1986年的数学竞赛，无疑是一次数学领域的盛事。这场竞赛不仅考验了参赛者的数学能力，还留下了许多经典题目，成为后世数学爱好者津津乐道的话题。本文将带您回顾这场传奇竞赛，揭秘其中的经典题目及其背后的故事。

一、竞赛背景

1986年国际数学奥林匹克竞赛（IMO）在匈牙利布达佩斯举行，共有来自世界各地的60多个国家和地区参加。这场竞赛旨在激发青少年的数学兴趣，培养他们的数学思维和创新能力。

二、经典题目一：几何证明

题目：在平面直角坐标系中，点A(0,1)和点B(1,0)在直线y=x上。已知点P在直线y=x上，且三角形APB的面积为2。求点P的坐标。

解析：这道题目考查了平面几何和坐标系的知识。通过构造辅助线，可以将问题转化为求解直线与圆的交点问题。具体步骤如下：

  1. 以点A和B为圆心，以2为半径作圆。
  2. 求出圆与直线y=x的交点，即为点P的坐标。

三、经典题目二：数列求和

题目：已知数列{an}满足an+1 = an^2 - an，且a1 = 1。求数列{an}的前n项和。

解析：这道题目考查了数列和递推关系。通过观察数列的递推关系，可以发现数列{an}具有周期性。具体步骤如下：

  1. 求出数列{an}的前几项，观察其规律。
  2. 根据规律，推导出数列{an}的通项公式。
  3. 利用通项公式，求出数列{an}的前n项和。

四、经典题目三：组合数学

题目：有10个不同的球，分别放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球。求不同的放法有多少种？

解析：这道题目考查了组合数学和插板法。通过将球和盒子进行编号，可以将问题转化为插板法求解。具体步骤如下：

  1. 将10个球看作10个相同的球，3个盒子看作2个相同的盒子。
  2. 将10个球排成一列，插入2个板，将球分成3组。
  3. 根据插板法的原理，求出不同的放法数量。

五、传奇故事

1986年数学竞赛的题目不仅具有很高的难度，还蕴含着丰富的数学思想。这些题目背后的故事，成为了数学界流传的佳话。例如，几何证明题目中的圆与直线交点问题，源于古希腊数学家欧几里得的《几何原本》。

总之，1986年数学竞赛的经典题目及其背后的故事，展现了数学的魅力和深度。这些题目不仅考验了参赛者的数学能力，还激发了他们对数学的热爱和追求。