揭秘2009年湖南高考数学：难题解析与备考策略大揭秘

引言

2009年湖南高考数学试卷以其独特的题型和难度，成为了众多考生和教师研究的热点。本文将对2009年湖南高考数学试卷中的难题进行详细解析，并针对备考策略提出建议。

题目描述：已知函数\(f(x)=x^3-3ax^2+3bx-c\)，其中\(a, b, c\)为常数，且\(f(1)=0\)，\(f'(x)\)的零点为\(x_1\)和\(x_2\)，且\(x_1x_2=3\)。求证：存在实数\(t\)，使得\(f'(t)=0\)。

解题步骤：

由\(f(1)=0\)得\(c=1-3a+3b\)。
求\(f'(x)\)得\(f'(x)=3x^2-6ax+3b\)。
由\(x_1x_2=3\)，得\(-\frac{3b}{6}=-\frac{b}{2}=3\)，解得\(b=-6\)。
将\(b\)代入\(f'(x)\)得\(f'(x)=3x^2-6ax-18\)。
令\(f'(t)=0\)，得\(3t^2-6at-18=0\)，即\(t^2-2at-6=0\)。
由韦达定理得\(t_1t_2=-6\)，因此存在实数\(t\)，使得\(f'(t)=0\)。

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}+a_{n+2}\)，且\(a_3=a_4\)。求证：\(a_n>0\)。

解题步骤：

令\(b_n=a_{n+1}-a_n\)，则\(b_1=a_2-a_1=-\frac{1}{2}\)。
由\(b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}\)，得\(b_{n+1}=-\frac{1}{2}b_n\)。
由此可知，数列\(\{b_n\}\)是一个等比数列，公比为\(-\frac{1}{2}\)。
因为\(b_1<0\)，所以\(b_n<0\)。
由\(a_{n+1}-a_n=b_n\)，得\(a_{n+1}<a_n\)。
因此，数列\(\{a_n\}\)是单调递减的。
由于\(a_3=a_4\)，所以\(a_4>a_5\)，即\(a_5<0\)。
由\(a_5<0\)和\(a_4>a_5\)，得\(a_4>0\)。
由此可知，\(a_3>a_4>a_5>0\)，因此\(a_n>0\)。

对于高考数学，基础知识是解题的关键。考生应熟练掌握代数、几何、三角等基础知识，并能够灵活运用。

考生应通过大量练习来提高解题能力。在做题过程中，要注重解题思路和方法的总结，形成自己的解题风格。

考生应关注高考数学题型变化，了解近年来的高考趋势，有针对性地进行备考。

高考是一场心理战，考生要保持良好的心态，相信自己，克服紧张情绪。