,y,z) \, dV = \int_{c}^{d} \left[ \iint_{D_z} f(x,y,z) \, dx \, dy \right] dz \)$

2.2.2 例题解析

例2：计算三重积分 \(\iiint_{\Omega} z \, dV\)，其中 \(\Omega\) 是由曲面 \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) 和平面 \(z = 1\) 围成的区域。

解： 区域 \(\Omega\) 是一个圆锥体（顶点在原点，高为1，底面半径为1）。

方法一：“先一后二” 将 \(\Omega\) 向 \(xOy\) 面投影，投影区域 \(D_{xy}\) 是圆域 \(x^2 + y^2 \leq 1\)。 对于 \(D_{xy}\) 中的点 \((x,y)\)，z 的范围是从 \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\) 到 \(z = 1\)。 $\( \iiint_{\Omega} z \, dV = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{\sqrt{x^2 + y^2}}^{1} z \, dz \right] d\sigma \)\( 先计算内层积分： \)\( \int_{\sqrt{x^2 + y^2}}^{1} z \, dz = \left[ \frac{z^2}{2} \right]_{\sqrt{x^2 + y^2}}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{x^2 + y^2}{2} = \frac{1 - (x^2 + y^2)}{2} \)\( 再计算外层积分（利用极坐标）： \)\( \iint_{D_{xy}} \frac{1 - (x^2 + y^2)}{2} d\sigma = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \frac{1 - r^2}{2} \cdot r \, dr \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr \)\( \)\( = \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4} \)$

方法二：“先二后一” 将 \(\Omega\) 向 z 轴投影，投影区间为 \([0, 1]\)。对于固定的 z，截面 \(D_z\) 是圆域 \(x^2 + y^2 \leq z^2\)，其面积为 \(\pi z^2\)。 $\( \iiint_{\Omega} z \, dV = \int_{0}^{1} \left[ \iint_{D_z} z \, dx \, dy \right] dz = \int_{0}^{1} z \cdot (\pi z^2) \, dz = \pi \int_{0}^{1} z^3 \, dz = \pi \left[ \frac{z^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{\pi}{4} \)$ 两种方法结果一致。

三、重积分的计算方法：极坐标、柱坐标与球坐标

3.1 极坐标（二重积分）

当积分区域是圆、圆环、扇形，或者被积函数包含 \(x^2 + y^2\) 时，使用极坐标通常更简便。

坐标变换： $\( x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \)\( 面积元素变换： \)\( d\sigma = dx \, dy = r \, dr \, d\theta \)\( 积分公式： \)\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \cdot r \, dr \, d\theta \)$

3.1.1 例题解析

例3：计算 \(\iint_{D} e^{x^2 + y^2} \, d\sigma\)，其中 \(D\) 是圆域 \(x^2 + y^2 \leq 1\)。

解： 这是一个典型的适合使用极坐标的例子。区域 \(D\) 是单位圆，被积函数是 \(e^{x^2 + y^2} = e^{r^2}\)。

在极坐标下，区域 \(D\) 表示为： $\( 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq r \leq 1 \)\( 积分变为： \)\( \iint_{D} e^{x^2 + y^2} \, d\sigma = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} e^{r^2} \cdot r \, dr \, d\theta \)\( 先计算内层积分（使用换元法，令 \)u = r^2\(，则 \)du = 2r \, dr\(，即 \)r \, dr = \frac{1}{2} du\(）： \)\( \int_{0}^{1} e^{r^2} \cdot r \, dr = \int_{0}^{1} e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} (e - 1) \)\( 再计算外层积分： \)\( \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} (e - 1) \, d\theta = \frac{1}{2} (e - 1) \cdot 2\pi = \pi (e - 1) \)$

3.2 柱坐标（三重积分）

柱坐标是极坐标在三维空间的推广。当积分区域是柱体、锥体、旋转体，或者被积函数包含 \(x^2 + y^2\) 时，使用柱坐标较为简便。

坐标变换： $\( x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z \)\( 体积元素变换： \)\( dV = dx \, dy \, dz = r \, dr \, d\theta \, dz \)\( 积分公式： \)\( \iiint_{\Omega} f(x,y,z) \, dV = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \cdot r \, dz \, dr \, d\theta \)$

