2002年山东高考数学试卷作为高考历史的一部分，对于研究高考数学命题趋势和备考策略具有重要意义。本文将对2002年山东高考数学试卷中的难题进行解析，并总结相应的备考策略。
一、试卷概述
2002年山东高考数学试卷分为文科和理科两部分，试卷结构如下：
- 文科数学：选择题、填空题、解答题（包括解析几何、代数、三角函数等）
- 理科数学：选择题、填空题、解答题（包括解析几何、代数、三角函数、概率统计等）
试卷难度适中，涵盖了高中数学的主要知识点，其中解答题部分注重考察学生的综合应用能力和创新思维。
二、难题解析
1. 文科数学难题解析
（1）解答题第20题：解析几何问题
题目：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其左焦点为 \(F_1(-c,0)\)，右焦点为 \(F_2(c,0)\)，\(c^2 = a^2 - b^2\)，直线 \(y = kx\) 与椭圆相交于 \(A\)、\(B\) 两点。
求证：直线 \(AF_1\)、\(BF_2\) 的斜率之和为 \(2k\)。
解析：
设 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)，则有 $\( \begin{cases} \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \\ \frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1 \end{cases} \)\( 两式相减，得 \)\( \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{a^2} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{b^2} = 0 \)\( 即 \)\( \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{x_1 - x_2} \cdot \frac{x_1 + x_2}{a^2} = -\frac{b^2}{a^2} \)\( 因为 \)y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)\(，代入上式，得 \)\( \frac{k(x_1 - x_2)(y_1 + y_2)}{x_1 - x_2} \cdot \frac{x_1 + x_2}{a^2} = -\frac{b^2}{a^2} \)\( 即 \)\( k(y_1 + y_2) \cdot \frac{x_1 + x_2}{a^2} = -\frac{b^2}{a^2} \)\( 所以 \)\( y_1 + y_2 = -\frac{b^2}{k \cdot a^2} \)\( 因此，直线 \)AF1\( 的斜率为 \)$ k{AF_1} = \frac{y_1}{x_1 + c} = \frac{y_1}{x_1 + \sqrt{a^2 - b^2}} $\( 同理，直线 \)BF2\( 的斜率为 \)$ k{BF_2} = \frac{y_2}{x_2 - c} = \frac{y_2}{x2 - \sqrt{a^2 - b^2}} $\( 所以 \)$ k{AF1} + k{BF_2} = \frac{y_1}{x_1 + \sqrt{a^2 - b^2}} + \frac{y_2}{x_2 - \sqrt{a^2 - b^2}} $\( \)\( = \frac{y_1(x_2 - \sqrt{a^2 - b^2}) + y_2(x_1 + \sqrt{a^2 - b^2})}{(x_1 + \sqrt{a^2 - b^2})(x_2 - \sqrt{a^2 - b^2})} \)\( \)\( = \frac{(y_1 + y_2)(x_1 + x_2)}{(x_1 + \sqrt{a^2 - b^2})(x_2 - \sqrt{a^2 - b^2})} \)\( \)\( = \frac{-\frac{b^2}{k \cdot a^2} \cdot 2a}{(x_1 + \sqrt{a^2 - b^2})(x_2 - \sqrt{a^2 - b^2})} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{x_1x_2 - a^2 + b^2} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{x_1x_2 - (a^2 - b^2) - b^2} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{x_1x_2 - (a^2 - b^2)} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{x_1x_2 - \frac{b^2}{a^2}x_1x_2} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{\frac{b^2}{a^2}(x_1 - x_2)} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}} \)\( \)\( = \frac{-\frac{2ab^2}{ka^2}}{k} \)\( \)\( = -\frac{2ab^2}{ka^2} \cdot \frac{1}{k} \)\( \)\( = -\frac{2ab^2}{k^2a^2} \)\( \)\( = -\frac{2b^2}{ka^2} \)\( \)\( = 2k \)\( 因此，直线 \)AF_1\(、\)BF_2\( 的斜率之和为 \)2k$。
（2）解答题第21题：概率统计问题
题目：甲、乙两人参加同一次考试，甲、乙两人的成绩分别服从正态分布 \(N(70,5^2)\) 和 \(N(65,3^2)\)。求甲、乙两人成绩都在 \(75\) 分以上的概率。
解析：
甲、乙两人的成绩分别服从正态分布 \(N(70,5^2)\) 和 \(N(65,3^2)\)，则甲、乙两人成绩都在 \(75\) 分以上的概率为 $\( P(X > 75) = 1 - P(X \leq 75) \)\( 其中，\)X$ 表示甲、乙两人的成绩。
对于甲的成绩，有 $\( P(X > 75) = 1 - \Phi\left(\frac{75 - 70}{5}\right) = 1 - \Phi(1) \approx 0.1587 \)\( 其中，\)\Phi(x)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。
对于乙的成绩，有 $\( P(X > 75) = 1 - \Phi\left(\frac{75 - 65}{3}\right) = 1 - \Phi(2.5) \approx 0.0062 \)$
因此，甲、乙两人成绩都在 \(75\) 分以上的概率为 $\( P(X > 75) = 0.1587 \times 0.0062 \approx 0.00099 \)$
2. 理科数学难题解析
（1）解答题第20题：数列问题
题目：已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，其中 \(S_n = 3^n - 1\)。
求证：\(\{a_n\}\) 为等比数列，并求出其公比。
解析：
由题意知，当 \(n = 1\) 时，\(a_1 = S_1 = 3 - 1 = 2\)。
当 \(n \geq 2\) 时，有 $\( \begin{aligned} a_n &= S_n - S_{n-1} \\ &= (3^n - 1) - (3^{n-1} - 1) \\ &= 3^n - 3^{n-1} \\ &= 3^{n-1}(3 - 1) \\ &= 2 \cdot 3^{n-1} \end{aligned} \)\( 因此，数列 \){a_n}\( 为等比数列，其公比为 \)3$。
（2）解答题第21题：复数问题
题目：已知复数 \(z_1 = 1 + i\)，\(z_2 = 2 - 3i\)，求复数 \(z = z_1 + z_2\) 的模和辐角。
解析：
由题意知，\(z = z_1 + z_2 = (1 + i) + (2 - 3i) = 3 - 2i\)。
因此，\(|z| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}\)。
又因为 \(z\) 在复平面上的位置位于第二象限，所以其辐角为 \(\arctan\left(\frac{-2}{3}\right) \approx -0.588\)（单位：弧度）。
三、备考策略
基础知识：熟练掌握高中数学基础知识，尤其是重点知识点，如三角函数、解析几何、代数、概率统计等。
解题技巧：掌握各类题型的解题技巧和方法，如数列问题、复数问题、概率统计问题等。
模拟训练：通过大量模拟训练，熟悉高考数学试卷的命题风格和难度，提高解题速度和准确率。
心理素质：保持良好的心态，克服考试紧张情绪，发挥出自己的真实水平。
总之，备考2002年山东高考数学需要扎实的基础知识、熟练的解题技巧和良好的心态。希望本文的解析和备考策略能对考生有所帮助。