引言

数学高考作为中国高考的重要组成部分，每年都会出现一些颇具挑战性的题目。其中，17年的数学高考中就出现了一些难度较高的题目，让不少考生感到棘手。本文将针对这些难题，提供一些解题思路和应试技巧，帮助考生在未来的高考中轻松应对类似的问题。

一、难题分析

1. 难题类型

17年的数学高考难题主要涵盖了以下几个类型：

  • 高级代数问题
  • 复杂的几何问题
  • 数列与函数的综合应用
  • 线性规划与概率问题

2. 难题特点

这些难题通常具有以下特点：

  • 需要较强的逻辑思维能力
  • 对基础知识掌握要求高
  • 解题过程复杂，计算量大
  • 考察学生的综合素质

二、解题思路

1. 高级代数问题

解题步骤：

  1. 理解题意：仔细阅读题目，确保对题目的意思有准确把握。
  2. 构建方程：根据题意，建立合适的方程或方程组。
  3. 化简与求解：对方程进行化简，并求解出答案。

例子：

设 (a, b, c) 是等差数列的前三项，且 (a + b + c = 12)，(abc = 27)，求 (a^2 + b^2 + c^2) 的值。

解题过程：

  1. 设 (a = b - d)，(c = b + d)，则 (a + b + c = 3b = 12)，解得 (b = 4)。
  2. (abc = (4 - d)(4)(4 + d) = 27)，解得 (d = 1) 或 (d = -1)。
  3. 当 (d = 1) 时，(a = 3)，(b = 4)，(c = 5)；当 (d = -1) 时，(a = 5)，(b = 4)，(c = 3)。
  4. (a^2 + b^2 + c^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 = 50)。

2. 复杂的几何问题

解题步骤：

  1. 画图：根据题目描述，画出相应的几何图形。
  2. 分析图形：观察图形的特点，找出解题的关键点。
  3. 构造辅助线：根据题意，构造辅助线，简化问题。
  4. 求解：利用几何性质和定理，求解问题。

例子：

已知圆 (O) 的半径为 (R)，圆 (O) 内有三条互相垂直的弦 (AB)、(CD) 和 (EF)，且 (AB = CD = EF)。求圆 (O) 的面积。

解题过程：

  1. 画圆 (O) 和三条互相垂直的弦 (AB)、(CD) 和 (EF)。
  2. 由圆的性质，可知 (AB)、(CD) 和 (EF) 均为圆的直径。
  3. 设 (AB) 的长度为 (x)，则 (CD) 和 (EF) 的长度也为 (x)。
  4. 圆 (O) 的面积为 (\pi R^2)，其中 (R) 为圆的半径。
  5. 由勾股定理，可知 (x^2 + x^2 + x^2 = R^2)，解得 (R = x\sqrt{3})。
  6. 圆 (O) 的面积为 (\pi R^2 = 3\pi x^2)。

3. 数列与函数的综合应用

解题步骤：

  1. 理解题意：仔细阅读题目，确保对题目的意思有准确把握。
  2. 建立函数模型：根据题意，建立合适的函数模型。
  3. 分析函数性质：研究函数的增减性、极值、周期性等性质。
  4. 求解问题：利用函数性质，求解问题。

例子：

已知函数 (f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2})，求函数 (f(x)) 的极值。

解题过程：

  1. 对函数 (f(x)) 进行化简，得 (f(x) = x + 1)。
  2. 函数 (f(x)) 的定义域为 (x \neq 2)。
  3. 对函数 (f(x)) 求导，得 (f’(x) = 1)。
  4. 由于 (f’(x)) 恒为正，故函数 (f(x)) 在其定义域内单调递增。
  5. 函数 (f(x)) 没有极值。

4. 线性规划与概率问题

解题步骤：

  1. 理解题意：仔细阅读题目，确保对题目的意思有准确把握。
  2. 建立线性规划模型：根据题意，建立合适的线性规划模型。
  3. 求解线性规划问题：利用线性规划方法，求解问题。
  4. 分析概率问题：根据题意，分析概率问题，并求解。

例子：

设 (x) 和 (y) 是两个随机变量，且 (x) 和 (y) 相互独立，(x) 的概率密度函数为 (f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|})，(y) 的概率密度函数为 (f(y) = \frac{1}{2}e^{-|y|})。求 (P(|x + y| \leq 1))。

解题过程：

  1. 由于 (x) 和 (y) 相互独立，(P(|x + y| \leq 1) = \int_{-1}^1 P(|x| \leq 1 - y) f(y) dy)。
  2. 对于 (y) 的取值，(P(|x| \leq 1 - y) = P(-1 \leq x \leq 1 - y))。
  3. 将 (y) 的取值代入上式，得 (P(|x + y| \leq 1) = \int_{-1}^1 \frac{1}{2}e^{-|1 - y|} dy)。
  4. 计算积分，得 (P(|x + y| \leq 1) = \frac{1}{2}e^{-1})。

三、应试技巧

1. 基础知识

  1. 熟悉基本概念：掌握数学的基本概念，如函数、数列、几何图形等。
  2. 掌握基本公式：熟悉并熟练运用各种数学公式。
  3. 提高计算能力：加强计算练习，提高计算速度和准确性。

2. 解题方法

  1. 多思考：遇到难题时，不要急于求成，先思考解题思路。
  2. 多练习：通过大量练习，提高解题技巧。
  3. 多总结：总结解题经验，形成自己的解题方法。

3. 时间管理

  1. 合理分配时间：在考试过程中，合理分配时间，确保每个题目都有足够的时间完成。
  2. 先易后难：遇到难题时，先做简单的题目，提高得分率。
  3. 留出检查时间：在考试结束时，留出时间检查答案，确保准确无误。

结论

通过以上分析和解答，相信大家对如何应对17年数学高考难题有了更深入的了解。在未来的学习中，希望大家能够认真复习，掌握解题技巧，提高自己的应试能力。祝大家在高考中取得优异成绩！