2009年陕西中考数学试卷中，有一道题目引发了广泛关注，该题以难度高、逻辑性强著称，至今仍被广大数学爱好者津津乐道。本文将详细解析这道题目，带领读者一起挑战智慧，重温经典。
一、题目回顾
2009年陕西中考数学试卷压轴题如下：
（2009年陕西中考数学压轴题） 在等差数列 \(\{a_{n}\}\) 中，已知 \(a_{1} + a_{2} = 6\)，\(a_{5} + a_{8} = 24\)，求 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式。
二、解题思路
要解决这个问题，我们首先需要了解等差数列的基本概念。等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它前一项之差都相等的数列。这个相等的差称为等差数列的公差。
在题目中，我们已知两个等式：
- \(a_{1} + a_{2} = 6\)
- \(a_{5} + a_{8} = 24\)
我们可以根据这两个等式，求出等差数列的首项 \(a_{1}\) 和公差 \(d\)。
三、详细解答
1. 求首项 \(a_{1}\)
由等差数列的性质，我们知道：
\[ a_{2} = a_{1} + d \]
将 \(a_{2}\) 代入第一个等式：
\[ a_{1} + (a_{1} + d) = 6 \]
化简得：
\[ 2a_{1} + d = 6 \quad \text{(方程1)} \]
2. 求公差 \(d\)
同理，根据等差数列的性质，我们有：
\[ a_{5} = a_{1} + 4d \]
\[ a_{8} = a_{1} + 7d \]
将 \(a_{5}\) 和 \(a_{8}\) 代入第二个等式：
\[ (a_{1} + 4d) + (a_{1} + 7d) = 24 \]
化简得：
\[ 2a_{1} + 11d = 24 \quad \text{(方程2)} \]
3. 解方程组
将方程1和方程2联立，我们可以解出 \(a_{1}\) 和 \(d\)。
从方程1中，我们可以得到：
\[ d = 6 - 2a_{1} \]
将 \(d\) 的表达式代入方程2中，得：
\[ 2a_{1} + 11(6 - 2a_{1}) = 24 \]
化简得：
\[ -18a_{1} + 66 = 24 \]
解得：
\[ a_{1} = 2 \]
将 \(a_{1}\) 的值代入方程1，得：
\[ d = 2 \]
4. 得到通项公式
根据等差数列的通项公式 \(a_{n} = a_{1} + (n - 1)d\)，我们可以得到：
\[ a_{n} = 2 + (n - 1) \times 2 \]
化简得：
\[ a_{n} = 2n \]
因此，这道题的答案为：等差数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式为 \(a_{n} = 2n\)。
四、总结
通过以上步骤，我们成功解析了2009年陕西中考数学难题。这道题目考察了学生对等差数列的基本概念和解题技巧的掌握程度。对于广大数学爱好者来说，这道题目不仅是一道经典的数学题目，更是一道考验智慧与耐心的题目。