函数是高职单招数学考试中的核心内容，也是许多考生感到困难的部分。函数概念抽象、性质多样、应用广泛，掌握函数的基础知识和解题技巧对于提高考试成绩至关重要。本文将系统梳理高职单招函数基础的高频考点，精选典型例题和易错题进行详细解析，帮助考生高效备考，突破函数学习的难点。
一、函数的基本概念与表示方法
1.1 函数的定义与三要素
函数是描述两个非空数集之间对应关系的数学模型。理解函数的定义需要把握三个关键要素：定义域、对应法则和值域。
定义域：自变量x的取值范围。在实际问题中，定义域受实际意义和数学运算限制。 对应法则：通常用f(x)表示，表示x与y之间的对应关系。 值域：函数值y的取值范围。
例题1：判断下列对应关系是否为函数： (1) x∈R，y=x² (2) x∈R，y=√x (3) x∈R，y=±√x
解析： (1) 是函数。对于任意实数x，都有唯一的平方数y与之对应。 (2) 不是函数。当x时，√x在实数范围内无意义，定义域不完整。 (3) 不是函数。对于任意非零实数x，都有两个值（正负平方根）与之对应，不满足函数的唯一性要求。
易错点提醒：判断对应关系是否为函数时，必须同时考虑定义域和对应法则的完整性。常见错误是忽略定义域的限制或忽略对应关系的唯一性。
1.2 函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种：解析法、列表法和图象法。
解析法：用数学表达式表示函数关系，如f(x)=2x+1。 列表法：通过表格列出自变量与函数值的对应关系。 图象法：在坐标系中用图形表示函数关系。
例题2：已知函数f(x)的图象如图所示（假设图象为经过点(0,1)和(2,3)的直线），写出该函数的解析式。
解析：由图象可知，函数为一次函数。设f(x)=kx+b，代入点(0,1)得b=1，代入点(2,3)得2k+1=3，解得k=1。因此f(x)=x+1。
易错点提醒：由图象求解析式时，要注意图象的定义域和值域，避免忽略特殊点（如端点、断点）。
二、函数的定义域与值域
2.1 函数的定义域
求函数定义域是函数学习的基础，常见类型包括：
类型1：分式函数：分母不为零。 类型2：偶次根式：被开方数非负。 类型3：对数函数：真数大于零。 类型4：复合函数：逐层分析。
例题3：求函数f(x)=√(x-2)+1/(x-3)的定义域。
解析： 由题意，需要同时满足：
- x-2 ≥ 0 （根号内非负）
- x-3 ≠ 0 （分母不为零）
解得：x ≥ 2 且 x ≠ 3。 因此定义域为[2,3)∪(3,+∞)。
易错点提醒：求定义域时，容易遗漏某个限制条件，特别是复合函数中容易忽略内层函数的定义域。
2.2 函数的值域
求值域的方法多样，常见方法有：
方法1：配方法：适用于二次函数。 方法2：换元法：适用于复合函数。 方法3：单调性法：利用函数的单调性。 方法4：判别式法：适用于二次函数形式。
例题4：求函数f(x)=x²-4x+3在区间[0,3]上的值域。
解析： 配方得：f(x)=(x-2)²-1。 该二次函数开口向上，对称轴为x=2。 在区间[0,3]上：
- 当x=2时，取得最小值-1
- 当x=0时，f(0)=3
- 当x=3时，f(3)=0 因此值域为[-1,3]。
易错点提醒：求值域时必须考虑定义域的限制，不能直接对整个定义域求值域。常见错误是忽略区间限制。
三、函数的性质
3.1 函数的单调性
函数的单调性描述函数值随自变量变化的趋势。
定义：设函数f(x)在区间I上，对于任意x₁,x₂∈I，若x₁
例题5：判断函数f(x)=x³在R上的单调性。
解析：
方法1：定义法。任取x₁
方法2：导数法（高职单招可能涉及）。f’(x)=3x²≥0，等号仅在x=0时成立，所以f(x)在R上单调递增。
易错点提醒：判断单调性时，必须严格使用定义或导数，不能仅凭图象直观判断。对于分段函数，要分段讨论。
3.2 函数的奇偶性
函数的奇偶性描述函数图象的对称性。
定义：设函数f(x)的定义域关于原点对称。