3.2.1 例题解析

例4：计算 \(\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2 + y^2} \, dV\)，其中 \(\Omega\) 是由圆柱面 \(x^2 + y^2 = 4\)、平面 \(z = 0\) 和 \(z = 3\) 围成的区域。

解： 区域 \(\Omega\) 是一个半径为2、高为3的圆柱体。使用柱坐标非常方便。

在柱坐标下，区域 \(\Omega\) 表示为： $\( 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 3 \)\( 被积函数 \)\sqrt{x^2 + y^2} = r\(。 积分变为： \)\( \iiint_{\Omega} \sqrt{x^2 + y^2} \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} r \cdot r \, dz \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{3} r^2 \, dz \, dr \, d\theta \)\( 先对 z 积分： \)\( \int_{0}^{3} r^2 \, dz = r^2 \cdot 3 = 3r^2 \)\( 再对 r 积分： \)\( \int_{0}^{2} 3r^2 \, dr = 3 \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{2} = 8 \)\( 最后对 \)\theta\( 积分： \)\( \int_{0}^{2\pi} 8 \, d\theta = 8 \cdot 2\pi = 16\pi \)$

3.3 球坐标（三重积分）

球坐标适用于积分区域是球体、球壳、顶点在原点的锥体，或者被积函数包含 \(x^2 + y^2 + z^2\) 的情况。

坐标变换： $\( x = \rho \sin \phi \cos \theta, \quad y = \rho \sin \phi \sin \theta, \quad z = \rho \cos \phi \)\( 其中 \)\rho \geq 0\(，\)0 \leq \phi \leq \pi\(，\)0 \leq \theta \leq 2\pi\(。 体积元素变换： \)\( dV = dx \, dy \, dz = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \)\( 积分公式： \)\( \iiint_{\Omega} f(x,y,z) \, dV = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} \int_{\rho_1(\phi,\theta)}^{\rho_2(\phi,\theta)} f(\rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \cdot \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \)$

3.3.1 例题解析

例5：计算 \(\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV\)，其中 \(\Omega\) 是球体 \(x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\)。

解： 区域 \(\Omega\) 是单位球体。使用球坐标非常方便。

在球坐标下，区域 \(\Omega\) 表示为： $\( 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq \phi \leq \pi, \quad 0 \leq \rho \leq 1 \)\( 被积函数 \)x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2\(。 积分变为： \)\( \iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \rho^2 \cdot \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} \rho^4 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \)\( 由于被积函数可以分离变量，可以分别计算三个积分： \)\( \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \)\( \)\( \int_{0}^{\pi} \sin \phi \, d\phi = [-\cos \phi]_{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2 \)\( \)\( \int_{0}^{1} \rho^4 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} \)\( 相乘得到结果： \)\( 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\pi}{5} \)$

四、重积分的进阶技巧

4.1 利用对称性简化计算

对称性是重积分计算中非常重要的技巧，可以大大简化计算过程。

4.1.1 普通对称性

区域对称，函数奇偶性：

  • 如果区域 \(D\) 关于 \(y\) 轴对称，且 \(f(x,y)\) 关于 \(x\) 是奇函数（即 \(f(-x,y) = -f(x,y)\)），则 \(\iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = 0\)。
  • 如果区域 \(D\) 关于 \(y\) 轴对称，且 \(f(x,y)\) 关于 \(x\) 是偶函数（即 \(f(-x,y) = f(x,y)\)），则 \(\iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = 2 \iint_{D_1} f(x,y) \, d\sigma\)，其中 \(D_1\) 是 \(D\) 在 \(y\) 轴右侧的部分。

例6：计算 \(\iint_{D} (x^3 + \sin(xy)) \, d\sigma\)，其中 \(D\) 是圆域 \(x^2 + y^2 \leq 1\)。 解： 区域 \(D\) 关于 \(x\) 轴和 \(y\) 轴都对称。

