案例一：函数的映射本质
主题句
函数是数学中最基本的抽象概念之一，它描述了输入与输出之间的关系。
支持细节
- 定义：函数是一种特殊的映射，它将集合A中的每一个元素唯一地对应到集合B中的一个元素。
- 例子：f(x) = x^2 是一个从实数集到实数集的函数，它将每个实数输入映射到其平方。
案例二：线性函数
主题句
线性函数是函数的一种简单形式，它描述了直线上的变化关系。
支持细节
- 形式：f(x) = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
- 例子：f(x) = 2x + 3 是一条通过原点且斜率为2的直线。
案例三：指数函数
主题句
指数函数描述了输入值增长或减少的速率。
支持细节
- 形式：f(x) = a^x，其中a是底数，x是指数。
- 例子：f(x) = 2^x 表示底数为2的指数函数，随着x的增加，函数值呈指数增长。
案例四：对数函数
主题句
对数函数是指数函数的逆运算，它描述了如何找到指数。
支持细节
- 形式：f(x) = log_a(x)，其中a是底数，x是对数的结果。
- 例子：f(x) = log_2(x) 表示底数为2的对数函数，它将指数转换为对应的数值。
案例五：三角函数
主题句
三角函数描述了角度与边长之间的关系。
支持细节
- 形式：正弦、余弦、正切等。
- 例子：sin(θ) = 对边 / 斜边，描述了直角三角形中角度θ的正弦值。
案例六：多项式函数
主题句
多项式函数是数学中最常见的函数类型之一，它由多个项组成。
支持细节
- 形式：f(x) = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + … + a_1x + a_0。
- 例子：f(x) = x^2 - 4x + 4 是一个二次多项式函数。
案例七：有理函数
主题句
有理函数是分数形式的函数，它的分子和分母都是多项式。
支持细节
- 形式：f(x) = p(x)/q(x)，其中p(x)和q(x)是多项式。
- 例子：f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 是一个有理函数。
案例八：无理函数
主题句
无理函数是不能表示为两个整数之比的函数，它的值是无限不循环小数。
支持细节
- 形式：π、e等。
- 例子：f(x) = √x 是一个无理函数，因为它不能表示为有理数的形式。
案例九：分段函数
主题句
分段函数是定义在不同区间上的函数，每个区间有不同的表达式。
支持细节
- 形式：f(x) = { g_1(x) if x ∈ [a, b], g_2(x) if x ∈ [b, c] }。
- 例子：f(x) = { x if x < 0, 0 if x ≥ 0 } 是一个分段函数。
案例十：隐函数
主题句
隐函数是包含一个或多个未知数的方程，通过解方程可以找到函数的表达式。
支持细节
- 形式：F(x, y) = 0，其中F是两个变量的函数。
- 例子：x^2 + y^2 = 1 是一个隐函数，它描述了一个圆的方程。