引言

高中数学必修五是许多高中生数学学习的转折点，其中前两章“解三角形”和“数列”不仅是高考的重点和难点，更是培养逻辑思维和数学建模能力的关键章节。本篇文章将系统梳理这两章的常见题型，并结合具体实例，深入剖析解题技巧，帮助同学们在面对复杂题目时能够游刃有余。

第一章：解三角形

解三角形主要涉及正弦定理、余弦定理以及面积公式的应用。题目通常以三角形为背景，结合向量、函数等知识进行综合考查。

1.1 正弦定理与余弦定理

1.1.1 正弦定理

正弦定理：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即： $\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)\( 其中，\)R$ 为三角形外接圆半径。

适用场景：

  • 已知两角一边，求其他角或边。
  • 已知两边和其中一边的对角，求其他角或边（此时可能有两解、一解或无解）。

例题 1：在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(A=45^\circ\)，\(B=60^\circ\)，\(a=10\)，求 \(b\) 和 \(c\)。

解题技巧：

  1. 利用三角形内角和定理求出 \(C=75^\circ\)。
  2. 使用正弦定理求 \(b\)： $\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{6} \)$
  3. 同理，求 \(c\)： $\( c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{10 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \)\( 其中 \)\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\(，代入得： \)\( c = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5(\sqrt{3}+1) \)$

1.1.2 余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的2倍，即： $\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)$

适用场景：

  • 已知两边及其夹角，求第三边。
  • 已知三边，求角（此时通常有唯一解）。

例题 2：在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(b=3\)，\(c=4\)，\(A=60^\circ\)，求 \(a\)。

解题技巧： 直接使用余弦定理： $\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13 \)\( 所以 \)a = \sqrt{13}$。

1.2 面积公式

三角形面积公式是解三角形中的重要工具，常见形式有：

  1. 基本公式：\(S = \frac{1}{2}ah_a\)（底乘高除以2）。
  2. 两边夹角公式：\(S = \frac{1}{2}bc \sin A\)。
  3. 海伦公式：\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)，其中 \(p = \frac{a+b+c}{2}\)。

例题 3：在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(a=7\)，\(b=8\)，\(c=9\)，求 \(S\)。

解题技巧： 使用海伦公式：

  1. 计算半周长 \(p = \frac{7+8+9}{2} = 12\)。
  2. 代入公式： $\( S = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \)$

1.3 实际应用题

实际应用题通常涉及测量、航海、物理等问题，关键是将实际问题转化为数学模型。

例题 4：如图，要测量山高 \(AB\)，在地面上选一条基线 \(CD=100\) 米，在 \(C\) 点测得山顶仰角为 \(30^\circ\)，在 \(D\) 点测得山顶仰角为 \(45^\circ\)，且 \(\angle BCD=120^\circ\)，求山高 \(AB\)。

解题技巧：

  1. 设 \(AB = h\)。
  2. 在 Rt\(\triangle ABC\) 中，\(BC = h \cot 30^\circ = \sqrt{3}h\)。
  3. 在 Rt\(\triangle ABD\) 中，\(BD = h \cot 45^\circ = h\)。
  4. 在 \(\triangle BCD\) 中，使用余弦定理： $\( CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos 120^\circ \)\( \)\( 100^2 = (\sqrt{3}h)^2 + h^2 - 2 \cdot \sqrt{3}h \cdot h \cdot (-\frac{1}{2}) \)\( \)\( 10000 = 3h^2 + h^2 + \sqrt{3}h^2 = (4+\sqrt{3})h^2 \)\( \)\( h^2 = \frac{10000}{4+\sqrt{3}} \Rightarrow h = \frac{100}{\sqrt{4+\sqrt{3}}} \)$

1.4 综合技巧总结

  1. 边角互化：正弦定理实现边化角或角化边，余弦定理实现边角互化。
  2. 三角恒等变换：在解题中经常需要使用和差化积、二倍角公式等。
  3. 分类讨论：已知两边及一边对角时，注意解的个数讨论。
  4. 建模思想：将实际问题转化为三角形模型，找准已知量和未知量。