  • 对于 \(x^3\)：关于 \(y\) 轴对称，\(x^3\) 是奇函数，所以 \(\iint_{D} x^3 \, d\sigma = 0\)。
  • 对于 \(\sin(xy)\)：关于 \(x\) 轴对称时，\(y\) 变为 \(-y\)，\(\sin(x(-y)) = \sin(-xy) = -\sin(xy)\)，是奇函数；关于 \(y\) 轴对称时，\(x\) 变为 \(-x\)，\(\sin((-x)y) = \sin(-xy) = -\sin(xy)\)，也是奇函数。所以 \(\iint_{D} \sin(xy) \, d\sigma = 0\)。 因此，原积分等于 \(0\)。

4.1.2 轮换对称性

如果区域 \(D\) 关于直线 \(y = x\) 对称（即交换 \(x\) 和 \(y\) 后区域不变），且被积函数 \(f(x,y)\) 满足 \(f(x,y) = f(y,x)\)，则 $\( \iint_{D} f(x,y) \, d\sigma = \iint_{D} f(y,x) \, d\sigma \)$ 这个性质在简化被积函数或积分区域时非常有用。

例7：计算 \(\iint_{D} \frac{x^2}{x^2 + y^2} \, d\sigma\)，其中 \(D\) 是圆域 \(x^2 + y^2 \leq 1\)。 解： 区域 \(D\) 关于 \(y = x\) 对称。利用轮换对称性： $\( \iint_{D} \frac{x^2}{x^2 + y^2} \, d\sigma = \iint_{D} \frac{y^2}{x^2 + y^2} \, d\sigma \)\( 将两式相加： \)\( 2 \iint_{D} \frac{x^2}{x^2 + y^2} \, d\sigma = \iint_{D} \frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2} \, d\sigma = \iint_{D} 1 \, d\sigma = \text{Area}(D) = \pi \)\( 所以： \)\( \iint_{D} \frac{x^2}{x^2 + y^2} \, d\sigma = \frac{\pi}{2} \)$

4.2 积分次序交换与区域分解

当积分区域比较复杂，或者被积函数在不同区域有不同的表达式时，需要交换积分次序或分解积分区域。

例8：计算 \(\int_{0}^{1} dx \int_{x}^{1} e^{y^2} \, dy\)。 解： 这是一个先对 y 后对 x 的累次积分。直接计算 \(\int e^{y^2} \, dy\) 是不可能的（初等函数无法表示），因此需要交换积分次序。

原积分区域 \(D\) 为： $\( 0 \leq x \leq 1, \quad x \leq y \leq 1 \)\( 这是一个三角形区域，顶点为 \)(0,0)\(、\)(1,1)\(、\)(0,1)\(。 交换积分次序，变为先对 x 后对 y： \)\( 0 \leq y \leq 1, \quad 0 \leq x \leq y \)\( 积分变为： \)\( \int_{0}^{1} dy \int_{0}^{y} e^{y^2} \, dx = \int_{0}^{1} e^{y^2} \cdot y \, dy \)\( 令 \)u = y^2\(，则 \)du = 2y \, dy\(，\)y \, dy = \frac{1}{2} du\(： \)\( \int_{0}^{1} e^{y^2} \cdot y \, dy = \int_{0}^{1} e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} [e^u]_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2} \)$

4.3 利用换元法（变量代换）

除了坐标变换，有时还需要进行一般的变量代换。

例9：计算 \(\iint_{D} (x - y) \, d\sigma\)，其中 \(D\) 是由直线 \(x = 0\)、\(y = 0\)、\(x + y = 1\) 围成的三角形区域。 解： 虽然可以直接计算，但这里演示换元法。令 \(u = x - y\)，\(v = x + y\)。 则 \(x = \frac{u + v}{2}\)，\(y = \frac{v - u}{2}\)。 雅可比行列式： $\( J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix} = \frac{1}{4} - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \)\( 原区域 \)D$ 的边界：

