引言

1985年的高考数学试卷，作为我国高考历史上的经典之作，其难度和深度至今仍被许多考生和教师津津乐道。本文将带领读者回顾这份数学试卷中的经典题目，通过解题思路的剖析，挑战读者的智慧极限。

一、解析几何题目

题目： 在直角坐标系中，点A（3，2），B（4，3）分别位于抛物线y^2=8x的两侧。求证：直线AB与抛物线y^2=8x不相交。

解题思路：

  1. 求出直线AB的方程。
  2. 将直线AB的方程代入抛物线方程，解得x的值。
  3. 分析解得的x的值，判断直线AB与抛物线是否相交。

解题步骤：

  1. 求出直线AB的斜率：( k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 2}{4 - 3} = 1 )。
  2. 直线AB的方程为：( y - y_A = k(x - x_A) )，代入A、B点坐标得：( y - 2 = 1(x - 3) )，化简得：( y = x - 1 )。
  3. 将直线AB的方程代入抛物线方程，得：( (x - 1)^2 = 8x )。
  4. 解得：( x^2 - 10x + 1 = 0 )，由韦达定理可知，x的两个根的乘积为1。
  5. 由于直线AB的方程中的y值始终小于x值，故直线AB与抛物线y^2=8x不相交。

二、数列题目

题目： 已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_1=1，a_n+1=3a_n（n≥2）。求第10项a_10的值。

解题思路：

  1. 根据数列的定义，找出数列的通项公式。
  2. 利用通项公式求出第10项a_10的值。

解题步骤：

  1. 数列{a_n}为等比数列，公比为3，首项为1。
  2. 数列的通项公式为：( a_n = a_1 \times q^{(n-1)} )，代入得：( a_n = 1 \times 3^{(n-1)} )。
  3. 求第10项a10的值：( a{10} = 1 \times 3^{(10-1)} = 3^9 )。

三、立体几何题目

题目： 已知长方体的三个相邻面的对角线分别为AC=4，BD=6，EF=3，求长方体的对角线FG的长度。

解题思路：

  1. 根据长方体的性质，找出AC、BD、EF的关系。
  2. 利用勾股定理求出FG的长度。

解题步骤：

  1. 由长方体的性质可知，AC、BD、EF为长方体的三个相邻面的对角线，它们构成一个等腰直角三角形。
  2. 由等腰直角三角形的性质可知，( AC^2 = BD^2 = EF^2 + 2 \times AE \times EB )，其中AE、EB分别为长方体的两条相邻棱。
  3. 设长方体的长、宽、高分别为l、w、h，则( l^2 = BD^2 = 36 )，( w^2 = EF^2 = 9 )，( h^2 = AC^2 = 16 )。
  4. 利用勾股定理，得：( FG^2 = l^2 + w^2 + h^2 = 36 + 9 + 16 = 61 )。
  5. 故对角线FG的长度为( FG = \sqrt{61} )。

结语

1985年高考数学试卷中的经典题目，不仅考验了考生的数学能力，更考验了他们的思维能力。通过对这些题目的解析，我们可以感受到数学的魅力和深度。希望本文的解析能帮助读者更好地理解这些经典题目，提升自己的数学水平。