第二章：数列

数列是高中数学的重要内容，主要考查等差数列、等比数列的性质以及通项公式、求和公式的应用。

2.1 等差数列

2.1.1 通项公式与性质

通项公式： $\( a_n = a_1 + (n-1)d \)$

性质：

  • 若 \(m+n=p+q\)，则 \(a_m + a_n = a_p + a_q\)。
  • \(a_n\) 是关于 \(n\) 的一次函数。

例题 5：已知等差数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_3=7\)，\(a_7=19\)，求 \(a_{10}\)。

解题技巧：

  1. 设首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)。
  2. 列方程组： $\( \begin{cases} a_1 + 2d = 7 \\ a_1 + 6d = 19 \end{cases} \)$
  3. 解得 \(d=3\)，\(a_1=1\)。
  4. 所以 \(a_{10} = a_1 + 9d = 1 + 27 = 28\)。

2.1.2 前n项和公式

公式： $\( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d \)$

例题 6：等差数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \(S_{10}=100\)，\(S_{100}=1000\)，求 \(S_{1000}\)。

解题技巧：

  1. 利用公式 \(S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d\)。
  2. 列方程组： $\( \begin{cases} 10a_1 + 45d = 100 \\ 100a_1 + 4950d = 1000 \end1000 \end{cases} \)$
  3. 解得 \(a_1 = \frac{55}{9}\)，\(d = -\frac{1}{9}\)。
  4. 代入 \(S_{1000} = 1000a_1 + \frac{1000 \cdot 999}{2}d = 1000 \cdot \frac{55}{9} + 500 \cdot 999 \cdot (-\frac{1}{9}) = \frac{55000 - 499500}{9} = -50500\)。

2.2 等比数列

2.2.1 通项公式与性质

通项公式： $\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)$

性质：

  • 若 \(m+n=p+q\)，则 \(a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q\)。
  • \(a_n\) 是关于 \(n\) 的指数函数。

例题 7：在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \(a_1=2\)，\(a_4=16\)，求 \(a_n\)。

解题技巧：

  1. 由 \(a_4 = a_1 q^3 \Rightarrow 16 = 2 q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q=2\)。
  2. 所以 \(a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n\)。

2.2.2 前n项和公式

公式：

  • 当 \(q \neq 1\) 时，\(S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}\)。
  • 当 \(q = 1\) 时，\(S_n = n a_1\)。

例题 8：等比数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \(a_1=3\)，\(q=2\)，求 \(S_5\)。

解题技巧： 直接使用公式： $\( S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = \frac{3(1-32)}{-1} = 3 \times 31 = 93 \)$

2.3 数列求和方法

2.3.1 公式法

适用于等差、等比数列。

2.3.2 错位相减法

适用于 \(\{a_n b_n\}\) 型，其中 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(\{b_n\}\) 是等比数列。

例题 9：求 \(S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n\)。

解题技巧：

  1. 设 \(S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n\)。
  2. 两边同乘公比 2： $\( 2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1} \)$
  3. 两式相减： $\( S_n - 2S_n = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1} \)\( \)\( -S_n = \frac{2(1-2^n)}{1-2} - n \cdot 2^{n+1} = (2^{n+1} - 2) - n \cdot 2^{n+1} \)\( \)\( S_n = (n-1)2^{n+1} + 2 \)$

2.3.3 裂项相消法

适用于形如 \(\frac{1}{a_n a_{n+1}}\) 的数列求和。

例题 10：求 \(S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}\)。

解题技巧：

  1. 裂项：\(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)。
  2. 求和： $\( S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \)$

2.3.4 分组转化法

适用于由等差和等比数列混合组成的数列。

例题 11：求 \(S = 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + \cdots + (3n-2) + (3n-1)\)。

