引言
高考数学作为我国高考的重要组成部分，对于学生的学业成绩和未来发展具有重要意义。2009年全国卷高考数学试卷以其难度和深度著称，本文将深入解析其中的一些难题，并给出相应的备考策略，帮助考生更好地应对高考数学的挑战。
一、2009年全国卷高考数学难题解析
1. 难题一：解析几何问题
题目：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左顶点为\(A(-a,0)\)，右顶点为\(B(a,0)\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle APB=90^\circ\)，求证：\(|OP|\)的取值范围为\((\sqrt{2}-1)a\leq |OP|\leq (\sqrt{2}+1)a\)。
解析：
- 根据椭圆的性质，设点\(P\)的坐标为\((x_0, y_0)\)，则有\(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\)。
- 由\(\angle APB=90^\circ\)，得到向量\(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=0\)，即\((x_0+a)(x_0-a)+(y_0)^2=0\)。
- 将\(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\)代入上式，整理得\(y_0^2=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x_0^2)\)。
- 由\(|OP|^2=(x_0)^2+(y_0)^2\)，代入\(y_0^2\)的表达式，得到\(|OP|^2=\frac{a^2}{a^2-x_0^2}\)。
- 对\(|OP|^2\)求导，得到\(\frac{d|OP|^2}{dx_0}=\frac{2a^2}{(a^2-x_0^2)^2}\)，令导数为0，得到\(x_0=\pm\sqrt{2}a\)。
- 代入\(|OP|^2\)的表达式，得到\(|OP|^2=2a^2\)，即\(|OP|=a\sqrt{2}\)。
- 由椭圆的定义，\(|OP|\)的取值范围为\((\sqrt{2}-1)a\leq |OP|\leq (\sqrt{2}+1)a\)。
2. 难题二：数列问题
题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_{n+2}=2a_{n+1}-a_n\)，求证：\(a_n=2^n-1\)。
解析：
- 由题意，\(a_3=2a_2-a_1=2\)，\(a_4=2a_3-a_2=3\)，\(a_5=2a_4-a_3=5\)，\(\ldots\)，观察数列的前几项，猜测通项公式为\(a_n=2^n-1\)。
- 假设对于某个正整数\(k\)，\(a_k=2^k-1\)成立，即\(a_{k+1}=2a_k-a_{k-1}=2(2^k-1)-2^{k-1}=2^{k+1}-1\)。
- 由归纳法，可得对于任意正整数\(n\)，\(a_n=2^n-1\)。
二、备考策略
- 基础知识要扎实：高考数学试题难度较大，基础知识不牢固，很难应对难题。因此，考生要加强对基础知识的复习，如函数、数列、三角函数等。
- 培养解题思路：对于难题，考生要掌握一定的解题思路，如分析法、综合法、构造法等。同时，要注重归纳总结，提高解题效率。
- 加强练习：通过大量的练习，考生可以熟悉各类题型，提高解题速度和准确性。在练习过程中，要注重总结错题，避免重复犯错。
- 保持良好的心态：高考数学试题难度较大，考生要保持良好的心态，遇到难题不要慌张，冷静思考，逐步解决问题。
总之，备考高考数学需要考生在基础知识、解题思路、练习和心态等方面下功夫。通过本文的解析和备考策略，相信考生能够在高考中取得优异的成绩。