引言

2010年江苏高考数学卷以其难度和深度著称，吸引了无数考生和教师的研究。本文将深入解析2010年江苏高考数学卷中的难题，并提供相应的备考策略，帮助考生更好地应对类似的高考题目。

难题解析

一、选择题

题目： 若函数 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) 的图像开口向上，且在 \( x=1 \) 时取得最小值，则 \( a \)、\( b \)、\( c \) 的取值范围分别是？

解析：

  • 开口向上的二次函数，其系数 \( a > 0 \)。
  • 在 \( x=1 \) 时取得最小值，说明对称轴为 \( x=1 \)，即 \( -\frac{b}{2a} = 1 \)。
  • 由上式可得 \( b = -2a \)，代入 \( f(1) \) 的表达式中，得到 \( f(1) = a + b + c \)。
  • 因为 \( f(1) \) 是最小值，所以 \( c \) 的取值不影响最小值，只需满足 \( a > 0 \)。

答案： \( a > 0 \)，\( b = -2a \)，\( c \) 可取任意值。

二、填空题

题目： 若复数 \( z \) 满足 \( |z+3i| = 4 \) 且 \( \text{Im}(z) = 2 \)，则 \( z \) 的值为？

解析：

  • 由复数模的定义，有 \( |z+3i| = \sqrt{x^2 + (y+3)^2} \)，其中 \( z = x + yi \)。
  • 因为 \( \text{Im}(z) = y = 2 \)，代入上式得到 \( \sqrt{x^2 + 25} = 4 \)。
  • 解得 \( x^2 = 9 \)，所以 \( x = 3 \) 或 \( x = -3 \)。
  • 因此 \( z = 3 + 2i \) 或 \( z = -3 + 2i \)。

答案： \( z = 3 + 2i \) 或 \( z = -3 + 2i \)。

三、解答题

题目： 解方程组 \(\begin{cases} x + 2y + z = 2 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}\)。

解析：

  • 使用消元法，将第一个方程乘以2后与第二个方程相加，消去 \( z \) 得到 \( 3x + 3y = 2 \)。
  • 将上式变形得到 \( y = \frac{2 - 3x}{3} \)。
  • 将 \( y \) 的表达式代入任意一个方程中解得 \( x = \frac{1}{2} \)。
  • 代入 \( y \) 的表达式得到 \( y = \frac{1}{2} \)。
  • 最后，代入原方程组求解得到 \( z = -1 \)。

答案： \( x = \frac{1}{2} \)，\( y = \frac{1}{2} \)，\( z = -1 \)。

备考策略

  1. 基础巩固： 确保对高中数学基础知识有深入理解，特别是二次函数、复数、线性方程组等核心概念。
  2. 解题技巧： 多做历年的高考数学题目，特别是选择题和填空题，提高解题速度和准确率。
  3. 强化训练： 对于解答题，重点训练逻辑思维和解题步骤的规范性，避免出现计算错误。
  4. 时间管理： 高考时时间非常宝贵，合理分配时间，确保每道题目都有充足的时间解答。

通过以上策略和难题解析，考生可以更好地准备高考数学考试，提高自己的竞争力。