揭秘09年合肥中考数学难题：破解高分关键揭秘

引言

2009年合肥中考数学试题以其难度和深度著称，其中不乏一些极具挑战性的题目。本文将深入解析这些难题，帮助考生掌握解题技巧，为即将到来的中考做好准备。

题目描述：已知函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中\(a \neq 0\)，且\(f(1) = 2\)，\(f(2) = 5\)，求\(f(3)\)的值。

解题步骤：

总结：本题考查了函数的性质和解方程组的能力。解题关键在于正确列出方程组，并解出未知数。

题目描述：在直角坐标系中，点\(A(2, 3)\)，\(B(4, 1)\)，\(C(x, y)\)，若\(\triangle ABC\)为等腰直角三角形，求点\(C\)的坐标。

解题步骤：

分情况讨论：
- 当\(AB\)为斜边时，点\(C\)在直线\(AB\)的垂直平分线上，设直线\(AB\)的斜率为\(k\)，则\(k = \frac{1 - 3}{4 - 2} = -1\)。直线\(AB\)的垂直平分线斜率为\(1\)，方程为\(y - 2 = 1 \cdot (x - 2)\)，即\(y = x\)。联立\(y = x\)和\(y = x^2 - 2x + 2\)，解得\(x = 1\)或\(x = 2\)，因此\(C\)的坐标为\((1, 1)\)或\((2, 2)\)。
- 当\(AB\)为直角边时，点\(C\)在直线\(AB\)上，设点\(C\)的坐标为\((4, 3)\)，此时\(\triangle ABC\)为等腰直角三角形。

总结：本题考查了平面几何中的等腰直角三角形性质和直角坐标系的应用。解题关键在于正确判断点\(C\)的位置，并利用几何性质进行计算。

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n = 2^n - 1\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}\)。

解题步骤：

根据通项公式，计算\(a_n\)和\(a_{n-1}\)的值： [ an = 2^n - 1, \quad a{n-1} = 2^{n-1} - 1 ]
计算比值： [ \frac{an}{a{n-1}} = \frac{2^n - 1}{2^{n-1} - 1} ]
利用极限的性质，计算极限： [ \lim_{n \to \infty} \frac{an}{a{n-1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 1}{2^{n-1} - 1} = 2 ]

总结：本题考查了数列的极限和通项公式的应用。解题关键在于正确利用极限的性质进行计算。