引言
1961年的高考，作为我国高考历史上的一个重要节点，不仅承载着那个时代学生的青春记忆，更见证了我国教育事业的变迁。在这篇文章中，我们将回顾1961年高考数学的真题，分析其中的难题，并探讨那些年我们一起解的难题与智慧火花。
1961年高考数学真题回顾
1. 选择题
（1）若方程 (x^2 - 4x + 3 = 0) 的两根为 (x_1) 和 (x_2)，则 (x_1 + x_2) 的值为：
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
（2）已知函数 (f(x) = 2x^2 - 3x + 1)，则 (f(-1)) 的值为：
A. -4 B. -3 C. -2 D. 0
2. 填空题
（1）若 (a^2 + b^2 = 1)，则 (a + b) 的取值范围为 ________。
（2）已知等差数列的前三项为 1，3，5，则该数列的通项公式为 ________。
3. 解答题
（1）解方程 (x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = 0)。
（2）已知函数 (f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1})，求 (f(x)) 的定义域。
难题分析与智慧火花
1. 选择题
（1）本题考查了一元二次方程的根与系数的关系。根据韦达定理，(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 4)。因此，正确答案为 C。
（2）本题考查了函数值的计算。将 (x = -1) 代入函数 (f(x)) 中，得到 (f(-1) = \frac{(-1)^2 - 1}{-1 - 1} = 0)。因此，正确答案为 D。
2. 填空题
（1）本题考查了不等式的性质。由 (a^2 + b^2 = 1)，可得 ((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1 + 2ab)。因为 (a^2 + b^2 \geq 2ab)，所以 (1 + 2ab \geq 2ab)，即 (ab \leq 0)。因此，(a + b) 的取值范围为 ([- \sqrt{2}, \sqrt{2}])。
（2）本题考查了等差数列的通项公式。由等差数列的前三项可知，公差 (d = 3 - 1 = 2)。因此，通项公式为 (a_n = a_1 + (n - 1)d = 1 + (n - 1) \times 2 = 2n - 1)。
3. 解答题
（1）本题考查了一元三次方程的求解。通过因式分解，可得 (x^3 - 3x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x^2 - x + 6) = 0)。因此，(x = 2) 或 (x^2 - x + 6 = 0)。由于 (x^2 - x + 6) 的判别式小于 0，无实数解。所以，方程的解为 (x = 2)。
（2）本题考查了函数的定义域。由于分母 (x - 1) 不能为 0，所以 (x \neq 1)。因此，函数的定义域为 ((- \infty, 1) \cup (1, +\infty))。
结语
1961年高考数学题目中的难题，不仅考验了学生的数学基础，更考验了他们的思维能力和智慧。通过分析这些题目，我们不仅回顾了那段历史，更体会到了那些年我们一起解的难题与智慧火花。