引言
1998年的初中数学竞赛，对于许多经历过那个时代的学子来说，是一段难忘的回忆。这不仅是一场智慧的较量，更是一次青春的洗礼。本文将带领大家回顾1998年初中数学竞赛的背景、题目及解题思路，共同回味那些年我们一起解题的激情岁月。
竞赛背景
1998年的初中数学竞赛，由中国数学会主办，旨在选拔和培养具有数学潜力的青少年。这场比赛吸引了全国各地众多初中生参加，竞争激烈，成为了当年的一大盛事。
竞赛题目
以下是1998年初中数学竞赛的部分题目，让我们一起来感受一下当年的竞赛氛围。
题目一
已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 1\)。
题目二
在平面直角坐标系中，点\(A(2,3)\)，\(B(4,5)\)，\(C(x,y)\)，若\(\triangle ABC\)为等腰三角形，求\(x\)，\(y\)的值。
题目三
已知数列\(\{a_n\}\)，\(a_1=2\)，\(a_{n+1}=a_n^2-2\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}\)。
解题思路
题目一
证明：\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)可以分解为\(f(x)=(x-1)^3+2\)。由于\((x-1)^3\geq 0\)，所以\(f(x)\geq 2\)。因此，对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 1\)。
题目二
解法一：根据等腰三角形的性质，可以分三种情况讨论：
- \(AB=AC\)，此时\(x=3\)，\(y=4\)；
- \(AC=BC\)，此时\(x=5\)，\(y=6\)；
- \(AB=BC\)，此时\(x=3\)，\(y=5\)。
解法二：利用向量的坐标表示，设\(\vec{AB}=(2,2)\)，\(\vec{AC}=(x-2,y-3)\)，\(\vec{BC}=(2,y-5)\)。由于\(\vec{AB}=\vec{AC}\)，所以\(x=3\)，\(y=4\)。
题目三
解法一：观察数列\(\{a_n\}\)的递推关系，可以发现\(a_n\)随\(n\)的增大而增大。因此，\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}\)存在。
解法二：利用夹逼准则，设\(c_n=a_n^2-2\)，则\(c_{n+1}=c_n^2-2\)。由于\(c_n\geq 2\)，所以\(c_{n+1}\geq 4\)。因此，\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}}=2\)。
结语
1998年的初中数学竞赛，不仅锻炼了参赛者的数学思维，更激发了他们对数学的热爱。让我们共同回顾那段激情岁月，为今后的数学之路积累更多的经验和智慧。