解题技巧：

  1. 观察数列：奇数项为等差数列（1,4,7,…），偶数项为等差数列（2,5,8,…）。
  2. 分组求和：
    • 奇数项：首项1，公差3，项数 \(n\)，和 \(S_1 = \frac{n(1+3n-2)}{2} = \frac{n(3n-1)}{2}\)。
    • 偶数项：首项2，公差3，项数 \(n\)，和 \(S_2 = \frac{n(2+3n-1)}{2} = \frac{n(3n+1)}{2}\)。
  3. 总和 \(S = S_1 + S_2 = \frac{n(3n-1 + 3n+1)}{2} = 3n^2\)。

2.4 数列的综合应用

2.4.1 由 \(S_n\) 求 \(a_n\)

核心公式： $\( a_n = \begin{cases} S_1, & n=1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \geq 2 \end{cases} \)\( **注意**：必须验证 \)n=1\( 时是否满足 \)n \geq 2$ 的表达式。

例题 12：已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = 2n^2 - 3n + 1\)，求 \(a_n\)。

解题技巧：

  1. 当 \(n=1\) 时，\(a_1 = S_1 = 2-3+1=0\)。
  2. 当 \(n \geq 2\) 时， $\( a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - 3n + 1) - [2(n-1)^2 - 3(n-1) + 1] \)\( \)\( = 2n^2 - 3n + 1 - [2(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3 + 1] \)\( \)\( = 2n^2 - 3n + 1 - (2n^2 - 7n + 6) = 4n - 5 \)$
  3. 验证：当 \(n=1\) 时，\(4 \cdot 1 - 5 = -1 \neq a_1\)，所以： $\( a_n = \begin{cases} 0, & n=1 \\ 4n-5, & n \geq 2 \end{cases} \)$

2.4.2 递推数列

常见递推式：

  • \(a_{n+1} = a_n + d\)（等差数列）。
  • \(a_{n+1} = q a_n\)（等比数列）。
  • \(a_{n+1} = a_n + f(n)\)（累加法）。
  • \(a_{n+1} = a_n \cdot f(n)\)（累乘法）。
  • \(a_{n+1} = k a_n + b\)（构造等比数列）。

例题 13：已知 \(a_1=1\)，\(a_{n+1} = 2a_n + 1\)，求 \(a_n\)。

解题技巧（构造法）：

  1. 设 \(a_{n+1} + \lambda = 2(a_n + \lambda)\)。
  2. 展开：\(a_{n+1} = 2a_n + \lambda\)。
  3. 对比原式 \(a_{n+1} = 2a_n + 1\)，得 \(\lambda = 1\)。
  4. 所以 \(a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)\)。
  5. 数列 \(\{a_n + 1\}\) 是首项为 \(a_1 + 1 = 2\)，公比为 2 的等比数列。
  6. 故 \(a_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n\)，即 \(a_n = 2^n - 1\)。

总结

解三角形和数列是高中数学必修五的核心内容，掌握它们不仅有助于应对高考，更能提升数学思维能力。

解三角形的关键在于：

  • 熟练运用正弦定理和余弦定理进行边角互化。
  • 灵活选择面积公式。
  • 将实际问题准确转化为三角形模型。

数列的关键在于：

  • 牢固掌握等差、等比数列的性质和公式。
  • 熟悉各种求和方法（错位相减、裂项相消等）。
  • 掌握由 \(S_n\) 求 \(a_n\) 的方法及递推数列的处理技巧。

希望本篇文章能为同学们的学习提供有力帮助！# 高中生必修五数学前两章解三角形与数列常见题目类型与解题技巧全解析

引言

高中数学必修五是许多高中生数学学习的转折点，其中前两章“解三角形”和“数列”不仅是高考的重点和难点，更是培养逻辑思维和数学建模能力的关键章节。本篇文章将系统梳理这两章的常见题型，并结合具体实例，深入剖析解题技巧，帮助同学们在面对复杂题目时能够游刃有余。

