一、选择题部分解析

1. 题目解析

（1）题目描述：函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)的定义域为\(\{x | x \neq 1\}\)，则函数\(f(x)\)的图像为：

A. B. C. D.

解析：函数\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)可以化简为\(f(x) = x + 1\)，其定义域为\(\{x | x \neq 1\}\)。因为当\(x = 1\)时，分母为0，函数无定义。故选C。

（2）题目描述：若\(a, b, c\)是等差数列的连续三项，且\(a + b + c = 12\)，\(abc = 27\)，则\(b^2 + c^2\)的值为：

A. 18 B. 24 C. 30 D. 36

解析：由等差数列的性质可知，\(a + b + c = 3b = 12\)，则\(b = 4\)。又因为\(abc = 27\)，所以\(c = \frac{27}{ab} = \frac{27}{4a}\)。由等差数列的性质可得\(b - a = c - b\)，即\(4 - a = \frac{27}{4a} - 4\)，解得\(a = 1\)，\(c = 27\)。因此\(b^2 + c^2 = 4^2 + 27^2 = 18\)。故选A。

二、填空题部分解析

1. 题目解析

（1）题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，则数列的前\(n\)项和\(S_n\)为：

A. \(S_n = 2^n - n - 1\) B. \(S_n = 2^n - n\) C. \(S_n = 2^n - n + 1\) D. \(S_n = 2^n - n - 2\)

解析：根据等比数列的前\(n\)项和公式\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)，代入\(a_1 = 1\)，\(q = 2\)，得到\(S_n = \frac{1(1 - 2^n)}{1 - 2} = 2^n - 1\)。所以\(S_n = 2^n - n - 1\)。故选A。

（2）题目描述：若点\(P(x, y)\)在曲线\(y = x^2 - 4x + 3\)上，且\(\triangle OPQ\)的面积为\(S\)，则\(S\)的最大值为：

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析：设直线\(OP\)的方程为\(y = kx\)，代入曲线方程得到\(x^2 - (4 + k)x + 3 = 0\)。根据韦达定理，有\(x_1 + x_2 = 4 + k\)，\(x_1x_2 = 3\)。根据三角形面积公式\(S = \frac{1}{2} \cdot |x_1y_2 - x_2y_1|\)，代入\(x_1 = \frac{3}{x_2}\)，\(y_1 = kx_1\)，\(y_2 = kx_2\)，得到\(S = \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{3k^2}{x_2} - \frac{3k^2}{x_2}\right| = \frac{3k^2}{2x_2}\)。要使\(S\)最大，需要使\(k^2\)最大，即\(k = \pm 1\)。此时\(S = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{x_2} = \frac{9}{2x_2}\)。由于\(x_1x_2 = 3\)，则\(x_2 = \frac{3}{x_1}\)，代入得到\(S = \frac{9}{2x_1} = \frac{9}{2 \cdot \frac{3}{x_2}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{x_2}{x_2} = \frac{3}{2}\)。所以\(S\)的最大值为\(\frac{3}{2}\)。故选B。

三、解答题部分解析

1. 题目解析

（1）题目描述：已知函数\(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}\)，求函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。

解析：首先，将函数\(f(x)\)化简为\(f(x) = x + 3\)，因为\(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}\)可以化简为\(f(x) = x + 3\)。然后，根据导数的定义，\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\)。代入\(f(x) = x + 3\)，得到\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h + 3) - (x + 3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1\)。所以\(f'(x) = 1\)。

（2）题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 3^n - 2^n\)，求数列的前\(n\)项和\(S_n\)。

解析：根据等比数列的前\(n\)项和公式\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)，代入\(a_1 = 3\)，\(q = 3\)，得到\(S_n = \frac{3(1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{3(3^n - 1)}{2}\)。因此\(S_n = \frac{3^{n+1} - 3}{2}\)。

四、答案揭晓

选择题答案：C、A

填空题答案：A、B

解答题答案： （1）\(f'(x) = 1\) （2）\(S_n = \frac{3^{n+1} - 3}{2}\)