一、题目回顾
2017年高考全国II卷数学理科综合能力测试中，一道数学题目引发了广泛关注。以下是该题目的文字描述：
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+3x+1\)，若存在实数\(a\)，使得方程\(f(x)=a\)有三个不同的实数根，求实数\(a\)的取值范围。
二、解题思路
要解决这个问题，我们需要分析函数\(f(x)\)的性质，并利用导数和函数的极值来找出实数\(a\)的取值范围。
1. 求导数
首先，我们对函数\(f(x)\)求导，得到\(f'(x)\)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 3 \]
2. 求极值点
接下来，我们令\(f'(x) = 0\)，解得极值点：
\[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \\ x^2 - 2x + 1 = 0 \\ (x - 1)^2 = 0 \\ x = 1 \]
3. 分析极值点
由于\(f'(x)\)在\(x = 1\)处取得极值，我们需要判断该极值是极大值还是极小值。为此，我们可以计算\(f''(x)\)：
\[ f''(x) = 6x - 6 \]
将\(x = 1\)代入\(f''(x)\)，得到：
\[ f''(1) = 6 \times 1 - 6 = 0 \]
由于\(f''(1) = 0\)，我们需要进一步分析\(f(x)\)在\(x = 1\)附近的行为。为此，我们可以考虑\(x = 1\)附近的导数符号：
- 当\(x < 1\)时，\(f'(x) > 0\)，函数\(f(x)\)单调递增；
- 当\(x > 1\)时，\(f'(x) < 0\)，函数\(f(x)\)单调递减。
因此，\(x = 1\)是函数\(f(x)\)的极大值点。
4. 求极大值
将\(x = 1\)代入\(f(x)\)，得到：
\[ f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 3 \times 1 + 1 = 2 \]
因此，函数\(f(x)\)在\(x = 1\)处取得极大值2。
5. 求实数\(a\)的取值范围
由于\(f(x) = a\)有三个不同的实数根，根据函数图像，我们可以得出以下结论：
- 当\(a < 2\)时，方程\(f(x) = a\)有两个实数根；
- 当\(a = 2\)时，方程\(f(x) = a\)有一个实数根；
- 当\(a > 2\)时，方程\(f(x) = a\)没有实数根。
因此，实数\(a\)的取值范围为\(a < 2\)。
三、总结
通过分析函数\(f(x)\)的性质，我们找到了实数\(a\)的取值范围。这道题目考察了函数的极值、导数和方程根的个数等知识点，具有一定的难度。希望本文的解析能够帮助读者更好地理解这道题目。