在项目管理中，计划评审图（Program Evaluation and Review Technique, PERT）是一种强大的工具，用于分析和规划项目任务的时间与资源。它通过图形化的方式展示任务之间的依赖关系，并结合概率估算来处理不确定性，从而帮助项目经理优化进度和资源分配。本文将深入探讨如何利用PERT图计算高效优化项目进度与资源分配，涵盖基本概念、计算方法、优化策略以及实际应用示例。

1. PERT图的基本概念与构建

PERT图是一种网络图，用于表示项目中各个任务及其依赖关系。每个任务用节点表示，任务之间的依赖关系用箭头连接。PERT图的关键在于它考虑了任务时间的不确定性，通常使用三种时间估算：

  • 乐观时间（Optimistic Time, O）：在最佳情况下完成任务所需的时间。
  • 最可能时间（Most Likely Time, M）：在正常情况下完成任务所需的时间。
  • 悲观时间（Pessimistic Time, P）：在最坏情况下完成任务所需的时间。

通过这些估算，可以计算出每个任务的期望时间（Expected Time, TE）和方差（Variance, V），公式如下：

  • 期望时间：TE = (O + 4M + P) / 6
  • 方差：V = [(P - O) / 6]^2

构建PERT图的步骤：

  1. 列出所有任务：识别项目中的所有关键任务。
  2. 确定任务依赖关系：明确哪些任务必须在其他任务之前完成。
  3. 估算时间：为每个任务提供O、M、P估算。
  4. 绘制网络图：使用节点和箭头表示任务和依赖关系。
  5. 计算关键路径：找出从开始到结束的最长路径，即关键路径，它决定了项目的最短完成时间。

示例：软件开发项目

假设一个简单的软件开发项目，包含以下任务：

  • A: 需求分析（O=2天, M=3天, P=5天）
  • B: 设计（O=3天, M=4天, P=6天）— 依赖A
  • C: 编码（O=5天, M=7天, P=9天）— 依赖B
  • D: 测试（O=2天, M=3天, P=4天）— 依赖C
  • E: 部署（O=1天, M=2天, P=3天）— 依赖D

构建PERT图：

  • A → B → C → D → E（线性依赖）

计算期望时间：

  • TE_A = (2 + 4*3 + 5)/6 = 3.17天
  • TE_B = (3 + 4*4 + 6)/6 = 4.17天
  • TE_C = (5 + 4*7 + 9)/6 = 7.00天
  • TE_D = (2 + 4*3 + 4)/6 = 3.00天
  • TE_E = (1 + 4*2 + 3)/6 = 2.00天

关键路径：A → B → C → D → E，总期望时间 = 3.17 + 4.17 + 7.00 + 3.00 + 2.00 = 19.34天。

2. PERT图计算优化项目进度

优化项目进度的核心是缩短关键路径，因为关键路径决定了项目的总工期。通过PERT图计算，可以识别关键任务并采取措施压缩其时间。

方法：

  • 任务分解：将关键任务分解为更小的子任务，以并行处理。
  • 资源分配：将更多资源（如人力、设备）分配给关键任务。
  • 时间压缩：使用快速跟进（Fast-Tracking）或赶工（Crashing）技术。

示例：优化上述软件开发项目

假设我们想将项目时间从19.34天缩短到15天。分析关键路径：

  • 关键任务：A、B、C、D、E。
  • 压缩C（编码）任务：通过增加开发人员，将最可能时间从7天减少到5天（O=4天, M=5天, P=7天）。
  • 新TE_C = (4 + 4*5 + 7)/6 = 5.17天。
  • 新总时间 = 3.17 + 4.17 + 5.17 + 3.00 + 2.00 = 17.51天（仍高于15天）。
  • 进一步压缩B和D：B的M从4天减到3天（TE_B=3.5天），D的M从3天减到2天（TE_D=2.33天）。
  • 新总时间 = 3.17 + 3.5 + 5.17 + 2.33 + 2.00 = 16.17天（接近目标）。

通过PERT计算，我们量化了压缩效果，并确保资源分配合理。

3. PERT图计算优化资源分配

资源分配涉及将有限资源（如人员、预算、设备）分配给任务，以最小化成本和时间。PERT图结合资源约束，可以识别资源冲突并优化分配。

方法：

  • 资源平滑（Resource Smoothing）：在关键路径不变的情况下，调整非关键任务的资源分配，以平衡资源使用。
  • 资源平衡（Resource Leveling）：调整任务时间以匹配资源可用性，可能延长项目时间但减少资源峰值。
  • 使用线性规划：将PERT图转化为数学模型，优化资源分配。

示例：资源约束下的优化

假设上述项目有资源约束：只有3名开发人员可用，且任务B、C、D需要开发人员。初始分配：

  • B: 2人，4天
  • C: 3人，7天
  • D: 2人，3天

资源使用峰值：C任务时3人，其他任务2人，总资源需求波动大。

优化：使用资源平滑，将C任务的部分工作分配到非关键路径（如果存在），或调整时间。假设项目有并行任务F（非关键，依赖A，O=1天, M=2天, P=3天，TE=2.00天），可以将部分编码工作分配到F，但需调整依赖关系。

