第一节：集合

知识点

  1. 集合的概念：集合是由确定的、互不相同的元素组成的整体。
  2. 集合的表示法：列举法和描述法。
  3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集。
  4. 集合的性质：交换律、结合律、分配律。

答案详解

例题1：用列举法表示集合Q中所有小于5的整数。

答案：Q中的所有小于5的整数为 {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}。

例题2：已知集合A={x | x∈N，x≤3}，集合B={x | x是偶数}，求A∩B。

答案：A={0, 1, 2, 3}，B={0, 2, 4, 6, …}，A∩B={0, 2}。

第二节：函数

知识点

  1. 函数的定义：对于集合A中的每一个元素x，按照某个确定的规则f，都有集合B中的一个唯一元素y与之对应。
  2. 函数的表示法：列表法、图象法、解析式法。
  3. 函数的性质：奇偶性、单调性、周期性。

答案详解

例题1：若函数f(x) = 2x + 1，求f(3)。

答案：f(3) = 2×3 + 1 = 7。

例题2：函数f(x) = x²在区间[-2, 2]上是否具有单调性？

答案：函数f(x) = x²在区间[-2, 0]上单调递减，在区间[0, 2]上单调递增。

第三节：不等式

知识点

  1. 不等式的概念：用不等号（<、>、≤、≥）连接的式子。
  2. 不等式的性质：不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘除同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘除同一个负数，不等号的方向改变。
  3. 解不等式的方法：移项、合并同类项、系数化为1。

答案详解

例题1：解不等式 3x - 5 < 2x + 1。

答案：移项得 x < 6。

例题2：解不等式组 [ \begin{cases} 2x + 3 > 5 \ x - 4 ≤ 2 \end{cases} ]

答案：第一个不等式解得 x > 2；第二个不等式解得 x ≤ 6。因此，不等式组的解集为 2 < x ≤ 6。

第四节：数列

知识点

  1. 数列的概念：按照一定的顺序排列的一列数。
  2. 数列的通项公式：an = f(n)。
  3. 数列的求和公式：等差数列求和公式、等比数列求和公式。

答案详解

例题1：已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，求前5项的和。

答案：a1 = 1, a2 = 4, a3 = 7, a4 = 10, a5 = 13，所以前5项的和为 1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 35。

例题2：等比数列的首项为2，公比为3，求前5项的和。

答案：前5项的和为 2 + 2×3 + 2×3² + 2×3³ + 2×3⁴ = 2(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴) = 2×40 = 80。