第一章：解三角形

解三角形主要涉及正弦定理、余弦定理以及面积公式的应用。题目通常以三角形为背景，结合向量、函数等知识进行综合考查。

1.1 正弦定理与余弦定理

1.1.1 正弦定理

正弦定理：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即： $\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)\( 其中，\)R$ 为三角形外接圆半径。

适用场景：

  • 已知两角一边，求其他角或边。
  • 已知两边和其中一边的对角，求其他角或边（此时可能有两解、一解或无解）。

例题 1：在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(A=45^\circ\)，\(B=60^\circ\)，\(a=10\)，求 \(b\) 和 \(c\)。

解题技巧：

  1. 利用三角形内角和定理求出 \(C=75^\circ\)。
  2. 使用正弦定理求 \(b\)： $\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{10 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{6} \)$
  3. 同理，求 \(c\)： $\( c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{10 \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ} \)\( 其中 \)\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\(，代入得： \)\( c = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5(\sqrt{3}+1) \)$

1.1.2 余弦定理

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的2倍，即： $\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)$

适用场景：

  • 已知两边及其夹角，求第三边。
  • 已知三边，求角（此时通常有唯一解）。

例题 2：在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(b=3\)，\(c=4\)，\(A=60^\circ\)，求 \(a\)。

解题技巧： 直接使用余弦定理： $\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13 \)\( 所以 \)a = \sqrt{13}$。

1.2 面积公式

三角形面积公式是解三角形中的重要工具，常见形式有：

  1. 基本公式：\(S = \frac{1}{2}ah_a\)（底乘高除以2）。
  2. 两边夹角公式：\(S = \frac{1}{2}bc \sin A\)。
  3. 海伦公式：\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)，其中 \(p = \frac{a+b+c}{2}\)。

例题 3：在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(a=7\)，\(b=8\)，\(c=9\)，求 \(S\)。

解题技巧： 使用海伦公式：

  1. 计算半周长 \(p = \frac{7+8+9}{2} = 12\)。
  2. 代入公式： $\( S = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5} \)$

1.3 实际应用题

实际应用题通常涉及测量、航海、物理等问题，关键是将实际问题转化为数学模型。

例题 4：如图，要测量山高 \(AB\)，在地面上选一条基线 \(CD=100\) 米，在 \(C\) 点测得山顶仰角为 \(30^\circ\)，在 \(D\) 点测得山顶仰角为 \(45^\circ\)，且 \(\angle BCD=120^\circ\)，求山高 \(AB\)。

解题技巧：

  1. 设 \(AB = h\)。
  2. 在 Rt\(\triangle ABC\) 中，\(BC = h \cot 30^\circ = \sqrt{3}h\)。
  3. 在 Rt\(\triangle ABD\) 中，\(BD = h \cot 45^\circ = h\)。
  4. 在 \(\triangle BCD\) 中，使用余弦定理： $\( CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos 120^\circ \)\( \)\( 100^2 = (\sqrt{3}h)^2 + h^2 - 2 \cdot \sqrt{3}h \cdot h \cdot (-\frac{1}{2}) \)\( \)\( 10000 = 3h^2 + h^2 + \sqrt{3}h^2 = (4+\sqrt{3})h^2 \)\( \)\( h^2 = \frac{10000}{4+\sqrt{3}} \Rightarrow h = \frac{100}{\sqrt{4+\sqrt{3}}} \)$

1.4 综合技巧总结

  1. 边角互化：正弦定理实现边化角或角化边，余弦定理实现边角互化。
  2. 三角恒等变换：在解题中经常需要使用和差化积、二倍角公式等。
  3. 分类讨论：已知两边及一边对角时，注意解的个数讨论。
  4. 建模思想：将实际问题转化为三角形模型，找准已知量和未知量。

