高考数学全国二卷理科答案解析及详解

一、选择题部分

题目：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求\(f(x)\)的极值。

答案：极大值\(f(-1) = 4\)，极小值\(f(2) = 0\)。

解析：

首先求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = -1\)或\(x = 1\)。
检查导数的符号变化，确定极值点。
当\(x < -1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；
当\(-1 < x < 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；
当\(x > 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。
因此，\(x = -1\)是极大值点，\(x = 1\)是极小值点。

题目：在平面直角坐标系中，点\(A(2, 3)\)关于直线\(x + y = 5\)的对称点为\(B\)，求\(B\)的坐标。

答案：\(B(4, 2)\)。

解析：

设\(B\)的坐标为\((x, y)\)，则\(A\)和\(B\)的中点\(M\)坐标为\(\left(\frac{2+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right)\)。
由于\(M\)在直线\(x + y = 5\)上，代入得\(\frac{2+x}{2} + \frac{3+y}{2} = 5\)，解得\(x + y = 6\)。
又因为\(A\)和\(B\)关于直线\(x + y = 5\)对称，所以\(A\)和\(B\)到直线的距离相等，且斜率互为相反数。
根据对称性，有\(\frac{y-3}{x-2} = -1\)，联立\(x + y = 6\)，解得\(x = 4\)，\(y = 2\)。

题目：若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_5 = 35\)，\(S_8 = 68\)，则\(\{a_n\}\)的公差\(d\)为多少？

答案：\(d = 3\)。

解析：

根据等差数列的前\(n\)项和公式\(S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\)，代入\(S_5 = 35\)和\(S_8 = 68\)，得到两个方程：
- \(35 = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d)\)
- \(68 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d)\)
解这个方程组，得到\(a_1 = 1\)，\(d = 3\)。

题目：若复数\(z = a + bi\)（其中\(a, b \in \mathbb{R}\)）满足\(|z - 1| = |z + 1|\)，则实部\(a\)等于多少？

答案：\(a = 0\)。

解析：

题目：已知函数\(f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x - 1}\)，求\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)。

答案：\(f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}\)。

解析：

使用商法则求导，设\(u(x) = x^2 - 4x + 3\)，\(v(x) = x - 1\)。
则\(u'(x) = 2x - 4\)，\(v'(x) = 1\)。
代入商法则，得到\(f'(x) = \frac{(x^2 - 4x + 3)'(x - 1) - (x^2 - 4x + 3)(x - 1)'}{(x - 1)^2}\)。
化简得到\(f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}\)。

题目：已知等比数列\(\{a_n\}\)的首项\(a_1 = 2\)，公比\(q = 3\)，求\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)。

答案：\(S_n = 2 \times \frac{1 - 3^n}{1 - 3} = \frac{3^n - 2}{2}\)。

解析：

根据等比数列的前\(n\)项和公式\(S_n = a_1 \times \frac{1 - q^n}{1 - q}\)，代入\(a_1 = 2\)，\(q = 3\)。
化简得到\(S_n = \frac{3^n - 2}{2}\)。

以上是对高考数学全国二卷理科部分的答案解析及详解，希望能帮助到考生们更好地理解和掌握这些知识点。