揭秘2011年陕西卷数学：难题解析与备考策略全解析

引言

2011年陕西卷数学高考题目因其难度和深度而备受考生和教师关注。本文将深入解析该试卷中的难题，并提供有效的备考策略，帮助考生更好地准备高考。

一、难题解析

1. 难题一：解析几何问题

题目描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左顶点为\(A(-a,0)\)，右顶点为\(B(a,0)\)，椭圆与直线\(l\)相交于\(P\)、\(Q\)两点，且\(\angle APB=60^\circ\)。求直线\(l\)的方程。

解题思路：

利用椭圆的对称性，可以将问题转化为求解一个特定的直线与椭圆的交点问题。
通过构造辅助线，将问题转化为求解直角三角形的边长问题。
利用椭圆的定义和三角函数的关系，求解直线的斜率。

解题步骤：

建立坐标系，设直线\(l\)的方程为\(y=kx+b\)。
利用椭圆的定义，将\(P\)、\(Q\)两点的坐标代入椭圆方程，得到两个方程。
利用\(\angle APB=60^\circ\)，建立关于\(k\)和\(b\)的方程。
解方程组，得到直线\(l\)的方程。

代码示例（Python）：

from sympy import symbols, Eq, solve

# 定义变量
x, y, k, b = symbols('x y k b')

# 椭圆方程
ellipse_eq = Eq(x**2 / a**2 + y**2 / b**2, 1)

# 直线方程
line_eq = Eq(y, k*x + b)

# 解方程组
solution = solve([ellipse_eq, line_eq], (x, y))

# 输出结果
print("交点坐标：", solution)

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n\)，求\(\lim_{n\to\infty}\frac{a_{2011}}{a_{2009}}\)。

解题思路：

利用递推公式，求解数列的前几项，观察规律。
尝试构造等比数列，利用等比数列的性质求解极限。

解题步骤：

根据递推公式，计算数列的前几项。
观察数列的规律，尝试构造等比数列。
利用等比数列的性质，求解极限。

代码示例（Python）：

# 定义数列
a_n = [1, 2]

# 递推公式
for n in range(2, 2011):
    a_n.append(3*a_n[n-1] - a_n[n-2])

# 求极限
limit = a_n[2010] / a_n[2008]

# 输出结果
print("极限值：", limit)

二、备考策略

1. 熟悉考试大纲

考生应熟悉高考数学考试大纲，了解考试内容、题型和分值分布。

2. 强化基础知识

基础知识是解题的基础，考生应加强对基础知识的掌握，如函数、数列、几何等。

3. 练习解题技巧

解题技巧是提高解题速度和准确率的关键，考生应通过大量练习，掌握各种题型的解题方法。

4. 做好错题分析

考生应认真分析错题，找出错误原因，避免在考试中犯同样的错误。

5. 保持良好心态

考试前保持良好的心态，有助于提高考试表现。