第二章：数列

数列是高中数学的重要内容，主要考查等差数列、等比数列的性质以及通项公式、求和公式的应用。

2.1 等差数列

2.1.1 通项公式与性质

通项公式： $\( a_n = a_1 + (n-1)d \)$

性质：

  • 若 \(m+n=p+q\)，则 \(a_m + a_n = a_p + a_q\)。
  • \(a_n\) 是关于 \(n\) 的一次函数。

例题 5：已知等差数列 \(\{a_n\}\) 中，\(a_3=7\)，\(a_7=19\)，求 \(a_{10}\)。

解题技巧：

  1. 设首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)。
  2. 列方程组： $\( \begin{cases} a_1 + 2d = 7 \\ a_1 + 6d = 19 \end{cases} \)$
  3. 解得 \(d=3\)，\(a_1=1\)。
  4. 所以 \(a_{10} = a_1 + 9d = 1 + 27 = 28\)。

2.1.2 前n项和公式

公式： $\( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d \)$

例题 6：等差数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \(S_{10}=100\)，\(S_{100}=1000\)，求 \(S_{1000}\)。

解题技巧：

  1. 利用公式 \(S_n = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d\)。
  2. 列方程组： $\( \begin{cases} 10a_1 + 45d = 100 \\ 100a_1 + 4950d = 1000 \end{cases} \)$
  3. 解得 \(a_1 = \frac{55}{9}\)，\(d = -\frac{1}{9}\)。
  4. 代入 \(S_{1000} = 1000a_1 + \frac{1000 \cdot 999}{2}d = 1000 \cdot \frac{55}{9} + 500 \cdot 999 \cdot (-\frac{1}{9}) = \frac{55000 - 499500}{9} = -50500\)。

2.2 等比数列

2.2.1 通项公式与性质

通项公式： $\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)$

性质：

  • 若 \(m+n=p+q\)，则 \(a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q\)。
  • \(a_n\) 是关于 \(n\) 的指数函数。

例题 7：在等比数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \(a_1=2\)，\(a_4=16\)，求 \(a_n\)。

解题技巧：

  1. 由 \(a_4 = a_1 q^3 \Rightarrow 16 = 2 q^3 \Rightarrow q^3 = 8 \Rightarrow q=2\)。
  2. 所以 \(a_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n\)。

2.2.2 前n项和公式

公式：

  • 当 \(q \neq 1\) 时，\(S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1 - a_n q}{1-q}\)。
  • 当 \(q = 1\) 时，\(S_n = n a_1\)。

例题 8：等比数列 \(\{a_n\}\) 中，已知 \(a_1=3\)，\(q=2\)，求 \(S_5\)。

解题技巧： 直接使用公式： $\( S_5 = \frac{3(1-2^5)}{1-2} = \frac{3(1-32)}{-1} = 3 \times 31 = 93 \)$

2.3 数列求和方法

2.3.1 公式法

适用于等差、等比数列。

2.3.2 错位相减法

适用于 \(\{a_n b_n\}\) 型，其中 \(\{a_n\}\) 是等差数列，\(\{b_n\}\) 是等比数列。

例题 9：求 \(S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n\)。

解题技巧：

  1. 设 \(S_n = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \cdots + n \cdot 2^n\)。
  2. 两边同乘公比 2： $\( 2S_n = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \cdots + (n-1) \cdot 2^n + n \cdot 2^{n+1} \)$
  3. 两式相减： $\( S_n - 2S_n = 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1} \)\( \)\( -S_n = \frac{2(1-2^n)}{1-2} - n \cdot 2^{n+1} = (2^{n+1} - 2) - n \cdot 2^{n+1} \)\( \)\( S_n = (n-1)2^{n+1} + 2 \)$

2.3.3 裂项相消法

适用于形如 \(\frac{1}{a_n a_{n+1}}\) 的数列求和。

例题 10：求 \(S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}\)。

解题技巧：

  1. 裂项：\(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\)。
  2. 求和： $\( S = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} \)$