- 若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数。
- 若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数。
例题6：判断函数f(x)=x³+2x的奇偶性。
解析： 定义域为R，关于原点对称。 f(-x)=(-x)³+2(-x)=-x³-2x=-(x³+2x)=-f(x)。 因此f(x)是奇函数。
易错点提醒：判断奇偶性前必须先检查定义域是否关于原点对称。常见错误是忽略定义域的对称性。
3.3 函数的周期性
周期性在三角函数中尤为重要。
定义：若存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)对定义域内任意x成立，则称f(x)为周期函数，T为周期。
例题7：已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求其最小正周期。
解析： 对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)，最小正周期T=2π/|ω|。 这里ω=2，所以T=2π/2=π。
易错点提醒：求周期时要注意绝对值，避免符号错误。
四、基本初等函数
4.1 一次函数与二次函数
一次函数：f(x)=kx+b (k≠0)。性质：单调性取决于k的符号，图象为直线。 二次函数：f(x)=ax²+bx+c (a≠0)。性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、最值。
例题8：已知二次函数f(x)=x²-2x-3，求其顶点坐标和最值。
解析： 配方：f(x)=(x-1)²-4。 顶点坐标为(1,-4)。 由于a=1>0，开口向上，所以最小值为-4，无最大值。
易错点提醒：求最值时必须考虑定义域，若定义域不是全体实数，最值可能在端点取得。
4.2 指数函数与对数函数
指数函数：f(x)=a^x (a>0且a≠1)。性质：当a>1时单调递增，当0
例题9：比较大小：log₂3与log₃2。
解析：
方法1：利用中间值1。
log₂3>log₂2=1，log₃2
方法2：换底公式。 log₂3=ln3/ln2，log₃2=ln2/ln3。 由于ln3>ln2>0，所以ln3/ln2>1>ln2/ln3。
易错点提醒：比较对数大小时，注意底数和真数的范围，避免混淆单调性。
4.3 三角函数
正弦函数：f(x)=sinx，周期2π，值域[-1,1]。 余弦函数：f(x)=cosx，周期2π，值域[-1,1]。 正切函数：f(x)=tanx，周期π，定义域{x|x≠π/2+kπ}。
例题10：求函数f(x)=2sinx+3cosx的最大值。
解析： 利用辅助角公式：f(x)=√(2²+3²)sin(x+φ)=√13sin(x+φ)，其中tanφ=3/2。 所以最大值为√13。
易错点提醒：辅助角公式中，系数平方和开方后取正号，注意φ的确定。
五、函数的图象与变换
5.1 函数图象的基本变换
平移变换：左加右减，上加下减。 伸缩变换：横坐标伸缩影响周期，纵坐标伸缩影响振幅。 对称变换：关于x轴、y轴、原点对称。
例题11：将函数y=sin(2x)的图象向右平移π/4个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，求新函数的解析式。
解析：
- 向右平移π/4：y=sin[2(x-π/4)]=sin(2x-π/2)
- 横坐标伸长为原来的2倍（即周期变为原来的2倍）：y=sin[(2x-π/2)/2]=sin(x-π/4)
易错点提醒：变换顺序很重要，先平移后伸缩与先伸缩后平移结果不同。伸缩变换中，横坐标伸长对应周期变大，系数变小。
5.2 函数图象的对称性
轴对称：若f(a+x)=f(a-x)，则图象关于直线x=a对称。 中心对称：若f(a+x)+f(a-x)=2b，则图象关于点(a,b)对称。
