引言
2008年的高考数学试卷，无论是选择题、填空题还是解答题，都充满了挑战。本文将带您回顾那些年的高考数学难题，并分享一些解题技巧，帮助读者在未来的数学学习中更好地应对类似的问题。
一、选择题与填空题
1. 选择题
2008年的选择题涵盖了函数、数列、不等式等多个知识点。以下是一个典型的例子：
题目：设函数\(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\)，其定义域为\((0,+\infty)\)。则\(f(x)\)的值域为：
A. \((0,1)\)
B. \((1,+\infty)\)
C. \((-\infty,0)\cup(1,+\infty)\)
D. \((-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)\)
解题思路：
首先，观察函数\(f(x)\)的形式，可以发现它是一个有理函数。接下来，我们需要考虑函数的定义域和值域。
由于定义域为\((0,+\infty)\)，因此\(x\)的取值范围为正实数。接下来，我们分别讨论\(x\)取值大于1和小于1的情况。
当\(x>1\)时，\(\frac{1}{x}<1\)，\(\frac{1}{x+1}<1\)，因此\(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}<0\)。
当\(0<x<1\)时，\(\frac{1}{x}>1\)，\(\frac{1}{x+1}>1\)，因此\(f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}>0\)。
综上所述，\(f(x)\)的值域为\((-\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)\)。
答案：D
2. 填空题
2008年的填空题主要考察了数学知识的应用能力。以下是一个典型的例子：
题目：设数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2^n-1\)，则\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的值为______。
解题思路：
首先，根据数列的通项公式，我们可以写出数列的前几项：
\(a_1=2^1-1=1\)
\(a_2=2^2-1=3\)
\(a_3=2^3-1=7\)
\(a_4=2^4-1=15\)
…
接下来，我们计算\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的值：
\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}\)
当\(n\)趋向于无穷大时，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)的值趋向于：
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^{n+1}-1}{2^n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2\cdot2^n-1}{2^n-1}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2\cdot1-1}{1}=2\)
答案：2
二、解答题
1. 解答题一
2008年的解答题一主要考察了函数、导数和三角函数的知识。以下是一个典型的例子：
题目：已知函数\(f(x)=\sin x+\cos x\)，求\(f(x)\)的单调区间。
解题思路：
首先，我们需要求出函数\(f(x)\)的导数：
\(f'(x)=\cos x-\sin x\)
接下来，我们需要找出导数\(f'(x)\)的正负情况，以确定函数\(f(x)\)的单调性。
当\(f'(x)>0\)时，函数\(f(x)\)单调递增；当\(f'(x)<0\)时，函数\(f(x)\)单调递减。
我们令\(f'(x)=0\)，解得：
\(\cos x-\sin x=0\)
\(\tan x=1\)
因此，\(x=\frac{\pi}{4}+k\pi\)（\(k\)为整数）。
当\(x\)在\(\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)\)区间内时，\(f'(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(x\)在\(\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2(k+1)\pi\right)\)区间内时，\(f'(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减。
答案：单调递增区间为\(\left(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi\right)\)，单调递减区间为\(\left(\frac{5\pi}{4}+2k\pi,\frac{\pi}{4}+2(k+1)\pi\right)\)。
2. 解答题二
2008年的解答题二主要考察了数列、不等式和数学归纳法的知识。以下是一个典型的例子：
题目：证明：对于任意正整数\(n\)，都有\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。
解题思路：
我们采用数学归纳法证明。
基础步骤：
当\(n=1\)时，等式左边为\(1^2=1\)，等式右边为\(\frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6}=\frac{6}{6}=1\)，等式成立。
归纳步骤：
假设当\(n=k\)时等式成立，即\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)。
我们需要证明当\(n=k+1\)时等式也成立，即\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)。
将归纳假设代入等式左边，得到：
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\)
化简得：
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\)
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}\)
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\)
\(1^2+2^2+3^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
因此，当\(n=k+1\)时等式也成立。
由数学归纳法可知，对于任意正整数\(n\)，都有\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)。
答案：证明完成。
总结
通过回顾2008年高考数学的难题，我们可以发现，解决这类问题需要扎实的基础知识和灵活的解题技巧。在今后的学习中，我们要不断积累经验，提高自己的数学能力。