2.3.4 分组转化法

适用于由等差和等比数列混合组成的数列。

例题 11：求 \(S = 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + \cdots + (3n-2) + (3n-1)\)。

解题技巧：

  1. 观察数列：奇数项为等差数列（1,4,7,…），偶数项为等差数列（2,5,8,…）。
  2. 分组求和：
    • 奇数项：首项1，公差3，项数 \(n\)，和 \(S_1 = \frac{n(1+3n-2)}{2} = \frac{n(3n-1)}{2}\)。
    • 偶数项：首项2，公差3，项数 \(n\)，和 \(S_2 = \frac{n(2+3n-1)}{2} = \frac{n(3n+1)}{2}\)。
  3. 总和 \(S = S_1 + S_2 = \frac{n(3n-1 + 3n+1)}{2} = 3n^2\)。

2.4 数列的综合应用

2.4.1 由 \(S_n\) 求 \(a_n\)

核心公式： $\( a_n = \begin{cases} S_1, & n=1 \\ S_n - S_{n-1}, & n \geq 2 \end{cases} \)\( **注意**：必须验证 \)n=1\( 时是否满足 \)n \geq 2$ 的表达式。

例题 12：已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和 \(S_n = 2n^2 - 3n + 1\)，求 \(a_n\)。

解题技巧：

  1. 当 \(n=1\) 时，\(a_1 = S_1 = 2-3+1=0\)。
  2. 当 \(n \geq 2\) 时， $\( a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 - 3n + 1) - [2(n-1)^2 - 3(n-1) + 1] \)\( \)\( = 2n^2 - 3n + 1 - [2(n^2 - 2n + 1) - 3n + 3 + 1] \)\( \)\( = 2n^2 - 3n + 1 - (2n^2 - 7n + 6) = 4n - 5 \)$
  3. 验证：当 \(n=1\) 时，\(4 \cdot 1 - 5 = -1 \neq a_1\)，所以： $\( a_n = \begin{cases} 0, & n=1 \\ 4n-5, & n \geq 2 \end{cases} \)$

2.4.2 递推数列

常见递推式：

  • \(a_{n+1} = a_n + d\)（等差数列）。
  • \(a_{n+1} = q a_n\)（等比数列）。
  • \(a_{n+1} = a_n + f(n)\)（累加法）。
  • \(a_{n+1} = a_n \cdot f(n)\)（累乘法）。
  • \(a_{n+1} = k a_n + b\)（构造等比数列）。

例题 13：已知 \(a_1=1\)，\(a_{n+1} = 2a_n + 1\)，求 \(a_n\)。

解题技巧（构造法）：

  1. 设 \(a_{n+1} + \lambda = 2(a_n + \lambda)\)。
  2. 展开：\(a_{n+1} = 2a_n + \lambda\)。
  3. 对比原式 \(a_{n+1} = 2a_n + 1\)，得 \(\lambda = 1\)。
  4. 所以 \(a_{n+1} + 1 = 2(a_n + 1)\)。
  5. 数列 \(\{a_n + 1\}\) 是首项为 \(a_1 + 1 = 2\)，公比为 2 的等比数列。
  6. 故 \(a_n + 1 = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n\)，即 \(a_n = 2^n - 1\)。

总结

解三角形和数列是高中数学必修五的核心内容，掌握它们不仅有助于应对高考，更能提升数学思维能力。

解三角形的关键在于：

  • 熟练运用正弦定理和余弦定理进行边角互化。
  • 灵活选择面积公式。
  • 将实际问题准确转化为三角形模型。

数列的关键在于：

  • 牢固掌握等差、等比数列的性质和公式。
  • 熟悉各种求和方法（错位相减、裂项相消等）。
  • 掌握由 \(S_n\) 求 \(a_n\) 的方法及递推数列的处理技巧。

希望本篇文章能为同学们的学习提供有力帮助！