引言

2003年江苏高考数学试卷中，出现了一道极具挑战性的题目，这道题目不仅考察了学生的数学基础知识和解题技巧，还考验了他们的逻辑思维和创新能力。本文将深入解析这道难题，探讨其背后的挑战与突破。

难题解析

题目回顾

2003年江苏高考数学试卷中的一道难题如下：

题目：设函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+2\)，若存在实数\(a\)和\(b\)，使得\(\frac{f(a)}{a-1}=\frac{f(b)}{b-1}\)，求实数\(a\)和\(b\)的取值范围。

解题思路

  1. 构造方程：根据题目条件，可以构造出以下方程： $\( \frac{f(a)}{a-1}=\frac{f(b)}{b-1} \Rightarrow \frac{a^3-3a^2+4a+2}{a-1}=\frac{b^3-3b^2+4b+2}{b-1} \)$
  2. 化简方程：将上述方程进行化简，得到： $\( a^3-3a^2+4a+2=b^3-3b^2+4b+2 \)$
  3. 构造函数：构造函数\(g(x)=x^3-3x^2+4x+2\)，并分析其性质。
  4. 求解范围：通过分析函数\(g(x)\)的性质，求解实数\(a\)和\(b\)的取值范围。

解题步骤

  1. 求导数：对函数\(g(x)\)求导，得到： $\( g'(x)=3x^2-6x+4 \)$
  2. 求极值点：令\(g'(x)=0\)，解得\(x=1\)和\(x=\frac{2}{3}\)。
  3. 分析函数性质：根据导数的符号，可以得出以下结论：
    • 当\(x<\frac{2}{3}\)时，\(g'(x)>0\)，函数\(g(x)\)单调递增；
    • 当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(g'(x)<0\)，函数\(g(x)\)单调递减；
    • 当\(x>1\)时，\(g'(x)>0\)，函数\(g(x)\)单调递增。
  4. 求解\(a\)和\(b\)的取值范围：根据函数\(g(x)\)的性质，可以得出以下结论：
    • 当\(a<\frac{2}{3}\)或\(a>1\)时，\(\frac{f(a)}{a-1}\)为正；
    • 当\(\frac{2}{3}<a<1\)时，\(\frac{f(a)}{a-1}\)为负；
    • 当\(b<\frac{2}{3}\)或\(b>1\)时，\(\frac{f(b)}{b-1}\)为正；
    • 当\(\frac{2}{3}<b<1\)时，\(\frac{f(b)}{b-1}\)为负。 因此，实数\(a\)和\(b\)的取值范围均为\(\left(\frac{2}{3},1\right)\)。

挑战与突破

挑战

  1. 解题思路的多样性：这道题目要求学生具备多种解题思路，如构造方程、化简方程、构造函数等。
  2. 数学知识的综合性：题目涉及函数、导数、极值等数学知识，要求学生对这些知识有深入的理解和应用。
  3. 逻辑思维的严谨性：在解题过程中，需要保持逻辑思维的严谨性，避免出现错误。

突破

  1. 解题方法的创新：通过对题目进行分析，可以发现一些新的解题方法，如构造函数、分析函数性质等。
  2. 数学思维的培养：这道题目有助于培养学生的数学思维，提高他们的数学素养。
  3. 挑战与突破的平衡：在解题过程中，学生需要在挑战与突破之间找到平衡，既要勇于尝试新的解题方法，又要保持解题过程的严谨性。

总结

2003年江苏高考数学难题不仅是一道极具挑战性的题目，更是一道具有启示意义的题目。通过对这道题目的解析，我们可以看到挑战与突破的背后，是数学知识的综合性、解题方法的多样性和逻辑思维的严谨性。这道题目不仅有助于提高学生的数学能力，还有助于培养学生的数学素养。