引言
高中数学必修1是高中数学学习的起点，其中函数与集合是核心内容，也是高考和日常学习的重点与难点。许多学生在面对抽象的集合概念和函数性质时，常常感到困惑，尤其是课后习题中的易错题，更是考验对知识点的掌握程度。本文将针对高中数学必修1中函数与集合的课后习题进行详细答案解析，并重点剖析易错题，帮助你彻底搞懂这些难点。我们将从集合的基本运算入手，逐步深入到函数的定义、性质及应用，确保每个部分都有清晰的解释和完整的例子。通过本文的学习，你将能够系统掌握相关知识，避免常见错误，提高解题能力。
集合的基本概念与运算
集合是高中数学的基础，必修1中首先介绍了集合的定义、表示方法以及基本运算。课后习题往往考察学生对交集、并集、补集的理解和应用。下面，我们通过典型习题来详解答案，并指出易错点。
集合的定义与表示
集合是由一些确定的、互异的对象组成的整体。例如，集合A = {1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。表示方法有列举法和描述法。描述法如A = {x | x是小于5的正整数}，这在习题中常见。
典型习题详解：
习题：设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {1, 3, 5}，B = {2, 3, 4}，求A ∩ B和A ∪ B。
答案详解：
- 交集A ∩ B：找出A和B中共同的元素。A有1,3,5；B有2,3,4；共同元素只有3。所以A ∩ B = {3}。
- 并集A ∪ B：将A和B的所有元素合并，去除重复。A ∪ B = {1,2,3,4,5}。
这个习题考察基本运算，易错点是忘记去除重复元素或误将交集当成并集。记住：交集是“共同部分”，并集是“全部合并”。
集合的补集与Venn图
补集是相对于全集的，记作∁ᵤA，表示U中不属于A的元素。Venn图是可视化工具，常用于解决复杂习题。
典型习题详解：
习题：全集U = {x | x是小于10的正整数}，A = {x | x是偶数}，B = {x | x是3的倍数}，求∁ᵤ(A ∪ B)。
答案详解：
首先，U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}。
A = {2,4,6,8}（偶数）。
B = {3,6,9}（3的倍数）。
A ∪ B = {2,3,4,6,8,9}（合并后去除6重复）。
∁ᵤ(A ∪ B) = U - (A ∪ B) = {1,5,7}。
易错题解析：这里容易忽略全集的范围，或在求并集时遗漏元素。建议用Venn图辅助：画两个圈，一个A一个B，重叠部分是交集，全部覆盖是并集，外部是补集。这样能直观避免错误。
集合习题的易错点总结
- 元素互异性：集合元素必须互异，习题中若给出重复元素，需去重。
- 空集∅：空集是任何集合的子集，易错在认为∅不是子集。
- 子集与真子集：A ⊆ B表示A是B的子集，包括相等；A ⊂ B是真子集，不包括相等。习题常考判断包含关系。
通过这些详解，你应该能掌握集合运算。接下来，我们转向函数部分，这是必修1的重头戏。
函数的定义与表示
函数是描述变量间关系的工具，必修1中定义了函数的概念、定义域、值域和对应法则。课后习题多涉及求定义域和判断函数类型。
函数的基本定义
函数f: A → B表示从集合A（定义域）到B（值域）的映射，每个x∈A对应唯一y∈B。表示法有解析式、图像、列表等。
典型习题详解：
习题：判断下列对应是否为函数：(1) x → x²，其中x∈R；(2) x → ±√x，其中x≥0。
答案详解：
(1) 是函数。因为每个实数x对应唯一平方值x²，定义域R，值域[0, +∞)。
(2) 不是函数。因为每个x≥0对应两个值±√x，不满足唯一性。
易错点：函数必须是“一对一”或“多对一”，但不能“一对多”。习题中常出现像(2)这样的反例，学生易忽略唯一性。
定义域与值域的求法
定义域是使函数有意义的x的集合，值域是y的取值范围。求定义域时需考虑分母不为零、根号内非负等。
典型习题详解：
习题：求函数f(x) = √(x-2) + 1/(x-3)的定义域。
答案详解：
根号内：x-2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2。