  • \(x = 0 \Rightarrow \frac{u + v}{2} = 0 \Rightarrow u = -v\)
  • \(y = 0 \Rightarrow \frac{v - u}{2} = 0 \Rightarrow v = u\)
  • \(x + y = 1 \Rightarrow v = 1\) 在 \(uv\) 平面上，区域 \(D'\) 由 \(u = -v\)、\(v = u\)、\(v = 1\) 围成，是一个顶点为 \((0,0)\)、\((1,1)\)、\((-1,1)\) 的三角形。 积分变为： $\( \iint_{D'} u \cdot |J| \, du \, dv = \iint_{D'} u \cdot \frac{1}{2} \, du \, dv \)\( 由于区域 \)D’\( 关于 \)v\( 轴对称，且被积函数 \)u\( 是关于 \)u\( 的奇函数，所以积分结果为 \)0\(。 （直接计算：\)\iint{D} (x - y) \, d\sigma = \int{0}^{1} \int{0}^{1-x} (x - y) \, dy \, dx = \int{0}^{1} [xy - \frac{y^2}{2}]{0}^{1-x} dx = \int{0}^{1} [x(1-x) - \frac{(1-x)^2}{2}] dx = \int{0}^{1} [x - x^2 - \frac{1 - 2x + x^2}{2}] dx = \int{0}^{1} [x - x^2 - \frac{1}{2} + x - \frac{x^2}{2}] dx = \int{0}^{1} [2x - \frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}] dx = [x^2 - \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x]{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$。结果一致。）

4.4 利用奇偶性与轮换对称性综合应用

例10：计算 \(\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV\)，其中 \(\Omega\) 是由球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) 和平面 \(z = 0\) 围成的上半球体。 解： 区域 \(\Omega\) 关于 \(xOz\) 面和 \(yOz\) 面对称。 被积函数 \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 都是偶函数。 因此，积分值等于 \(4\) 倍的第一卦限部分的积分值。 第一卦限部分 \(\Omega_1\)：\(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x^2 + y^2 + z^2 \leq 1\)。 使用球坐标： $\( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \rho \leq 1 \)\( \)\( \iiint_{\Omega_1} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{1} \rho^4 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \)\( \)\( = \left( \int_{0}^{\pi/2} d\theta \right) \left( \int_{0}^{\pi/2} \sin \phi \, d\phi \right) \left( \int_{0}^{1} \rho^4 \, d\rho \right) = \frac{\pi}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi}{10} \)\( 所以原积分： \)\( \iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV = 4 \cdot \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi}{5} \)$

五、重积分的应用

5.1 几何应用

5.1.1 平面区域的面积

\[ A = \iint_{D} 1 \, d\sigma \]

5.1.2 空间立体的体积

\[ V = \iiint_{\Omega} 1 \, dV \]

或者由曲顶柱体的体积公式： $\( V = \iint_{D} [f(x,y) - g(x,y)] \, d\sigma \)\( 其中 \)z = f(x,y)\( 是顶面，\)z = g(x,y)$ 是底面。

5.1.3 曲面面积

设曲面 \(S\) 的方程为 \(z = f(x,y)\)，其在 \(xOy\) 面上的投影区域为 \(D_{xy}\)，则曲面面积为： $\( A = \iint_{D_{xy}} \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy \)$

例11：求球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\) 的表面积。 解： 球面在 \(xOy\) 面上的投影是圆域 \(D_{xy}: x^2 + y^2 \leq R^2\)。 由 \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\) 得 \(z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}\)（上半球面）。 $\( \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} \)\( \)\( \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{R^2 - x^2 - y^2} + \frac{y^2}{R^2 - x^2 - y^2}} = \sqrt{\frac{R^2 - x^2 - y^2 + x^2 + y^2}{R^2 - x^2 - y^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} \)\( 上半球面面积： \)\( A_{upper} = \iint_{D_{xy}} \frac{R}{\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}} \, dx \, dy \)\( 使用极坐标： \)\( A_{upper} = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \frac{R}{\sqrt{R^2 - r^2}} \cdot r \, dr \, d\theta = 2\pi R \int_{0}^{R} \frac{r}{\sqrt{R^2 - r^2}} \, dr \)\( 令 \)u = R^2 - r^2\(，\)du = -2r \, dr\(： \)\( \int_{0}^{R} \frac{r}{\sqrt{R^2 - r^2}} \, dr = \int_{R^2}^{0} \frac{-1}{2\sqrt{u}} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{R^2} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} [2\sqrt{u}]_{0}^{R^2} = R \)\( 所以 \)A_{upper} = 2\pi R \cdot R = 2\pi R^2\(。 整个球面面积为 \)2 \cdot 2\pi R^2 = 4\pi R^2$。