通过PERT计算，我们可以模拟不同资源分配方案，选择最优解。例如，使用Python代码模拟资源分配：

import numpy as np

# 任务数据：名称, O, M, P, 资源需求
tasks = [
    {'name': 'A', 'O': 2, 'M': 3, 'P': 5, 'resources': 1},
    {'name': 'B', 'O': 3, 'M': 4, 'P': 6, 'resources': 2},
    {'name': 'C', 'O': 5, 'M': 7, 'P': 9, 'resources': 3},
    {'name': 'D', 'O': 2, 'M': 3, 'P': 4, 'resources': 2},
    {'name': 'E', 'O': 1, 'M': 2, 'P': 3, 'resources': 1}
]

# 计算期望时间
def calculate_expected_time(O, M, P):
    return (O + 4*M + P) / 6

# 模拟资源分配（简化：假设任务顺序执行）
total_resources = 3
schedule = []
current_time = 0
for task in tasks:
    TE = calculate_expected_time(task['O'], task['M'], task['P'])
    schedule.append({
        'task': task['name'],
        'start': current_time,
        'end': current_time + TE,
        'resources': task['resources']
    })
    current_time += TE

# 检查资源峰值
resource_usage = []
for day in range(int(current_time)):
    daily_resources = 0
    for s in schedule:
        if s['start'] <= day < s['end']:
            daily_resources += s['resources']
    resource_usage.append(daily_resources)

peak_resources = max(resource_usage)
print(f"资源峰值: {peak_resources} (可用资源: {total_resources})")
if peak_resources > total_resources:
    print("资源不足，需要优化分配")
else:
    print("资源分配可行")

运行此代码，初始分配资源峰值为3（C任务时），刚好满足。如果峰值超过3，就需要调整任务顺序或增加资源。

4. 高级优化技术：蒙特卡洛模拟与关键链

蒙特卡洛模拟

PERT图的时间估算具有不确定性，蒙特卡洛模拟通过随机抽样生成大量可能的项目完成时间分布，帮助评估风险并优化进度。

示例代码：

import random
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_pert(tasks, iterations=10000):
    completion_times = []
    for _ in range(iterations):
        total_time = 0
        for task in tasks:
            # 三角分布抽样：在O, M, P之间随机取值
            O, M, P = task['O'], task['M'], task['P']
            sample = random.triangular(O, P, M)
            total_time += sample
        completion_times.append(total_time)
    return completion_times

# 使用上述tasks数据
completion_times = simulate_pert(tasks)
plt.hist(completion_times, bins=50, alpha=0.7)
plt.xlabel('项目完成时间（天）')
plt.ylabel('频率')
plt.title('PERT蒙特卡洛模拟结果')
plt.show()

# 计算统计量
mean_time = np.mean(completion_times)
std_time = np.std(completion_times)
print(f"平均完成时间: {mean_time:.2f}天, 标准差: {std_time:.2f}天")

通过模拟，我们可以找到完成时间的概率分布，例如95%置信区间，从而设定合理的项目目标。

关键链项目管理（CCPM）

CCPM是PERT的扩展，强调资源约束和缓冲管理。它将资源冲突任务视为关键链，并在项目末尾添加项目缓冲，在关键链任务后添加汇入缓冲。

优化步骤：

  1. 识别关键链：考虑资源依赖的任务序列。
  2. 计算缓冲大小：使用50%的方差或安全时间。
  3. 监控缓冲消耗：通过缓冲管理调整进度。

例如，在上述项目中，如果B和C共享资源，关键链可能变为A → B → C → D → E，但资源冲突时需调整。添加项目缓冲：假设总方差为V_total = sum(V_i)，缓冲 = 0.5 * sqrt(V_total) * Z（Z为置信水平，如1.65对应95%）。

5. 实际应用与工具

工具推荐

  • Microsoft Project：支持PERT图绘制和资源分配优化。
  • Primavera P6：企业级项目管理工具，集成PERT和资源管理。
  • Python库：如networkx用于网络图分析，simpy用于模拟。

案例研究：建筑项目

一个建筑项目使用PERT图优化进度：

  • 任务：地基（O=10天, M=12天, P=15天）、框架（O=20天, M=25天, P=30天）、装修（O=15天, M=18天, P=22天）。
  • 关键路径：地基 → 框架 → 装修，总期望时间 = 12.17 + 25.00 + 18.00 = 55.17天。
  • 优化：通过增加工人压缩框架任务，将M减至20天，新时间 = 12.17 + 20.00 + 18.00 = 50.17天。
  • 资源分配：使用资源平衡，避免雨季资源短缺，调整任务顺序。

6. 结论

PERT图计算是优化项目进度与资源分配的有效方法。通过构建网络图、计算关键路径、应用压缩技术和资源优化策略，项目经理可以显著提高项目效率。结合蒙特卡洛模拟和关键链管理，还能处理不确定性并降低风险。实际应用中，建议使用专业工具和软件辅助计算，并根据项目特点灵活调整方法。最终，PERT不仅是一种技术，更是一种思维方式，帮助团队在复杂环境中做出数据驱动的决策。