分母：x-3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3。
所以定义域为[2,3) ∪ (3, +∞)。
易错题解析：学生常忘记分母不为零，或根号内负数导致无定义。另一个常见错误是忽略复合函数的定义域，如f(g(x))需先求g(x)的定义域，再求f的。
函数的表示法：解析式与图像
函数可用y = f(x)表示，图像通过描点法绘制。必修1重点是线性函数和二次函数的图像。
典型习题详解：
习题：画出函数y = x² - 2x + 1的图像，并求顶点。
答案详解：
这是二次函数，可配方：y = (x-1)²。
顶点(1,0)，开口向上。
图像：以(1,0)为顶点，对称轴x=1，经过点(0,1)、(2,1)等。
描点：x=0,y=1；x=1,y=0；x=2,y=1；连接成抛物线。
易错点：配方法易出错，如忘记常数项。图像平移时，y = (x-h)² + k表示向右h、向上k平移，学生常混淆方向。
函数的基本性质
函数性质包括单调性、奇偶性和周期性，这些是必修1的难点，也是课后习题的高频考点。下面详解典型题和易错题。
单调性与最值
单调性描述函数增减趋势，最值是函数在定义域内的最大或最小值。
典型习题详解：
习题：判断函数f(x) = -x² + 4在[-2,2]上的单调性，并求最大值。
答案详解：
f(x) = - (x² - 4) = - (x-2)(x+2)。
导数法（或观察）：在[-2,0]上递增，在[0,2]上递减。
最大值在x=0处，f(0)=4。
易错题解析：学生易忽略定义域限制，如在R上讨论最值。另一个错误是用错区间，如认为整个区间单调递减。
奇偶性
奇函数f(-x) = -f(x)，偶函数f(-x) = f(x)。图像关于原点或y轴对称。
典型习题详解：
习题：判断f(x) = x³ + x的奇偶性。
答案详解：
f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x = - (x³ + x) = -f(x)。
所以是奇函数。
易错点：必须检查定义域是否关于原点对称。若不对称，如f(x) = √x，定义域[0,+∞)不对称，则非奇非偶。习题常考此点。
函数性质的综合应用
典型习题详解：
习题：已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上递增，比较f(-2)和f(1)的大小。
答案详解：
偶函数f(-2) = f(2)。
在[0,+∞)上递增，2>1，所以f(2)>f(1)，即f(-2)>f(1)。
易错题解析：学生易忘记偶函数的对称性，直接比较负值。另一个错误是忽略单调性区间。
函数与集合的综合难点解析
必修1课后习题常将函数与集合结合，如求函数的定义域作为集合运算，或用集合表示函数的值域。这是难点，需要综合运用。
综合习题详解
习题：设A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | y = √(x-1)}，求A ∩ B，并讨论f(x) = x²在A ∪ B上的值域。
答案详解：
A：解x²-3x+2=0 ⇒ (x-1)(x-2)=0 ⇒ A={1,2}。
B：定义域x-1≥0 ⇒ x≥1，所以B=[1,+∞)。
A ∩ B = {1,2} ∩ [1,+∞) = {1,2}。
A ∪ B = {1,2} ∪ [1,+∞) = [1,+∞)。
f(x)=x²在[1,+∞)上递增，值域[1,+∞)。
易错题解析：求B时易忽略定义域，导致B=R错误。另一个是值域计算时忘记函数性质。
易错题总结与技巧
- 定义域陷阱：复合函数如f(g(x))，先求g的定义域，再求f的。
- 集合与函数结合：用集合表示定义域时，注意区间符号。
- 性质判断：奇偶性必查对称性；单调性必查区间。
- 技巧：多用图像辅助；练习时列步骤：求定义域→判断性质→计算结果。
通过这些详解，你应该能攻克函数与集合的难点。建议多做课后习题，反复练习易错题型。
结语
函数与集合是高中数学必修1的基石，掌握它们能为后续学习打下坚实基础。本文通过详细习题答案解析和易错题剖析，帮助你理清思路。记住，数学学习重在理解与练习，遇到难题时多用Venn图和函数图像辅助。坚持下去，你一定能彻底搞懂这些难点！如果还有疑问，欢迎继续探讨。