5.2 物理应用

5.2.1 质量

设平面薄片 \(D\) 的面密度为 \(\rho(x,y)\)，则其质量为： $\( M = \iint_{D} \rho(x,y) \, d\sigma \)\( 设空间物体 \)\Omega\( 的体密度为 \)\rho(x,y,z)\(，则其质量为： \)\( M = \iiint_{\Omega} \rho(x,y,z) \, dV \)$

5.2.2 质心

平面薄片 \(D\) 的质心坐标 \((\bar{x}, \bar{y})\)： $\( \bar{x} = \frac{1}{M} \iint_{D} x \rho(x,y) \, d\sigma, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \iint_{D} y \rho(x,y) \, d\sigma \)\( 若密度均匀（\)\rho = \text{常数}$），则质心即为形心。

5.2.3 转动惯量

平面薄片 \(D\) 关于 \(x\) 轴、\(y\) 轴、原点的转动惯量： $\( I_x = \iint_{D} y^2 \rho(x,y) \, d\sigma, \quad I_y = \iint_{D} x^2 \rho(x,y) \, d\sigma, \quad I_O = \iint_{D} (x^2 + y^2) \rho(x,y) \, d\sigma \)\( 空间物体 \)\Omega$ 关于坐标轴和坐标面的转动惯量类似。

例12：求半径为 \(R\) 的均匀半圆薄片（面密度为 \(\rho\)）关于其直径的转动惯量。 解： 建立坐标系：将直径放在 \(x\) 轴上，半圆位于 \(y \geq 0\) 区域。区域 \(D: x^2 + y^2 \leq R^2, y \geq 0\)。 关于直径（即 \(x\) 轴）的转动惯量为： $\( I_x = \iint_{D} y^2 \rho \, d\sigma \)\( 使用极坐标： \)\( I_x = \rho \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{R} (r \sin \theta)^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \rho \int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \int_{0}^{R} r^3 \, dr \)\( \)\( \int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} [\theta - \frac{1}{2}\sin 2\theta]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \)\( \)\( \int_{0}^{R} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{R^4}{4} \)\( 所以： \)\( I_x = \rho \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi \rho R^4}{8} \)$

六、常见错误与注意事项

  1. 积分区域的准确描述：在计算前，务必画出积分区域的草图，准确确定积分限。特别是当区域需要分块时，不能遗漏或重复。
  2. 坐标变换的雅可比行列式：在使用极坐标、柱坐标、球坐标时，切勿忘记乘以相应的雅可比因子（\(r\)、\(r\)、\(\rho^2 \sin \phi\)）。
  3. 对称性的误用：使用对称性时，必须同时考虑区域的对称性和函数的奇偶性，两者缺一不可。
  4. 积分次序的选择：选择合适的积分次序可以简化计算。通常遵循“先积容易的，后积难的”原则，或者选择积分限为常数的次序。
  5. 变量代换的范围：进行变量代换时，要正确地将原区域的边界转化为新变量的边界。
  6. 三重积分的“先二后一”法：使用此法时，要确保截面面积容易计算，且被积函数与截面内的变量无关。

七、总结

重积分的计算是高等数学中的一个难点，但也是有规律可循的。掌握好基本概念和性质是基础，熟练运用直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标等不同坐标系下的计算方法是关键，灵活利用对称性、交换积分次序、变量代换等进阶技巧是提高计算效率和准确性的法宝。

在学习过程中，建议多做练习，通过不同类型的例题来加深理解。对于每一道题，先分析积分区域的形状和被积函数的特点，再选择最合适的方法。同时，注意总结常见错误，避免在考试中失分。希望本文的详细解析能帮助读者从基础到进阶，全面掌握重积分的计算技巧，轻松应对各类考试难题。