引言

2004年的数学竞赛在全球范围内引起了广泛的关注，许多参赛者面对的题目既具有挑战性，又充满趣味。本文将深入解析当年的几道经典题目，带领读者领略数学之美，同时探讨解题思路和方法。

题目一：数列求和

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \sqrt{a_n}\)，求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)。

解题思路：

  1. 观察数列特点：首先，我们可以发现数列 \(\{a_n\}\) 是单调递增的。
  2. 应用夹逼定理：由于 \(\{a_n\}\) 单调递增，我们可以考虑使用夹逼定理来求解极限。
  3. 寻找夹逼数列：为了找到夹逼数列，我们需要分析数列的增长速度。

解题步骤：

  1. 计算前几项：计算前几项可以发现，\(a_2 = 2\)，\(a_3 = 2 + \sqrt{2}\)，\(a_4 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}\)，以此类推。
  2. 分析增长速度：观察数列的增长速度，我们可以发现 \(a_{n+1} \approx a_n + \sqrt{a_n}\)，因此 \(a_n\) 的增长速度接近 \(\sqrt{a_n}\)。
  3. 应用夹逼定理：根据上述分析，我们可以得到 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{a_n} + \sqrt{\sqrt{a_n}}} = \frac{1}{2}\)。

题目二：函数极值

题目描述：已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\)，求 \(f(x)\) 在区间 \([-1, 2]\) 上的最大值和最小值。

解题思路：

  1. 求导：首先，我们需要对函数 \(f(x)\) 求导，找到可能的极值点。
  2. 判断极值点：通过求导得到的导数 \(f'(x)\)，我们可以找到函数的极值点。
  3. 计算极值：在极值点处计算函数值，比较得到最大值和最小值。

解题步骤：

  1. 求导：\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。
  2. 判断极值点：令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)。
  3. 计算极值：在 \(x = 0\) 和 \(x = 2\) 处，\(f(0) = 4\)，\(f(2) = 0\)。由于 \(f(x)\) 在区间 \([-1, 2]\) 上单调递减，所以最大值为 \(f(0) = 4\)，最小值为 \(f(2) = 0\)。

总结

2004年数学竞赛的题目既具有挑战性，又充满趣味。通过对这些题目的分析和解答，我们可以更好地理解数学之美，同时提高自己的数学思维能力和解题技巧。