引言

亲爱的读者，大家好！今天我们要一起探索的是高考数学中的一道经典题目，这道题目选自国开版《高等数学》性考4。在这篇文章中，我将详细解析这道题目的解题思路，帮助大家更好地理解高等数学的应用。

题目回顾

假设某工厂生产一种产品，其总成本函数为 \(C(x) = 500 + 20x + 0.5x^2\)（其中 \(x\) 为生产的产品数量），求：

  1. 当生产数量为多少时，平均成本最低？
  2. 此时，平均成本是多少？

解题步骤

1. 理解题目

首先，我们需要明确题目所求的内容。题目要求我们找到平均成本最低时的生产数量以及对应的平均成本。平均成本可以通过总成本函数除以生产数量得到。

2. 计算平均成本

平均成本函数 \(A(x)\) 可以表示为： $\( A(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{500 + 20x + 0.5x^2}{x} = \frac{500}{x} + 20 + 0.5x \)$

3. 求平均成本最低时的生产数量

为了找到平均成本最低时的生产数量，我们需要对平均成本函数求导，并找到导数为零的点。

\[ A'(x) = -\frac{500}{x^2} + 0.5 \]

令 \(A'(x) = 0\)，解得： $\( -\frac{500}{x^2} + 0.5 = 0 \\ \frac{500}{x^2} = 0.5 \\ x^2 = 1000 \\ x = 10 \quad (\text{因为生产数量不能为负，所以我们只考虑正数解}) \)$

4. 计算最低平均成本

将 \(x = 10\) 代入平均成本函数 \(A(x)\)，得到： $\( A(10) = \frac{500}{10} + 20 + 0.5 \times 10 = 50 + 20 + 5 = 75 \)$

结论

通过以上步骤，我们得到了以下结论：

  1. 当生产数量为10时，平均成本最低。
  2. 此时，平均成本为75。

总结

这道题目主要考察了我们对成本函数和平均成本的理解，以及求导和求最值的能力。通过这道题目的解析，我们可以更好地理解高等数学在实际问题中的应用。希望这篇文章能够帮助你更好地掌握相关知识。如果你还有其他问题，欢迎随时提问！