例题12：证明函数f(x)=x³关于原点对称。
解析： f(-x)=(-x)³=-x³=-f(x)，满足奇函数定义，所以关于原点对称。
易错点提醒：对称性的判断需要严格验证定义，不能仅凭图象。
六、函数的应用
6.1 函数模型的应用
函数在实际问题中的应用广泛，如利润、成本、面积等。
例题13：某商店销售一种商品，进价为每件40元，售价为每件60元。如果每天销售x件，利润为y元。 (1) 写出y与x的函数关系式。 (2) 若每天至少销售10件，最多销售50件，求利润y的取值范围。
解析： (1) 每件利润为60-40=20元，所以y=20x。 (2) 由10≤x≤50，得200≤y≤1000。
易错点提醒：实际问题中，定义域受实际意义限制，不能忽略。
6.2 函数方程与不等式
例题14：解不等式f(x)=x²-4x+3>0。
解析： 因式分解：(x-1)(x-3)>0。 解得x<1或x>3。 所以解集为(-∞,1)∪(3,+∞)。
易错点提醒：解不等式时，注意二次函数的开口方向，避免符号错误。
七、高频考点总结与备考建议
7.1 高频考点
- 定义域与值域：特别是复合函数的定义域。
- 函数性质：单调性、奇偶性的判断与应用。
- 基本初等函数：指数、对数、三角函数的性质与比较。
- 函数图象：变换与对称性。
- 函数应用：实际问题建模。
7.2 易错题型
- 忽略定义域：求值域、解方程时忘记考虑定义域限制。
- 单调性判断错误：对于分段函数或复合函数，未分段讨论。
- 奇偶性判断错误：未检查定义域对称性。
- 图象变换顺序错误：平移与伸缩的顺序混淆。
- 实际问题建模错误：忽略实际意义的定义域限制。
7.3 备考建议
- 系统复习：按照知识模块系统复习，建立知识网络。
- 精练例题：针对高频考点和易错题型，进行专项训练。
- 总结归纳：整理错题本，总结解题方法和易错点。
- 模拟训练：定期进行模拟考试，熟悉考试节奏。
- 重视基础：函数的基础概念和性质是解题的根本，必须扎实掌握。
八、精选题库与解析
8.1 基础题
题1：求函数f(x)=1/(x-2)的定义域。 答案：{x|x≠2}。
题2：判断函数f(x)=x²+|x|的奇偶性。 解析：f(-x)=(-x)²+|-x|=x²+|x|=f(x)，所以是偶函数。
8.2 中档题
题3：已知函数f(x)=2^x，g(x)=x²，求复合函数f(g(x))的定义域。 解析：f(g(x))=2^(x²)，定义域为全体实数R。
题4：求函数f(x)=x²-2x在区间[0,3]上的最大值和最小值。 解析：配方得f(x)=(x-1)²-1。对称轴x=1在区间内，最小值为-1；端点x=0时f=0，x=3时f=3，所以最大值为3。
8.3 综合题
题5：已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求： (1) 最小正周期； (2) 单调递增区间； (3) 最大值及取得最大值时的x值。
解析： (1) T=2π/2=π。 (2) 由-π/2+2kπ≤2x+π/3≤π/2+2kπ，解得-5π/12+kπ≤x≤π/12+kπ。 (3) 最大值为1，当2x+π/3=π/2+2kπ，即x=π/12+kπ时取得。
九、结语
函数是高职单招数学的核心内容，掌握函数的基础知识和解题技巧对于提高考试成绩至关重要。通过系统复习高频考点、精练典型例题、总结易错点，考生可以有效提升函数部分的解题能力。希望本文的解析和题库能为你的备考提供有力支持，祝你在考试中取得优异成绩！
备考小贴士：
- 每天安排固定时间复习函数知识，保持学习连续性。
- 建立错题本，定期回顾，避免重复犯错。
- 多与同学讨论，互相讲解，加深理解。
- 考前进行模拟训练，熟悉考试题型和时间分配。
- 保持良好心态，函数学习需要耐心和积累，相信自己一定能掌握！
通过以上系统的学习和训练，相信你一定能够攻克函数这一难关，在高职单招考试中取得理想的成绩！